专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系(讲)(解析版)

专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系
【考纲解读与核心素养】
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置
2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 3．掌握空间向量的加、减、数乘、数量积的定义、坐标表示的运算.
4．掌握空间两点间的距离公式，会求向量的长度、两向量夹角，并会解决简单的立体几何问题. 5．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养. 6. 高考预测：
（1）空间向量的线性运算及其坐标表示. （2）运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. （3）应用空间向量解决立体几何问题.
（4）一般不独立命题．预测2020年高考会以简单几何体为载体，利用空间向量解决与平行、垂直有关的证明及空间角的计算问题．解题时要求有较强的运算能力. 7.备考重点：
（1）掌握空间向量的线性运算、坐标运算； （2）掌握空间向量的数量积计算方法. （3）利用向量判断垂直关系、平行关系.
【知识清单】
知识点1．空间向量的线性运算 1.空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度． (2)几种常用特殊向量
①单位向量：长度或模为1的向量． ②零向量：长度为0的向量．
③相等向量：方向相同且模相等的向量. ④相反向量：方向相反而模相等的向量．
⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量． ⑥共面向量：平行于同一个平面的向量． 2.空间向量的线性运算
(1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广．
设a ，b 是空间任意两向量，若,OA AC a AB b ===，P ∈OC ，则OB OA AB a b =+=+，
BC AC AB a b =-=-，()OP a R λλ=∈.
（2）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律 ①加法交换律：a ＋b ＝b + a .
②加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a +（b ＋c ）． ③数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa+λb.
④数乘结合律：λ(μa )＝(λμ) a .(λ∈R ，μ∈R )． 知识点2．共线向量定理、共面向量定理的应用
(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a=λb . (2)共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在唯一实数对x 、
y ，使p xa yb =+.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组{x ，y ，z }，使p xa yb zc =++.把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．
推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x 、y 、z ， 使OP xOA yOB zOC =++.其中x ＋y ＋z ＝1. 知识点3．空间向量的数量积及其应用 1．两个向量的数量积
(1)a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉； (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)； (3)|a |2
＝a 2，|a |＝x 2＋y 2＋z 2
. 2．向量的坐标运算
a ＝(a 1，a 2，a 3)，
b ＝(b 1，b 2，b 3) 向量和 a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 向量差 a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3) 数量积 a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3
共线
a ∥
b ⇒a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)
垂直 a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0
夹角
公式
cos 〈a ，b 〉＝
a 1
b 1＋a 2b 2＋a 3b 3
a 21＋a 22＋a 23
b 21＋b 22＋b 2
3
知识点4．空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算 空间直角坐标系及有关概念
(1)空间直角坐标系：以空间一点O 为原点，建立三条两两垂直的数轴：x 轴，y 轴，z 轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标原点，x 轴，y 轴，z 轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面．
(2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x 轴的正方向，食指指出y 轴的正方向时，中指指向z 轴的正方向．
(3)空间一点M 的坐标用有序实数组(x ，y ，z )来表示，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标． 2．空间两点间的距离公式
设点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则||AB ＝(x 1－x 2)2
＋(y 1－y 2)2
＋(z 1－z 2)2
.
【典例剖析】
高频考点一 ：空间向量的线性运算
【典例1】如图，空间四边形OABC 中，,,,OA a OB b OC c ===点M 在OA 上，且2OM MA =，点N 为BC 中点，则MN 等于（ ）
A.
121232a b c -+ B.211
322a b c -++ C.111222a b c +- D.221332
a b c +-
【答案】B
【解析】由题意，212
()()323
MN ON OM OC CN OA OC CB OA =-=+-
=+-
12211211
()23322322
OC OB OC OA OA OB OC a b c =+--=-++=-++，故选B.
【典例2】如图，在空间四边形OABC 中， OA a =， OB b =， OC c =．点M 在OA 上，且2OM MA =，
N 是BC 的中点，则MN =( )
A. 121232a b c -+
B. 211322a b c -++
C. 112223a b c +-
D. 221332
a b c +-
【答案】B
【解析】由题，在空间四边形OAB ， OA a =， OB b =， OC c =．点M 在OA 上，且2OM MA =，
N 是BC 的中点，则11
22ON c b =+ ．
所以211
322
MN ON MO a b c =+=-++
故选B ． 【规律方法】
用已知向量表示某一向量的方法
(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．
(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立． 【变式探究】
1．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC BD 与的交点．若11=A B a 11A
D b =， 1A A c =，则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ）
A ．1122a b c ++-
B ．11
22a b c ++ C ．1122a b c -+ D ．11
22
a b c -+-
【答案】A
【解析】由题意知，11111111
2
B M B A A A AM B A A A A
C =++=++
111()222
a c a
b a b
c →→
=-+++=-++，故应选A ．
2．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，设1,,AB a AD b AA c ===，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点． （1）用向量,,a b c 表示1,D B EF ，；
（2）若1D F xa yb zc =++，求实数x ，y ，z 的值．
【答案】（1）1D B a b c =--，EF =
1()2a c -；（2）11
,,122
x y z ==-=-. 【解析】（1）111D B D D DB AA AB AD a b c =+=-+-=--，111
22
EF EA AF D A AC =+=
+ 1111
()()()222
AA AD AB AD a c =-+++=-.
（2）11111111
()()22222
D F D D D B c a b c a b c =+=-+--=--，所以11,,122x y z ==-=-.
【总结提升】
1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量.
2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决. 高频考点二 ： 共线向量定理、共面向量定理的应用
【典例3】若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有311
488
OP OA OB OC =
++，则P ，A ，B ，C 四点（ ）
A ．不共面
B ．共面
C ．共线
D ．不共线 【答案】B
【解析】由已知可得1
11488OP OA OA OB OC -=-++，即1111
8888
OP OA OA OB OC OA -=-++-，可得1
1111
()()()88888
AP OA OB OC OA BA AC AC AB =--+
-=-+=+,所以AP ，AC ，AB 共面但不共线，故P ，A ，B ，C 四点共面． 【典例4】（浙江省杭州市萧山区第一中学）已知，，若
，则（ ）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
【答案】A 【解析】，
，若，
则有，即
.
解得，
. 故选A. 【规律方法】
1.在空间适当选取三个不共面向量作为基向量，其它任意一向量都可用这一组基向量表示．
2.中点向量公式1
()2
OM OA OB =
+，在解题时可以直接使用．
3．证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线. (1)PA PB λ=；
(2)对空间任一点O ，OP OA t AB =+；
(3)对空间任一点O ，(1)OP xOA yOB x y =++=．
4．证明空间四点共面的方法
对空间四点P ，M ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面 (1)MP xMA yMB =+；
(2)对空间任一点O ，OP OM xMA yMB =++；
(3)对空间任一点O ，(1)OP xOM yOA zOB x y z =++++=； (4)PM ∥AB (或PA ∥MB 或PB ∥AM )． 【变式探究】
1．已知(2,1,3)a →
=-，(1,4,2)b →
=--，(7,5,)c λ→
=，若,,三向量共面，则实数λ等于（ ） A
【答案】D
【解析】由题三个向量共面可设：c ma nb =+，则：(7,5,)(2,,3)(,4,2)m m m n n n λ=-+--
得：725432m n m n m n
λ=-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩，解得：337177m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，993465777λ=-=
. 2．已知(0,0,0)O ，(2,2,2)A --，(1,4,6)B -，(,8,8)C x -，若OC AB ⊥，则x =________；若O ，A ，
B ，
C 四点共面，则x =__________．
【答案】16，8．
【解析】由题意得，(,8,8)OC x =-，(3,2,4)AB =-，∴316320OC AB OC AB x ⊥⇒⋅=--=， ∴16x =；若O ，A ，B ，C 四点共面，∴存在唯一的实数λ，μ使得，OC OA OB λμ=+，
∴(,8,8)(2,2,2)(1,4,6)x λμ-=--+-，∴28248826x x λμ
λμλμ=-+⎧⎪
-=+⇒=⎨⎪=--⎩
．
高频考点三 ： 空间向量的数量积及其应用
【典例5】已知空间四边形ABCD ，满足3AB =， 7BC =， 11CD =， 9DA =，则AC BD ⋅的值（ ）
A. 1-
B. 0
C. 212
D. 332
【答案】B
【解析】
如图，构造符合题设的空间四边形ABCD ，不妨设AB BD ⊥，则容易算得81972BD =-=222BC BD CD +=，则CB BD ⊥，故由线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面,ABC AC ⊂平面ABC ，所
以AC BD ⊥，即0AC BD ⋅=，应选答案B.
【典例6】（2018届江西省南昌三中高三上学期第二次考试）已知半径为1的球O 内切于正四面体A BCD -，线段MN 是球O 的一条动直径(,M N 是直径的两端点),点P 是正四面体A BCD -的表面上的一个动点,则PM PN AB BD ⋅+⋅的取值范围是______________________． 【答案】[]
12,4--
【解析】设正四面体的边长为a ， O 为球心，由下图可得在可知，
6366,,,AE BE OE AO =
===，因为内切球半径为16
1=，解得6a =以4,? 3AE AO ==
而又()(2
2cos ABD 26
cos
123
AB BD AB BD π
π∠⋅=⋅-==- 由题意M ，N 是直径的两端点，可得0OM ON +=,•1OM ON =-,
()()
()
2
2
2••••11PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON PO PO =++=+++=-=-而
由此可知，要求出PM PN AB BD ⋅+⋅的取值范围，只需求出2
•1PM PN PO =-，的范围即可． 当P 位于E （切点）时，OP 取得最小值1； 当P 位于A 处时，OP 取得最大值3．
综上可得2
1PO -的最小值为1-1=0，最大值为9-1=8． 则•PM PN 的取值范围是[0，8]．
再由12PM PN AB BD PM PN ⋅+⋅=⋅-，知PM PN AB BD ⋅+⋅取值范围是[]
12,4-- 故答案为： []
12,4--．
【总结提升】
1.空间向量数量积计算的两种方法 (1)基向量法：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．
(2)坐标法：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. 2．空间向量数量积的三个应用
求夹角 设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a ·b
|a ||b |
，进而可求两异面直线所成的角
求长度(距离) 运用公式|a |2
＝a ·a ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题 利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题
【变式探究】
1．已知向量()1,1,0a =， ()1,2,2b =-，且ka 与a b +互相垂直，则k 的值为（ ） A. 2 B. 0 C. -1 D. 1 【答案】B
【解析】因为向量()()()()1,1,0,1,2,2,,,0,2,1,2a b ka k k a b ==-∴=+=-，
ka 与a b +互相垂直，
()()
20ka a b k k ∴⋅+=-=，解得0k =，故选B.
2．已知A （2，3，－1），B （2，6，2），C （1，4，－1），则向量AB 与AC 的夹角为（ ） A ．45° B ．90° C ．30° D ．60° 【答案】D
【解析】因为1
(0,3,3),(1,1,0),cos ,
2
AB AC AB AC ==-<>==，所以,60AB AC <>=︒，故
选D. 【总结提升】
1. 当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；
2. 当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是
(0,]2πα∈，[0,]θπ∈，所以||
cos |cos |||||
a b a b αθ⋅==
⋅ 3. 立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a |＝a 2
转化为向量求解． 高频考点四 ： 空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算 【典例7】在空间直角坐标系中的点(,,)P a b c ，有下列叙述： ①点(,,)P a b c 关于横轴(x 轴)的对称点是1(,,)P a b c -； ②点(,,)P a b c 关于yOz 坐标平面的对称点为2(,,)P a b c --； ③点(,,)P a b c 关于纵轴(y 轴)的对称点是3(,,)P a b c -； ④点(,,)P a b c 关于坐标原点的对称点为4(,,)P a b c ---． 其中错误的叙述个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C
【解析】点(,,)P a b c 关于横轴的对称点1(,,)P a b c --，故①错；对于②，点(,,)P a b c 关于yOz 坐标平面的对称点为2(,,)P a b c -，故②错；对于③，点(,,)P a b c 关于纵轴的对称点是3(,,)P a b c --，故③错；④正确．
∴BE ⊥PM ，即PM ⊥BE .
【典例8】在空间直角坐标系中，点(1,,2)b -关于y 轴的对称点是(,1,2)a c --，则点P (,,)a b c 到坐标原点O 的距离||PO =_____________． 【答案】2
【解析】两点关于y 轴对称，则两点的横坐标，竖坐标互为相反数，纵坐标相同，所以由点(1,,2)b -关于y
轴的对称点是(,1,2)a c --可得1,1,0a b c ==-= ()1,1,0P ∴-，||2PO =.
【规律方法】 空间向量的坐标运算
（1）设i 、j 、k 为两两垂直的单位向量，如果OP xi y j zk =++，则(,,)x y z 叫做向量的坐标． （2）设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝
(x 2，y 2，z 2)
，那么
①a ±b ＝121212(,,)x x y y z z ±±±． ②a ·b ＝121212x x y y z z ++， ③cos 〈a ，b 〉＝
121212
2222
2
2
1
1
1
222
x y z x y z ++⋅++，
④|a |＝a ·a ＝2
2
2
111x y z ++ ， ⑤λa ＝111(,,)x y z λλλ，
⑥a ∥b ⇔121212,,x x y y z z λλλ===(λ∈R )， ⑦a ⊥b ⇔1212120x x y y z z ++=.
（3）设点M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)， 则2
2
2
12212121||()()()M M x x y y z z =-+-+-
【变式探究】
1．点是棱长为1的正方体的底面上一点，则
的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】以点为原点，以
所在的直线为轴，以
所在的直线为轴，以
所在的直线为轴，建立
空间直角坐标系，如图所示；
则点
设点的坐标为，由题意可得
由二次函数的
性质可得，当时取得最小值为
；
当或1，且
或1时，
取得最大值为0，
则的取值范围是
故选D ．
2．已知动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，且线段(03)PA r r =<<，记点P 的轨迹长度为()f r .给出以下四个命题：
①()3
12
f π=； ②()
23f
π=； ③2323
33f π⎛⎫√=
⎪⎝⎭
④函数()f r 在()0,1上是增函数， ()f r 在
(
)
2,3上是减函数.
其中为真命题的是___________（写出所有真命题的序号） 【答案】①④
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系，如图，则()()0,0,0,,,A P x y z ，所以PA r =的轨迹的几何意义是以
()0,0,0A 为圆心r 为半径的球面.则()l f r =是r 的函数，当1r =时，以()0,0,0A 为圆心r 为半径的圆与
正方体的表面的交线是四分之一圆周长弧长，相邻三个侧面的面积之和是()13132142
l f π
π==⨯⨯⨯=
，故答案①正确；当2r =
()0,0,0A 为圆心r 为半径的圆过点11,,B C D ，则23
2l f
==
答案②不正确；当r =
时，以()0,0,0A 为圆心r 为半径的圆过点0,1,3Q ⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭，则
13212l f π==⨯⨯=⎝⎭
，故答案③不正确；由于01r <<时，单调递增且当1r =时，
()
l f r =最大；当r ∈
，单调递减，故答案④正确；应填答案①④.
【总结提升】
1.求向量的数量积的方法：
①设向量a ，b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ；
②若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. 根据已知条件，准确选择上述两种方法，可简化计算． 2.求向量模的方法： ①|a |＝a 2
；
②若a ＝(x ，y ，z )，则|a |＝x 2
＋y 2
＋z 2
.。