2023年中考数学图形的相似真题汇编(共29题有答案)

图形的相似(29题)
一、单选题
1(2023·重庆·统考中考真题)如图，
已知△ABC ∽△EDC ，AC :EC =2:3，若AB 的长度为6，则DE 的长度为()
A.4
B.9
C.12
D.13.5
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质即可求出．
【详解】解：∵△ABC ∽△EDC ，
∴AC :EC =AB :DE ，
∵AC :EC =2:3，AB =6，
∴2:3=6:DE ，
∴DE =9，
故选：B .
【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.
2(2023·四川遂宁·统考中考真题)在方格图中，
以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC 、△DEF 成位似关系，则位似中心的坐标为()
A.-1,0
B.0,0
C.0,1
D.1,0
【答案】A
【分析】根据题意确定直线AD 的解析式为：y =x +1，由位似图形的性质得出AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．
【详解】解：由图得：A 1,2 ,D 3,4 ，
设直线AD 的解析式为：y =kx +b ，将点代入得：
2=k +b 4=3k +b ，解得：k =1b =1 ，
∴直线AD 的解析式为：y =x +1，
AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，
∴当y =0时，x =-1，
∴位似中心的坐标为-1,0 ，
故选：A ．
【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．
3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，
在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为A 1,2 ,B 2,1 ,C 3,2 ，现以原点O 为位似中心，在第一象限内作与△ABC 的位似比为2的位似图形△A B C ，则顶点C 的坐标是()
A.2,4
B.4,2
C.6,4
D.5,4
【答案】C
【分析】直接根据位似图形的性质即可得．
【详解】解：∵△ABC 的位似比为2的位似图形是△A B C ，且C 3,2 ，
∴C 2×3,2×2 ，即C 6,4 ，
故选：C ．
【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
4(2023·四川南充·统考中考真题)如图，
数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，则旗杆高度为()
A.6.4m
B.8m
C.9.6m
D.12.5m
【答案】B
【分析】根据镜面反射性质，可求出∠ACB =∠ECD ，再利用垂直求△ABC ∽△EDC ，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.
【详解】解：如图所示，
由图可知，AB ⊥BD ，CD ⊥DE ，CF ⊥BD
∴∠ABC =∠CDE =90°.
∵根据镜面的反射性质，
∴∠ACF =∠ECF ，
∴90°-∠ACF =90°-∠ECF ，
∴∠ACB =∠ECD ，
∴△ABC ∽△EDC ，
∴AB DE =BC CD
.∵小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，
∴AB =1.6m ，BC =2m ，CD =10m .
∴1.6DE =210.∴DE =8m .
故选：B .
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.
5(2023·安徽·统考中考真题)如图，
点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，EF ⊥AB 于点F ，连接DE 并延长，交边BC 于点M ，交边AB 的延长线于点G ．若AF =2，FB =1，则MG =()
A.23
B.352
C.5+1
D.10【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出
DE EM =AF FB =2，根据△ADE ∽△CME ，得出AD CM =DE EM =2，则CM =12AD =32，进而可得MB =32
，根据BC ∥AD ，得出△GMB ∽△GDA ，根据相似三角形的性质得出BG =3，进而在Rt △BGM 中，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AF =2，FB =1，
∴AD =BC =AB =AF +FG =2+1=3，AD ∥CB ，AD ⊥AB ,CB ⊥AB ，
∵EF ⊥AB ，
∴AD ∥EF ∥BC
∴DE EM =AF
FB
=2，△ADE∽△CME，
∴AD CM =DE
EM
=2，
则CM=1
2
AD=3
2，
∴MB=3-CM=3
2，∵BC∥AD，
∴△GMB∽△GDA，
∴BG AG =MB
DA
=
3
2
3
=1
2
∴BG=AB=3，
在Rt△BGM中，MG=MB2+BG2=
3
2
2+32=352，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点B为圆心，适当长为半
径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于1
2
EF长为半径画弧交于点P，作射线
BP，过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M，N，则CN的长为()
A.10
B.11
C.23
D.4
【答案】A
【分析】由作图可知BP平分∠CBD，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，根据角平分线的性质可知RQ=RC，进而证明Rt△BCR≌Rt△BQR，推出BC=BQ=4，设RQ=RC=x，
则DR=CD-CR=3-x，解Rt△DQR求出QR=CR=4
3．利用三角形面积法求出OC，再证△OCR
∽△DCN，根据相似三角形对应边成比例即可求出CN．
【详解】解：如图，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，
∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，
∴CD =AB =3，
∴BD =BC 2+CD 2=5．
由作图过程可知，BP 平分∠CBD ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴CD ⊥BC ，
又∵RQ ⊥BD ，
∴RQ =RC ，
在Rt △BCR 和Rt △BQR 中，
RQ =RC BR =BR ，
∴Rt △BCR ≌Rt △BQR HL ，
∴BC =BQ =4，
∴QD =BD -BQ =5-4=1，
设RQ =RC =x ，则DR =CD -CR =3-x ，
在Rt △DQR 中，由勾股定理得DR 2=DQ 2+RQ 2，
即3-x 2=12+x 2，
解得x =43，∴CR =43．∴BR =BC 2+CR 2=
4310．∵S △BCR =12CR ⋅BC =12BR ⋅OC ，∴OC =CR ⋅BC BR =43×44310=2510．∵∠COR =∠CDN =90°，∠OCR =∠DCN ，
∴△OCR ∽△DCN ，
∴OC DC =CR CN ，即25103=43CN
，解得CN =10．
故选：A ．
【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出BP 平分∠CBD ，通过勾股定理解直角三角形求出CR ．
7(2023·四川内江·统考中考真题)如图，
在△ABC 中，点D 、E 为边AB 的三等分点，点F 、G 在边BC 上，AC ∥DG ∥EF ，点H 为AF 与DG 的交点．若AC =12，则DH 的长为()
A.1
B.32
C.2
D.3
【答案】C 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，DH 是
△AEF 的中位线，易证△BEF ∽△BAC ，得EF AC =BE AB
，解得EF =4，则DH =12EF =2．【详解】解：∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，
∴BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，
∴AB =3BE ，DH 是△AEF 的中位线，
∴DH =12
EF ，∵EF ∥AC ，
∴∠BEF =∠BAC ,∠BFE =∠BCA ,
∴△BEF ∽△BAC ，
∴EF AC =BE AB
，即EF 12=BE 3BE ，解得：EF =4，
∴DH =12EF =12×4=2，故选：C ．
【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，
在平面直角坐标系中，O 为原点，OA =OB =35，点C 为平面内一动点，BC =32
，连接AC ，点M 是线段AC 上的一点，且满足CM :MA =1:2．当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是()
A.35,65
B.355,655
C.65,125
D.655,1255 【答案】D
【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352
，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，先证△OAM ∽△DAC ，得OM CD =OA AD =23
，从而当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，然后分别证△BDO ∽△CDF ，△AEM ∽△AFC ，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵点C 为平面内一动点，BC =
32
，∴点C 在以点B 为圆心，32
为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，
∵OA =OB =35，
∴AD =OD +OA =
952，∴OA AD
=23，∵CM :MA =1:2，
∴OA AD =23=CM AC
，∵∠OAM =∠DAC ，
∴△OAM ∽△DAC ，
∴OM CD =OA AD
=23，∴当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，
∵OA =OB =35，OD =
352，∴BD =OB 2+OD 2=
35 2+352 2=152
，∴CD =BC +BD =9，
∵OM CD
=23，∴OM =6，
∵y 轴⊥x 轴，CF ⊥OA ，
∴∠DOB =∠DFC =90°，
∵∠BDO =∠CDF ，
∴△BDO ∽△CDF ，
∴OB CF =BD CD 即35CF
=1529，解得CF =1855
，同理可得，△AEM ∽△AFC ，
∴ME CF =AM AC =23即ME 1855
=23，解得ME =1255
，∴OE =OM 2-ME 2=62-1255 2=
655
，∴当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是655，1255
，故选：D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
9(2023·山东东营·统考中考真题)如图，
正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，且BF =CE ，AE 平分∠CAD ，连接DF ，分别交AE ，AC 于点G ，M ，P 是线段AG 上的一个动点，过点P 作PN ⊥AC 垂足为N ，连接PM ，有下列四个结论：①AE 垂直平分DM ；②PM +PN 的最小值为32；③CF 2=GE ⋅AE ；④S ΔADM =62．其中正确的是()
A.①②
B.②③④
C.①③④
D.①③
【答案】D
【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明∠DAE =∠FDC ，通过等量转化即可求证AG ⊥DM ，利用角平分线的性质和公共边即可证明△ADG ≌△AMG ASA ，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明△ADE ∽△DGE 推出DE 2=GE ⋅AE ，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出AM 和CM 长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出PM +PN 的最小值，从而证明②不对.
【详解】解：∵ABCD 为正方形，
∴BC =CD =AD ，∠ADE =∠DCF =90°，
∵BF =CE ，
∴DE =FC ，
∴△ADE ≌△DCF SAS .
∴∠DAE =∠FDC ,
∵∠ADE =90°,
∴∠ADG +∠FDC =90°，
∴∠ADG +∠DAE =90°，
∴∠AGD =∠AGM =90°.
∵AE 平分∠CAD ，
∴∠DAG =∠MAG .
∵AG =AG ，
∴△ADG ≌△AMG ASA .
∴DG =GM ，
∵∠AGD =∠AGM =90°，
∴AE 垂直平分DM ，
故①正确.由①可知，∠ADE =∠DGE =90°，∠DAE =∠GDE ，
∴△ADE ∽△DGE ，
∴DE GE
=AE DE ，∴DE 2=GE ⋅AE ，
由①可知DE =CF ，
∴CF 2=GE ⋅AE .
故③正确.
∵ABCD 为正方形，且边长为4，
∴AB =BC =AD =4，
∴在Rt △ABC 中，AC =2AB =4 2.
由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，
∴AM =AD =4，
∴CM =AC -AM =42-4.
由图可知，△DMC 和△ADM 等高，设高为h ，
∴S △ADM =S △ADC -S △DMC ，
∴4×h 2=4×42-42-4 ⋅h 2
，∴h =22，
∴S △ADM =12⋅AM ⋅h =12
×4×22=4 2.故④不正确.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，
∴DG =GM ，
∴M 关于线段AG 的对称点为D ，过点D 作DN ⊥AC ，交AC 于N ，交AE 于P ，
∴PM +PN 最小即为DN ，如图所示，
由④可知△ADM 的高h =22即为图中的DN ，
∴DN =2 2.
故②不正确.
综上所述，正确的是①③.
故选：D .
【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角
形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运
用相关知识点.
10(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，
把一个边长为5的菱形ABCD 沿着直线DE 折叠，使点C 与AB 延长线上的点Q 重合．DE 交BC 于点F ，交AB 延长线于点E ．DQ 交BC 于点P ，DM ⊥AB
于点M ，AM =4，则下列结论，①DQ =EQ ，②BQ =3，③BP =158
，④BD ∥FQ ．正确的是()
A.①②③
B.②④
C.①③④
D.①②③④【答案】A
【分析】由折叠性质和平行线的性质可得∠QDF =∠CDF =∠QEF ，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出MQ =AM =4，再求出BQ 即可判断②正确；由△CDP ∽△BQP 得
CP BP =CD BQ
=53，求出BP 即可判断③正确；根据EF DE ≠QE BE 即可判断④错误．【详解】由折叠性质可知：∠CDF =∠QDF ,CD =DQ =5，
∵CD ∥AB ，
∴∠CDF =∠QEF ．
∴∠QDF =∠QEF ．
∴DQ =EQ =5．
故①正确；
∵DQ =CD =AD =5，DM ⊥AB ，
∴MQ =AM =4．
∵MB =AB -AM =5-4=1，
∴BQ =MQ -MB =4-1=3．
故②正确；
∵CD ∥AB ，
∴△CDP ∽△BQP ．
∴CP BP =CD BQ
=53．∵CP +BP =BC =5，
∴BP =38BC =158
．故③正确；
∵CD ∥AB ，
∴△CDF ∽△BEF ．
∴DF EF =CD BE =CD BQ +QE
=53+5=58．∴EF DE =813．∵QE BE =58，∴EF DE ≠QE BE
．∴△EFQ 与△EDB 不相似．
∴∠EQF ≠∠EBD ．
∴BD 与FQ 不平行．
故④错误；
故选：A ．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键．
11(2023·黑龙江·统考中考真题)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且AF ⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=22；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．()
A.①②③④⑤
B.①②③⑤
C.①②③
D.①②⑤
【答案】B
【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，
∵AF⊥DE，
∴∠BAF+∠AED=90°，
∵∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠AED=∠BFA，
∴△ABF≌△AED AAS
，
∴AF=DE，故①正确，
∵将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，
∴BM⊥AF，
∵AF⊥DE，
∴BM∥DE，故②正确，
当CM⊥FM时，∠CMF=90°，
∵∠AMF=∠ABF=90°，
∴∠AMF+∠CMF=180°，即A,M,C在同一直线上，
∴∠MCF=45°，
∴∠MFC=90°-∠MCF=45°，
通过翻折的性质可得∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，
∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，
∴BC∥MH,HB∥MF，
∴四边形BHMF是平行四边形，
∵BF=MF，
∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确，
当点E运动到AB的中点，如图，
设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，
在Rt △AED 中，DE =AD 2+AE 2=5a =AF ，
∵∠AHD =∠FHB ,∠ADH =∠FBH =45°，
∴△AHD ∽△FHB ，
∴FH AH =BF AD
=a 2a =12，∴AH =23AF =253
a ，∵∠AGE =∠ABF =90°，
∴△AGF ∽△ABF ，
∴AE AF =EG BF =AG AB =a 5a
=55，∴EG =55BF =55a ，AG =55AB =255
a ，∴DG =ED -EG =455a ，GH =AH -AG =4515
a ，∵∠BHF =∠DHA ，
在Rt △DGH 中，tan ∠BHF =tan ∠DHA =DG GH
=3，故④错误，∵△AHD ∽△FHB ，
∴BH DH
=12，∴BH =13BD =13×22a =223a ，DH =23BD =23×22a =423
a ，∵AF ⊥EP ，
根据翻折的性质可得EP =2EG =255
a ，∴EP ⋅DH =255a ⋅423a =81015
a 2，2AG ⋅BH =2⋅255a ⋅223a =81015
a 2，∴EP ⋅DH =2AG ⋅BH =81015
a 2，故⑤正确；综上分析可知，正确的是①②③⑤．
故选：B ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键．
二、填空题
12(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，
在平面直角坐标系中，△ABC 与△A 1B 1C 1位似，原点O 是位似中心，且AB A 1B 1
=3．若A 9,3 ，则A 1点的坐标是．
【答案】3,1
【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．
【详解】解∶设A 1m ,n
∵△ABC 与△A 1B 1C 1位似，原点O 是位似中心，且AB A 1B 1=3．若A 9,3 ，∴位似比为31，∴9m =31，3n =31
，解得m =3，n =1，
∴A 13,1
故答案为：3,1 .
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．
13(2023·吉林长春·统考中考真题)如图，
△ABC 和△A B C 是以点O 为位似中心的位似图形，点A 在线段OA 上．若OA :AA =1:2，则△ABC 和△A B C 的周长之比为．
【答案】1:3
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．
【详解】解：∵OA :AA =1:2，
∴OA :OA =1:3，
设△ABC 周长为l 1，设△A B C 周长为l 2，
∵△ABC 和△A B C 是以点O 为位似中心的位似图形，
∴l 1l 2=OA OA
=13．∴l 1:l 2=1:3．
∴△ABC 和△A B C 的周长之比为1:3．
故答案为：1:3．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．
14(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，
在平行四边形ABCD 中，E 是线段AB 上一点，连结AC 、
DE 交于点F ．若AE EB =23，则S △ADF S △AEF =．
【答案】52【分析】四边形ABCD 是平行四边形，则AB =CD ,AB ∥CD ，可证明△EAF ∽△DCF ，得到
DF EF =CD AE =
AB AE
，由AE EB =23进一步即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ,AB ∥CD ，
∴∠AEF =∠CDF ,∠EAF =∠DCF ，
∴△EAF ∽△DCF ，
∴DF EF =CD AE =AB AE ,∵AE EB =23，∴AB AE =52，∴S △ADF S △AEF =DF EF =AB AE
=52．故答案为：52
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明△EAF ∽△DCF 是解题的关键．
15(2023·江西·统考中考真题)
《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC )．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A ，B ，Q 在同一水平线上，∠ABC 和∠AQP 均为直角，AP 与BC 相交于点D ．测得AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，则树高PQ =m ．
【答案】6
【分析】根据题意可得△ABD ∽△AQP ，然后相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵∠ABC 和∠AQP 均为直角
∴BD ∥PQ ，
∴△ABD ∽△AQP ，
∴BD PQ =AB AQ
∵AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，
∴PQ =AQ ×BD AB
=12×2040=6m ,故答案为：6．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，
在△ABC 中，D 是边AB 上一点，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②以点D 为圆心，以AM 长为半径作弧，交DB 于点M ；③以点M 为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠BAC 内部交前面的弧于点N ：④过点N 作射
线DN 交BC 于点E ．若△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，则BE CE
的值为．
【答案】23
【分析】根据作图可得∠BDE =∠A ，然后得出DE ∥AC ，可证明△BDE ∽△BAC ，进而根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：根据作图可得∠BDE =∠A ，
∴DE ∥AC ，
∴△BDE ∽△BAC ，
∵△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，
∴S △BDC S △BAC =421+4=BE BC
2∴BE BC =25∴BE CE =23，故答案为：23
．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．
17(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，
在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =3,BC =1，将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到△AB C ．连接BB ，交AC 于点D ，则AD DC
的值为．
【答案】5
【分析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，利用勾股定理求得AB =10，根据旋转的性质可证△ABB 、△DFB
是等腰直角三角形，可得DF =BF ，再由S △ADB =12×BC ×AD =12
×DF ×AB ，得AD =10DF ，证明△AFD ∼△ACB ，可得DF BC =AF AC ，即AF =3DF ，再由AF =10-DF ，求得DF =104，从而求得AD =52，CD =12
，即可求解．【详解】解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，
∵∠ACB =90°，AC =3，BC =1，
∴AB =32+12=10，
∵将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°得到△AB C ，
∴AB =AB =10，∠BAB =90°，
∴△ABB 是等腰直角三角形，
∴∠ABB =45°，
又∵DF ⊥AB ，
∴∠FDB =45°，
∴△DFB 是等腰直角三角形，
∴DF =BF ，
∵S △ADB =12×BC ×AD =12
×DF ×AB ，即AD =10DF ，
∵∠C =∠AFD =90°，∠CAB =∠FAD ，
∴△AFD ∼△ACB ，
∴DF BC =AF AC
，即AF =3DF ，又∵AF =10-DF ，
∴DF =104
，∴AD =10×104=52，CD =3-52=12
，∴AD CD =5
212=5，故答案为：5．
【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．
18(2023·河南·统考中考真题)矩形ABCD 中，
M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN =AB =1．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为
．
【答案】2或2+1
【分析】分两种情况：当∠MND =90°时和当∠NMD =90°时，分别进行讨论求解即可．
【详解】解：当∠MND =90°时，
∵四边形ABCD 矩形，
∴∠A =90°，则MN ∥AB ，由平行线分线段成比例可得：AN ND =BM MD
，又∵M 为对角线BD 的中点，
∴BM =MD ，
∴AN ND =BM MD
=1，即：ND =AN =1，
∴AD =AN +ND =2，
当∠NMD =90°时，
∵M 为对角线BD 的中点，∠NMD =90°
∴MN 为BD 的垂直平分线，
∴BN =ND ，
∵四边形ABCD 矩形，AN =AB =1
∴∠A =90°，则BN =AB 2+AN 2=2，
∴BN =ND =2
∴AD =AN +ND =2+1，
综上，AD 的长为2或2+1，
故答案为：2或2+1．
【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．
19(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，
在正方形ABCD 中，AB =3，延长BC 至E ，使CE =2，连接AE ，CF 平分∠DCE 交AE 于F ，连接DF ，则DF 的长为．
【答案】3104
【分析】如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，由CF 平分∠DCE ，可知∠FCM =∠FCN =45°，可得四边形CMFN 是正方形，FM ∥AB ，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，证明△EFM ∽
△EAB ，则FM AB
=ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2，计算求解即可．
【详解】解：如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，则四边形CMFN 是矩形，FM ∥AB ，
∵CF 平分∠DCE ，
∴∠FCM =∠FCN =45°，
∴CM =FM ，
∴四边形CMFN 是正方形，
设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，
∵FM ∥AB ，
∴△EFM ∽△EAB ，
∴FM AB =ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，∴DN =CD -CN =94
，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2=3104
，故答案为：3104
．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
20(2023·广东·统考中考真题)边长分别为10，
6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为．
【答案】15
【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：如图，
由题意可知AD =DC =10,CG =CE =GF =6,∠CEF =∠EFG =90°，GH =4，
∴CH =10=AD ，
∵∠D =∠DCH =90°,∠AJD =∠HJC ，
∴△ADJ ≌△HCJ AAS ，
∴CJ =DJ =5，
∴EJ =1，
∵GI ∥CJ ，
∴△HGI ∽△HCJ ，
∴GI CJ =GH CH
=25，∴GI =2，
∴FI =4，
∴S 梯形EJIF =
12
EJ +FI ⋅EF =15；故答案为：15．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
21(2023·天津·统考中考真题)如图，
在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，EA =ED =52
．
(1)△ADE 的面积为
；(2)若F 为BE 的中点，连接AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为
．【答案】3；13
【分析】(1)过点E 作EH ⊥AD ，根据正方形和等腰三角形的性质，得到AH 的长，再利用勾股定理，求出EH 的长，即可得到△ADE 的面积；
(2)延长EH 交AG 于点K ，利用正方形和平行线的性质，证明△ABF ≌△KEF ASA ，得到EK 的长，进
而得到KH 的长，再证明△AHK ∽△ADG ，得到KH GD =AH AD ，进而求出GD 的长，最后利用勾股定理，即
可求出AG的长．
【详解】解：(1)过点E作EH⊥AD，
∵正方形ABCD的边长为3，
∴AD=3，
∵△ADE是等腰三角形，EA=ED=5
2，EH⊥AD，
∴AH=DH=1
2AD=3
2，
在Rt△AHE中，EH=AE2-AH2=
5
2
2-32 2=2，
∴S△ADE=1
2AD⋅EH=1
2
×3×2=3,
故答案为：3；
(2)延长EH交AG于点K，
∵正方形ABCD的边长为3，
∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=3，∴AB⊥AD，CD⊥AD，
∵EK⊥AD，
∴AB∥EK∥CD，
∴∠ABF=∠KEF，
∵F为BE的中点，
∴BF=EF，
在△ABF和△KEF中，∠ABF=∠KEF BF=EF
∠AFB=∠KFE
，∴△ABF≌△KEF ASA
，
∴EK=AB=3，
由(1)可知，AH=1
2
AD，EH=2，
∴KH=1，
∵KH∥CD，
∴△AHK∽△ADG，
∴KH GD =AH AD，
∴GD=2，在Rt
△
ADG中，AG=AD2+GD2=32+22=13，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．
22(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，AP
PC的值是．
【答案】27
【分析】作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，此时PE +PF 取得最小值，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，根据题意可知点F 落在AD 上，设正方形的边长为a ，求得AK 的边长，证明
△AEP ∽△KF P ，可得KP AP
=2，即可解答．【详解】解：作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，
由题意得：此时F 落在AD 上，且根据对称的性质，当P 点与P 重合时PE +PF 取得最小值，
设正方形ABCD 的边长为a ，则AF =AF =23
a ，∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠F AK =45°，∠P AE =45°，AC =2a
∵F K ⊥AF ，
∴∠F AK =∠F KA =45°，
∴AK =223
a ，∵∠F P K =∠EP A ，
∴△E KP ∽△EAP ，
∴F K AE =KP AP
=2，∴AP =13AK =292a ，∴CP =AC -AP =79
2a ， ∴AP CP
=27，∴当PE +PF 取得最小值时，AP PC 的值是为27，故答案为：27
．【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．
23(2023·山西·统考中考真题)如图，
在四边形ABCD 中，∠BCD =90°，对角线AC ,BD 相交于点O ．若AB =AC =5,BC =6,∠ADB =2∠CBD ，则AD 的长为．
【答案】973
【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，根据等腰三角形性质得出BH =HC =12BC =3，根据勾股定理求出AH =AC 2-CH 2=4，证明∠CBD =∠CED ，得出DB =DE ，根据等腰三角形性质得出CE =BC =6，证明CD ∥AH ，得出CD AH
=CE HE ，求出CD =83，根据勾股定理求出DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，根据CD ∥AH ，得出DE AD =CE CH ，即2973AD
=63，求出结果即可．【详解】解：过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，如图所示：
则∠AHC =∠AHB =90°，
∵AB =AC =5,BC =6，
∴BH =HC =12
BC =3，∴AH =AC 2-CH 2=4，
∵∠ADB =∠CBD +∠CED ，∠ADB =2∠CBD ，
∴∠CBD =∠CED ，
∴DB =DE ，
∵∠BCD =90°，
∴DC ⊥BE ，
∴CE =BC =6，
∴EH =CE +CH =9，
∵DC ⊥BE ，AH ⊥BC ，
∴CD ∥AH ，
∴△ECD ~△EHA ，
∴CD AH =CE HE ，即CD 4=69，解得：CD =83
，∴DE =CE 2+CD 2=
62+83 2=2973
，∵CD ∥AH ，
∴DE AD
=CE CH ，即2973AD =63
，
解得：AD =
973
．故答案为：973
．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．三、解答题
24(2023·湖南·统考中考真题)在Rt △ABC 中，
∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．
(1)证明：△ABD ∽△CBA ；
(2)若AB =6，BC =10，求BD 的长．
【答案】(1)见解析
(2)BD =185
【分析】(1)根据三角形高的定义得出∠ADB =90°，根据等角的余角相等，得出∠BAD =∠C ，结合公共角∠B =∠B ，即可得证；
(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】(1)证明：∵∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．
∴∠ADB =90°，∠B +∠C =90°
∴∠B +∠BAD =90°，
∴∠BAD =∠C
又∵∠B =∠B
∴△ABD ∽△CBA ，
(2)∵△ABD ∽△CBA
∴AB CB =BD AB
，又AB =6，BC =10
∴BD =AB 2CB
=3610=185．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
25(2023·湖南·统考中考真题)如图，
CA ⊥AD ,ED ⊥AD ，点B 是线段AD 上的一点，且CB ⊥BE ．已知AB =8,AC =6,DE =4．
(1)证明：△ABC∽△DEB．
(2)求线段BD的长．
【答案】(1)见解析
(2)BD=3
【分析】(1)根据题意得出∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，则∠C=∠EBD，即可得证；
(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．
【详解】(1)证明：∵AC⊥AD,ED⊥AD，
∴∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，
∵CE⊥BE，
∴∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠C=∠EBD，
∴△ABC∽△DEB；
(2)∵△ABC∽△DEB，
∴AB DE =AC BD，
∵AB=8,AC=6,DE=4，
∴8 4=6 BD，
解得：BD=3．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
26(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．
(1)求证：AF=AB；
(2)点G是线段AF上一点，满足∠FCG=∠FCD，CG交AD于点H，若AG=2,FG=6，求GH的长．【答案】(1)见解析
(2)6
5
【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，证明△AEF≅△DEC ASA
，推出AF= CD，即可解答；
(2)通过平行四边形的性质证明GC=GF=6，再通过(1)中的结论得到DC=AB=AF=8，最后证明△AGH∽△DCH，利用对应线段比相等，列方程即可解答．
【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠EAF=∠D，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵∠AEF =∠CED ，
∴△AEF ≅△DEC ASA ，
∴AF =CD ，
∴AF =AB ；
(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DC =AB =AF =FG +GA =8，DC ∥FA ，
∴∠DCF =∠F ，∠DCG =∠CGB ，
∵∠FCG =∠FCD ，
∴∠F =∠FCG ，
∴GC =GF =6，
∵∠DHC =∠AHG ，
∴△AGH ∽△DCH ，
∴GH CH =AG DC
，设HG =x ,则CH =CG -GH =6-x ，
可得方程x 6-x =28，解得x =65，即GH 的长为65
．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．
27(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，
在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB =∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 于点E ．
(1)求证：AC ⊥BD ；
(2)若AB =10，AC =16，求OE 的长．
【答案】(1)见详解
(2)92
【分析】(1)可证AB =CB ，从而可证四边形ABCD 是菱形，即可得证；
(2)可求OB =6，再证△EBO ∽△BAO ，可得EO BO =BO AO
，即可求解．【详解】(1)证明：∵∠CAB =∠ACB ，
∴AB =CB ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ．
(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA =
12
AC =8，∵AC ⊥BD ，BE ⊥AB ，∴∠AOB =∠BOE =∠ABE =90°，
∴OB =AB 2-OB 2=102-82=6，
∵∠EBO +∠BEO =90°，
∠ABO +∠EBO =90°，
∴∠BEO =∠ABO ，
∴△EBO ∽△BAO ，∴EO BO =BO AO ，∴EO 6=68解得：OE =92
．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
28(2023·江苏扬州·统考中考真题)如图，
点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，连接AF 、CE 相交于点M ，连接AG 、CH 相交于点N ．
(1)求证：四边形AMCN 是平行四边形；
(2)若▱AMCN 的面积为4，求▱ABCD 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】(1)根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形AECG ，四边形AFCH 均为平行四边形，进而得到：AM ∥CN ,AN ∥CM ，即可得证；
(2)连接HG ,AC ,EF ，推出S △ANH S △ANC =HN CN
=12，S △FMC S △AMC =12，进而得到S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12
S ▱AMCN =2，求出S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，再根据S ▱ABCD =2S ▱AFCH ，即可得解．【详解】(1)证明：∵▱ABCD ，
∴AB ∥CD ,AD ∥BC ,AB =CD ,AD =BC ，
∵点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，
∴AE =12AB =12
CD =CG ,AE ∥CG ，∴四边形AECG 为平行四边形，
同理可得：四边形AFCH 为平行四边形，
∴AM ∥CN ,AN ∥CM ，
∴四边形AMCN 是平行四边形；
(2)解：连接HG ,AC ,EF ，
∵H ,G 为AD ,CD 的中点，
∴HG ∥AC ,HG =12
AC ，∴△HNG ∽△CNA ，∴HN CN =HG AC =12，∴S △ANH S △ANC =HN CN
=12，同理可得：S △FMC S △AMC =12∴S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12
S ▱AMCN =2，∴S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，
∵AH =12
AD ，∴S ▱ABCD =2S ▱AFCH =12．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键．
29(2023·上海·统考中考真题)如图，
在梯形ABCD 中AD ∥BC ，点F ，E 分别在线段BC ，AC 上，且∠FAC =∠ADE ，AC =AD
(1)求证：DE =AF
(2)若∠ABC =∠CDE ，求证：AF 2=BF ⋅CE
【答案】见解析
【分析】(1)先根据平行线的性质可得∠DAE =∠ACF ，再根据三角形的全等的判定可得△DAE ≅△ACF ，然后根据全等的三角形的性质即可得证；
(2)先根据全等三角形的性质可得∠AFC =∠DEA ，从而可得∠AFB =∠CED ，再根据相似三角形的判定可得△ABF ∼△CDE ，然后根据相似三角形的性质即可得证．
【详解】(1)证明：∵AD ∥BC ，
∴∠DAE =∠ACF ，
在△DAE和△ACF中，∠DAE=∠ACF AD=CA
∠ADE=∠CAF
，
∴△DAE≅△ACF ASA
，
∴DE=AF．
(2)证明：∵△DAE≅△ACF，
∴∠AFC=∠DEA，
∴180°-∠AFC=180°-∠DEA，即∠AFB=∠CED，
在△ABF和△CDE中，∠AFB=∠CED ∠ABF=∠CDE
，∴△ABF∼△CDE，
∴AF CE =BF DE，
由(1)已证：DE=AF，
∴AF CE =BF AF，
∴AF2=BF⋅CE．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．。