衍生金融工具复习

付息票债券的远期价格偏高时的套利机会
市场情况
一年后交割的附息票债券远期合约的价格为930美元。

债券的即期价格为900美元。

预期债券在6个月后12个月后各支付40美元的利息。

6个月期和12个月期的无风险利率分别为9%和10%。

套利机会
远期价格偏高，套利者可以：
1.即期借900美元，买入一份债券。

2.卖空一份债券的远期合约。

在即期所借900美元中，其中38.24美元以9%的年利率借入6个月，另外861.76美元以10%的年利率借入一年。

首次利息支付40美元正好用来偿还6个月期38.24美元贷款的本金和利息。

一年之后，收到了第二次利息40美元，根据远期合约条款卖出债券收到930美元。

861.76美元的贷款到期共需偿还本金和利息952.39美元。

该策略净盈利为：
+-=
40930952.3917.61
付息票债券的远期价格偏低时的套利机会
市场情况
一年后交割的附息票债券远期合约的价格为905美元。

债券的即期价格为900美元。

预期债券在6个月后12个月后分别支付利息40美元。

6个月期和12个月期的无风险利率分别为9%和10%。

套利机会
远期价格偏低，套利者可以：
3.卖出一份债券。

4.签署一年后购买一份债券的远期合约。

卖出债券得到900美元，其中38.24美元作6个月无风险投资，另外861.76美元作一年无风险投资。

此策略在6个月和12个月后分别产生40美元和952.39美元的现金流入。

前面40美元用来支付6个月后的债券利息；后面952.39美元中40美元用来支付一年后的债券利息，905美元用来根据远期合约条款购回债券，即期出售债券而远期将该债券购回的策略所产生的净收益为：
--=
952.39409057.39
比简单的持有一年该债券的收益更多。

3.5 一种股票预计在两个月后会每股支付1美元红利，5个月后再支付一次。

股票价格为50美元，无风险利率为8%（对任何到期日连续复利计息）。

一位投资者刚刚持有这种股票的6个月远期合约的空头寸。

（a ）远期价格为多少？远期合约的初始价值为多少？
（b ）3个月后，股票价格为48美元，无风险利率不变。

远期价格和远期合约空头头寸的价值为多少？
（a ） 股票分配股息的现值为：
2
5
0.080.0812
12
111 1.9540I e
e
-⨯
-⨯
=⨯+⨯=
远期价格：()()0.080.5
11150 1.954050.01rt
F S I e e
⨯=-=-=
因为投资者刚刚持有该头寸，所以远期合约初始价值10f -=，且1K F = （b ）3个月后， 股票分配股息的现值为： 2
0.0812
210.9868I e
-⨯
=⨯=
远期价格：()()2
30.0812
222480.986847.96rt F S I e
e
⨯
=-=-=
远期合约空头头寸价值：()()2
3
0.0812
247.9650.01 2.01rt f F K e
e
-⨯
-=--=--=
5.31 一家银行向企业客户提供两种选择：一种是按11%的利率借入现金，另一种是以2%利率借入黄金（当借入黄金时，必须以黄金形式支付利息，因此，如果今天借入100盎司，在1年后必须偿还102盎司黄金）。

无风险利率为每年9.25%，贮存费为每年0.5%。

讨论同现金贷款利率相比，借入黄金的利率是太高还是太低？这里两种贷款的利率均为每年复利一次，无风险利率和贮存费用利率均为连续复利。

设黄金价格为1000美元/盎司，并且这个客户想借入的资金为1000000美元。

该客户既可以直接借入1000000美元现金，也可以借入1000盎司黄金。

如果直接借入现金，则到期需偿还1000000×1.11=1110000美元。

如果借入1000盎司黄金，到期需偿还1020盎司黄金。

由于9.25%r =，0.5%u =，根据教材公式，可得远期价格为：
()()0.09250.005110001102.41r u T F Se e +⋅+⋅===
通过在远期市场买入1020盎司黄金，该企业客户可以锁定借入黄金的到期偿还额为：
10201102.411124460⨯=
很明显，直接借入现金要优于借入黄金（1124460>1110000）。

计算结果表明，借入黄金
的利率过高。

那么多高的利率是合理的呢？假定R 是借入黄金的利率，那么到期该企业客户需偿还黄金数为1000×（1+R ）盎司，根据上面的远期价格，则借款成本为：
()100011102.4111100000.688%R R ⨯+⨯=⇒=
因此借入黄金的利率比合理利率高出1.31个百分点。

老师课上做法：
111%r =
()()0.09250.005210210211 1.02112.44%100100r u T F Se r e S S
++=-=-=-=
所以应该选择直接借入现金。

3.10 瑞士和美国按连续复利计息的两个月期的年利率分别为3%和8%。

瑞士法郎的即期价格为0.65美元。

两个月后交割的期货合约的期货价格为0.66美元。

问存在什么样的套利机会？
理论上期货价格：()10.080.036
0.650.6554F e
-⨯
==
所以实际的期货价格被高估，套利者可以通过借入美元买入瑞士法郎同时卖出瑞士法郎期货合约进行套利。

3.11、一家公司持有价值为2000万美元、=1.2β的股票组合。

该公司想利用标普500期货来对冲风险。

股指期货的当前水平是1080，每一份期货合约是关于250美元乘股指。

什么样的对冲可以使风险最小化？公司怎么做才可以将组合的β值降低到0.6？
应卖空的合约数量200000001.288.91080250
A F V N V β
==⨯=⨯ 近似为整数，应卖空的合约数为89份。

如果欲将组合的β值降低到0.6，应卖空的合
约数为前者的一半，即应卖空44份合约。

3.12假定今天是7月16日，一家公司持有价值1亿美元的股票组合，组合的=1.2β，这家公司希望用CME 的12月标普500股指期货组合在7月16日至11月16日之间变化的β由1.2变成0.5.当前股指期货价格为1000，每一份期货合约的规模是250美元与股指的乘积。

（a ）公司应做什么样的交易？（b ）假如公司改变初衷而想将投资组合的β由1.2增加到1.5，公司应持有什么样的头寸？
（a ）公司应卖出的期货合约的数量：
()
()*1000000001.20.52801000250
A F V N V ββ=-=-⨯=⨯ （b ）公司应买入的期货合约的数量：
()
()*1000000001.5 1.21201000250
A F V N V ββ=-=-⨯=⨯ 3.13、标准普尔指数=200，股票组合的价值=204万美元，无风险年利率=10%，指数红利收
益率=4%，股票组合的β=1.5.假设利用4个月有效期的标准普尔500指数期货合约对冲股票组合在未来3个月的风险。

一份指数期货合约的价值等于指数乘以500美元。

则目前的期货价格应该为：
()()0.10.0413200204.04r q T F Se e --⨯===
于
是
期
货
合
约
价
格
500204.04=102020
F V =⨯美元。

由
20400001.530102020
F S N V β
==⨯= 假设指数在3个月内变为180，期货的价格为：()()0.10.0411*******.90r q T
F Se
e --⨯===
卖空股票指数期货合约可获利()30204.04180.90500347100⨯-⨯=美元
在股票指数上的损失为10%，指数每年支付4%的股利，即每3个月为1%。

如果将股利
考虑在内，投资者在3个月内获得的指数收益为—9%。

无风险利率大约为每3个月2.5%。

由组合的β=1.5。

得到股票组合的期望收益率为：
()2.5% 1.5%9% 2.5%14.75%+⨯--=-
在3个月末，股票组合的价值（包含股利）为：
()204000010.14751739100⨯-=美元
套期保值者的头寸期望值（包含在指数期货上的盈利）：
1739100+347100=2086200美元
当一个变量增加而其他变量保持不变时，对于股票期权价格的影响
期权价格的上限与下限
考虑股息时的应为贴现值
欧式看跌看涨期权不满足平价关系时的套利机会
相对看跌期权价格而言看涨期权价格太低
市场情况
某投资者刚刚获得如下股票欧式期权的报价，股票价格为31美元，3个月期无风险利率为年利率10%，看涨期权和看跌期权的执行价格都是30美元，3个月后到期。

欧式看涨期权价格：3美元
欧式看跌期权价格：2.25美元
策略
1、购买看涨期权
2、出售看跌期权
3、卖空一股股票
结果
这个策略给出的初试现金流为：31-3+2.25=30.25美元。

将这笔资金按无风险利率投资
3个月，3个月末本息为：
3
10%
12
30.2531.02
e⨯=美元。

3个月末，有如下两种可能性：
1、如果股票价格大于30美元，投资者执行看涨期权。

即按照30美元价格购买一份股票，平仓空头，获利31.02-30=1.02美元。

2、如果股票价格小于30美元，该投资者的对手执行看跌期权。

即投资者按照30美元的价格购买一份股票，平仓空头，获利31.02-30=1.02美元。

6、执行价格为20美元，3个月后到期的欧式看涨期权和欧式看跌期权，售价都为3美元。

无风险年利率为10%，股票现价为19美元，预计1个月后发放红利1美元。

说明投资者存在什么样的套利机会？
根据看涨期权平价关系：
0.11/120.10.250312019 4.50rT p c D Xe S e e --⨯-⨯=++-=+⨯+-=
这个值高于3美元，说明看跌期权被低估。

套利方法：买入看跌期权和股票，同时卖出看涨期权。

8.8、一个无红利支付股票的美式看涨期权的价格为4美元。

股票价格为31美元，执行价格为30美元，3个月后到期。

无风险利率为8%。

请推出相同股票、相同执行价格、相同到期日的美式看跌期权的价格上下限。

美式看跌看涨期权存在如下关系：
00rT S X C P S Xe --≤-≤-
在本题中：
38%12
313043130P e
-⨯
-≤-≤-
即：
2.413P ≤≤
8.6、执行价格为30美元，6个月后到期的欧式看涨期权的价格为2美元。

标的股票价格为29美元，2个月后和5个月后分红利0.5美元。

期限结构为水平，无风险利率为10%。

执行价格为30美元，6个月后到期的欧式看跌期权的价格为多少？
根据看涨看跌期权平价关系：
0rT c Xe D p S -++=+
移项得：
0rT p c Xe D S -=++-
在本题中：
250.10.10.50.1
12122300.50.529 2.51p e
e e -⨯-⨯-⨯⎛
⎫=+++-= ⎪⎝⎭
9.3假设执行价格为30美元和35美元的看跌期权成本分别为4美元和7美元，怎样用期权
构造牛市价差期权和熊市价差期权？作出表格说明这两个期权的收益和盈亏状况
可以通过购买执行价格为30美元的看跌期权和卖出执行价格为35美元的看跌期权构建牛市差价，该策略初始现金流为3美元，收益和盈亏如下表所示：
可以通过卖出执行价格为30美元的看跌期权和买入执行价格为35美元的看跌期权构建熊市差价，该策略初始成本为3元，收益和盈亏如下表：
9.4、三个同一股票上具有同样期限的看跌期权执行价格分别为55美元、60美元和65美元，这3种期权的市场价格分别为3美元、5美元和8美元。

解释如何构造蝶式差价。

用表来说明这一策略的盈利形式。

股票在什么价位时，这一交易策略会导致亏损。

蝶式差价的构造方法为：购买一份执行价格为55美元的看跌期权，购买一份执行价格为65美元的看跌期权，同时卖出两份执行价格为60美元的看跌期权。

初始成本为3+8-2×5=1美元。

该交易策略的损益情况如表所示：
当最后的股票价格大于64或者小于56美元时，蝶式差价交易策略会导致损失
10.1、某个股票现价为50美元，已知两个月后，股票的价格为53美元或者48美元。

无风险年利率为10%（连续复利）。

请用无套利原理说明，执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？
方法一（无套利原理）：2个月结束的时候，期权的价值为4美元（如果股价为53美元）或者0美元（如果股价为48美元）。

考虑一份资产组合的构成：单位股票和一份看中期
-。

如果：
权的空头。

两个月后组合的价值或者为48或者为534
-⇒
48=534=0.8
即资产组合的价值为()38.4480.8530.84or ⨯⨯-。

因此对组合来说，其收益是无风险的。

组合的现值为：0.850f ⨯-，其中f 为期权的价值。

因为组合必须以无风险的利率盈利所以：
()2
0.112
0.85038.4 2.23f e
f ⨯
⨯-=⇒=
方法二（风险中性）：直接利用公式：
()1rT u d f e pf p f -=+-⎡⎤⎣⎦
其中：rT e d
p u d
-=-
有题意2
0.112
53480.961.03,0.960.56815050 1.030.96
e u d p ⨯
-====⇒==- 所以20.112
0.56814 2.23f e
-⨯
=⨯⨯=
10.9、某个股票的现价为25美元。

已知两个月后，股价变为23美元或者27美元。

无风险年利率10%（连续复利）。

设T S 为2个月后股票价格。

在这时收益为2
T S 的期权的价值为多少？
方法一（无套利原理）：2个月结束的时候，金融工具的价值为529美元（如果股价为23美元23×23）或者729美元（如果股价为27美元27×27）。

考虑一份资产组合的构成： 单位股票和一份看涨期权的空头。

两个月后组合的价值或者为27729-或者为
23529-。

如果：
27-729=23529=50-⇒
即资产组合的价值为()62127507292350529or ⨯-⨯-。

因此对组合来说，其收益是无风险的。

组合的现值为：2550f ⨯-，其中f 为期权的价值。

因为组合必须以无风险的利率盈利所以：
()20.112
2550621639.3f e
f ⨯
⨯-=⇒=
方法二（风险中性）：直接利用公式：
()1rT u d f e pf p f -=+-⎡⎤⎣⎦
其中：rT e d p u d
-=-
有题意2
0.112
27230.921.08,0.920.60502525 1.080.92
e u d p ⨯
-=
===⇒==-
所以()20.112
0.6050729+10.6050529639.3f e
-⨯
=⨯⨯-⨯=⎡⎤⎣⎦美元
10.5、某个股票现价为50美元。

有连续2个时间步，每个时间步的步长为3个月，每个单
步二叉树的股价或者上涨6%或者下跌5%。

无风险利率年利率为5%（连续复利）。

执行价格为51美元，有效期为6个月的欧式看涨期权的价值为多少？
风险中性概率公式可得：
()0.053120.950.568916%,15%1.060.95
r t e d e p u d u d ⨯--====+=---
二叉树图如上所示
对于最高的末端节点（两个向上的复合），期权收益为56.18-51=5.18美元，而在其他情况中的收益为零。

因此，期权的价值为：
()()2
220.0561222110.5689 5.18 1.635r t uu ud dd f e p f p p f p f e --⨯⎡⎤=+-+-=⨯⨯=⎣⎦
10.6、考虑10.5中的情况，执行价格为51美元，有效期为6个月的欧式看跌期权的价值为
多少？证明欧式看涨期权和看跌期权满足看涨看跌期权平价关系。

如果看跌期权是美式期权，在树图上的任何节点，提前执行期权是否会更优惠？
二叉树图：
（1）处于中间的末端节点，将会得到收益为51-50.35=0.65美元，处于最下面的末端节点，将会得到的收益为51-45.125=5.875美元。

因此期权的价值为：
()()()()2
222
0.0561*******.568920.568910.56890.65 5.87510.5689 1.376
r t uu ud dd f e p f p p f p f e --⨯⎡⎤
=+-+-⎣⎦
⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯-=⎣⎦
（2）看跌-看涨期权平价关系：0rT
c Xe
p S -+=+
看跌期权加上股票价格的值为：
1.3765051.376+=
看涨期权加上执行价格的现值为：
0.056121.6355151.376e -⨯+=
二者相等，从而验证了看跌-看涨期权平价关系。

（3）为了检验是否值得提前执行该期权，应该比较从立即执行中得到的每个节点的收入计算出来的期权的值。

在节点C ，立即执行的收益为51-47.5=3.5美元。

因为这个值大于2.8664美元，期权应该在这个节点执行，而不在节点A 或者节点B 执行。

也就是说，在价格树的任意节点上，提前执行并不一定是最优的。

11.1、目前股票价格为50美元，假设该股票的期望收益率为18%，波动率为30%。

两年内此种股票价格的概率分布是什么？计算该分布的均值和标准差（95%的置信区间）。

在本题中，050,0.18,0.3S μσ===,未来两年股票价格T S 符合对数正态分布：
2
0.09ln ln500.182,0.322T
S φ⎡
⎤⎛
⎫+-
⨯⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
即：()ln 4.18,0.18T
S φ
股票价格的均值：()
0.1820()5071.67T t T E S S e e μ-⨯==⨯=
股票价格的标准差：
(25031.83T t Se e μσ-⨯===⨯=
在给定95%的置信度下，ln T S 的置信区间为：
[]4.18 1.960.42,4.18 1.960.42-⨯+⨯ 即：[]3.35,5.01
股票价格T S 在95%的置信度下的置信区间是： 3.35 5.01
,e e ⎡⎤⎣⎦ 即：[]28.52150.44
， 11.2、股票当前的价格为50美元，假定其收益率期望为15%，波动率为25%。

在两年内的
股票收益率（连续复利）的概率分布是什么？
在本题中，0.15,0.25μσ==，根据公式22,2x T σσφμ⎛⎫
- ⎪⎝⎭可得2年期连续复利的回报率的概率分布是：220.250.250.15,2T φ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭即()0.11875,0.03125φ，预期的价值回报
率为每年11.875%，标准差为每年17.7%
11.3、某股票价格服从几何布朗运动，其中收益率期望为16%，波动率为35%，股票的当前
价格为38美元。

（1）一个该股票上具有执行价格为40美元，期限为6个月的欧式看涨期权被行使的概率为多少？（b ）一个该股票上具有同样执行价格及期限的欧式看跌期权被行使的概率为多少？
（a ）要求的概率是6个月后股票价格超过40美元的概率。

假设6个月后股票的价格是
T S ，则有：
2222
00.35ln ln ,ln 380.160.5,0.350.522T
S S T T σφμσφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
即：
()ln 3.687,0.06125T
S φ
因为ln40=3.689，则要求的概率为：
()110.00810.50320.4968N N -=-=-=
（b ）对于看跌期权，要求的概率是6个月后股票价格低于40美元的概率，同样的方法
可得其值为1-0.4968=0.5032.
11.11 考虑一个无股息股票的期权，股票价格为30美元，执行价格为29美元，无风险利率为每年5%，波动率为每年25%，期权期限为4个月。

（a ）如果期权是欧式看涨期权，其价格为多少？ （b ）如果期权是美式看涨期权，其价格为多少？ （c ）如果期权是欧式看跌期权，其价格为多少？ （d ）验证看跌—看涨期权平价关系式。

在本题中，030,29,0.05,0.25,4120.3333S K r T σ======，且有：
()
()
221ln 2ln 30290.050.2520.3333
0.4225S K r T
d σ++++⨯=
=
=
()
()
222ln 2ln 30290.050.2520.3333
0.2782S K r T
d σ+-+-⨯=
==
()()10.42250.6637N d N == ()()20.27820.6096N d N == ()()10.42250.3363N d N -=-= ()()20.60960.3904N d N -==
（a ） 欧式看涨期权的价格是：
()()0.050.3333012300.6637290.6096 2.52rT c S N d Ke N d e --⨯=-=⨯-⨯⨯=
（b ） 美式看涨期权的价格与欧式看涨的价格一致，也是2.52美元
（c ） 欧式看跌期权的价格是：
()()0.050.3333201290.6094300.3363 1.05rT p Ke N d S N d e --⨯=---=⨯⨯-⨯=
（d ） 看跌-看涨期权平价关系为：0rT
p S c Ke -+=+
证明()1c
Delta N d S
∂=
=∂ ()()12rT c SN d Ke N d -=-
21ln 2S K r T
d σ++=
22ln 2S K r T
d σ+-=
证明：()N x 是服从标准正态分布的变量小于x 的累计概率，因此，()'N
x 是标准正态分布的概率密度函数，即：
()22
'x N x -
=
()()()12112''rT d d c
N d SN d Ke N d S S S
-∂∂∂∆=
=+-∂∂∂
()
221ln ln ln 2S K r T
S K r T
d σσ++-++
=
=
因此，
12d d S S
∂∂=
=∂∂ (
)(
()2
2212221
''221'exp 2d N d N d d T N d d T σσσσ⎡⎤=+=--⎢⎥
⎣⎦⎡⎤
=-
⎢⎥
⎣⎦
又21exp 2rT
Ke d T S σσ-⎡
⎤-=⎢⎥⎣
⎦
（由()22ln 2S K r T d σ+-=
所以：()()12''rT
SN d Ke N d -=
带入c
S
∂∆=
∂原式得证。

例：考虑某个处于delta 中性状态的有价证券组合，gamma 值为-5000，Vega 值为-8000。

假设某个可交易期权的gamma 值为0.5，Vega 值为2，delta 值为0.6。

如果购买4000个可交易期权的多头头寸，则可使该组合达到Vega 中性状态，但同时将使delta 增加到2400，这要求出售2400个标的资产以维持delta 中性状态，该证券组合的gamma 值也将从-5000变为-3000。

为使的组合处于gamma 中性和Vega 中性状态，我们假设存在第二种可交易期权，gamma 值为0.8，Vega 值为1.2，delta 值为0.5。

如果12,ωω分别为证券组合中两种可交易期权的数量，我们要求：
1250000.50.80ωω-++= 1280002 1.20ωω-++=
以上方程的解为12=400=6000ωω，。

因此分别加入400份第一种可交易期权和6000份第二种可交易期权将使的该组合处于gamma 和Vega 中性状态。

加入以上两种可交易期权头寸后，有价证券组合的delta 值为4000.660000.53240⨯+⨯=。

所以仍需卖出3240份标的资产以保持delta 中性状态。

方法二：
010.60.51040050000.50.8006000324080002 1.200x y z x x y z y z V x y z πππ
=⨯+++⨯==⎧⎧⎪⎪Γ=-+++⨯=⇒=⎨⎨⎪⎪
=-=-+++⨯=⎩⎩。