中考数学压轴题重难点突破十 函数综合题 类型二 反比例函数与一次函数的综合题

∵点A在函数y＝kx上，
∴k＝1×2＝2，∵OC＝t，∴C(0，t)，
∵CE∥x轴，∴点D的纵坐标为t，
∵点D在直线y＝2x上，t＝2x，
1
1
∴x＝2t，∴点D的横坐标为2t.
(2)连接OE，BE，AE，记△OBE，△ADE的面积分别为S1，S2，设U＝S1－
S2，求U的最大值．
2
(2)由(1)知k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝x，
由(1)知y1＝－x＋1，∴C(0，1)，D(1，0)， ∴OC＝OD，∴△OCD是等腰直角三角形， ∴△BCP′是等腰直角三角形， ∴BP＝PP′＝2，∴P′(0，－3)． ∴符合要求的点P的坐标为(0，－1)或(0，－3)．
1 6
∴S△PDQ＝2nn－（2n－4）
＝－n2＋2n＋3＝－(n－1)2＋4，
∵－1＜0，∴当n＝1时，S△PDQ最大，最大值为4，
∴△DPQ面积的最大值是4.
k 5．(2022·银川模拟)如图，直线y1＝mx＋n(m≠0)与双曲线y2＝ x (k≠0) 相交于A(－1，2)和B(2，b)两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D.
1 ∴S2＝S△ADE＝2DE(yA－yD)
＝122t－12t(2－t)＝14t2－12t＋2t－1，
∴U＝S1－S2 ＝2t－41t2－12t＋2t－1＝－14t2＋12t＋1 ＝－14(t－1)2＋54， ∵点C在线段OB上(不含端点)，
5 ∴0＜t＜2，∴当t＝时，U最大＝4.
4．(2022·吴中模拟)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b
类型二 反比例函数与一 次函数的综合题
【命题预测】 是近年来中考的热点题型，题型主要是以难题为主，以解答题为主．预 测在2023年宁夏中考中仍会延续此命题方式． 【专家解读】 反比例函数与一次函数的综合题，常涉及用待定系数法确定直线与双曲 线的解析式，解题时，要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，结合 图象分析，解答问题．
(1)求m，n的值； k
解：(1)∵A(－1，2)和B(2，b)在双曲线y2＝x(k≠0)上， ∴k＝－1×2＝2b， 解得b＝－1.∴B(2，－1)． ∵A(－1，2)和B(2，－1)在直线 y1＝mx＋n(m≠0)上，
－m＋n＝2， m＝－1， ∴2m＋n＝－1，解得n＝1， ∴m，n的值分别是－1，1.
于点B，且AB＝1，点C在线段OB上(不含端点)，且OC＝t，过点C作直线l1
∥x轴，交l于点D，交图象M于点E.
(1)求k的值，并且用含t的式子表示点D的横坐标； 解：(1)∵AB⊥y轴，且AB＝1，∴点A的横坐标为1，∵点A在直线y＝2x
上，∴y＝2×1＝2，∴点A(1，2)，∴B(0，2)，
当x＝3时，y＝2×3－4＝2，
∴点C(3，2)，
∵点C在反比例函数的图象上，∴k＝3×2＝6， 6
∴一次函数的解析式为y＝2x－4，反比例函数的解析式为y＝x.
(2)求△DPQ面积的最大值．
(2)点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上， ∴点Pn，6n，点Q(n，2n－4)，
6 ∴PQ＝n－(2n－4)，
的图象经过点A(0，－4)，B(2，0)，交反比例函数y＝
m x
(x＞0)的图象于
点C(3，a)，点P在反比例函数的图象上，横坐标为n(0＜n＜3)，PQ∥y
轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD，QD.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式； 解：(1)把A(0，－4)，B(2，0)代入一次函数y＝kx＋b，得 b＝－4， k＝2， 2k＋b＝0，解得b＝－4， ∴一次函数的解析式为y＝2x－4，
∵DP′∶CD＝DA∶DO，
∴DP′∶ 4 5＝3 5∶8， ∴DP′＝125， ∴OP′＝12，
1 ∴P′2，0，
1 综上所述，满足条件的点P的坐标为(2，0)或2，0.
3．(2021·株洲)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x的图
象l与函数y＝
k x
(k＞0，x＞0)的图象(记为M)交于点A，过点A作AB⊥y轴
待定坐标法常用于反比例函数(双曲线)和一次函数、三角形等关联起来 的综合题型中，方法就是找到题目的核心坐标点，用待定未知数设定它 的坐标值，然后推导或者计算其他相关点的坐标，通过已知条件建立起 相关代数关系，然后演算出最后的答案.
如图，直线y＝k1x＋b与双曲线y＝
k2 x
交于A，B两点，已知点B的纵坐标
∴OE＝2，AE＝1，∴A(－2，1)， 2
∴双曲线的解析式为y＝－x， ∵点B在双曲线上，且纵坐标为－3， ∴B23，－3，又∵点A(－2，1)，
3 ∴直线AB的解析式为y＝－2x－2.
【分层分析】(1)过点A作AE⊥x轴于点E，根据锐角三角函数和勾股定理 求出点A的坐标，进而求出双曲线的解析式，进而求出点B的坐标，最后 用待定系数法，即可得出结论；
24 ∴S△OCP＝2S△ODB＝2×3＝3，
设点P的纵坐标为n，
1
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∴S△OCP＝2OC·yP＝2×3n＝3，∴n＝2，
由(1)知双曲线的解析式为y＝－2x，
∵点P在双曲线上，
∴点P的坐标为(－1，2)．
【分层分析】(2)连接OB，PO，PC，先求出OD，进而求出S△ODB，进而 得出S△OCP，再求出OC，设点P的纵坐标为n，再根据面积列出等式，求 出点P的纵坐标，即可得出结论；
由(1)知CE∥x轴，C(0，t)，∴点E的纵坐标为t，
2 ∵点E在反比例函数y＝x的图象上，
∴x＝2t，∴E2t，t，∴CE＝2t， ∵B(0，2)，∴OB＝2.
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∴S1＝S△OBE＝2OB·CE＝2×2×t＝t，
由(1)知A(1，2)，D21t，t，∴DE＝2t－12t， ∵CE∥x轴，
为－3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D(0，－2)，OA＝ 5，tan∠
AOC＝12.
(1)求直线AB的解析式； 解：(1)过点A作AE⊥x轴于点E， ∴∠AEO＝90°，
AE 1 在Rt△AOE中，tan∠AOC＝OE＝2， 设AE＝m，则OE＝2m，根据勾股定理，得 AE2＋OE2＝OA2，∴m2＋(2m)2＝( 5)2， ∴m＝1或m＝－1(舍)，
1 ∴直线AB的解析式为y＝－2x＋4.
(2)若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标． (2)如图，①当PA⊥OD时， ∵PA∥OC， ∴△ADP∽△CDO，此时P(2，0)； ②当AP′⊥CD时，易知△P′DA∽△CDO，
1 ∵直线AB的解析式为y＝－2x＋4， ∴D(8，0)，C(0，4)， ∴CD＝ OC2＋OD2＝4 5，AD＝3 5，
(2)若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△ODB
的面积的2倍，求点P的坐标； (2)如答图，连接OB，PO，PC，
∵直线AB的解析式为y＝－32x－2，
∴D(0，－2)，C－43，0，∴OD＝2，OC＝43，
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∴S△ODB＝2OD·xB＝2×2×3＝3，
∵△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，
2．(2017·宁夏第24题8分)如图，直线y＝kx＋b与反比例函数y＝6x(x＞ 0)的图象分别交于点 A(m，3)和点B(6，n),与坐标轴分别交于点C和点
D.
(1)求直线AB的解析式； 6
解：(1)∵y＝kx＋b与反比例函数y＝ x (x＞0)的图象分别交于点 A(m，3) 和点B(6，n)， ∴m＝2，n＝1， ∴A(2，3)，B(6，1)，
(2)在y轴上是否存在一点P，使△BCP与△OCD相似？若存在，求出点P的 坐标；若不存在，请说明理由．
(2)在y轴上存在这样的点P， ①过点B作BP∥x轴，交y轴于点P， ∴△PCB∽△OCD， ∵B(2，－1)，∴P(0，－1)； ②过点B作BP′⊥AB交y轴于点P′， ∴△BCP′∽△OCD，