大工工程力学(二)辅导资料七

工程力学（二）辅导资料七
主题：第三章结构力学知识回顾（第1~2节）
学习时间：2014年11月10日－11月16日
内容：
本周我们学习平面体系组成分析，静定梁、静定平面刚架的内力计算及内力图绘制，三铰拱的内力分析及合理轴线的相关内容。

希望通过本周的学习，使同学们加深对相关知识的认识和理解。

基本要求与重点：
1.理解自由度、几何可变体系与几何不变体系、瞬变体系、瞬铰的概念；
2.了解计算自由度的计算方法；
3.掌握几何不变体系的基本组成规律，并能应用这些规律分析平面体系的几何构造；
4.理解静定梁的分析方法和受力特点；
5.掌握各种荷载作用下梁的内力图画法，掌握叠加法画弯矩图；
6.掌握静定刚架（简支、悬臂、三铰刚架）的内力计算和内力图的画法；
7.了解拱式结构的分类及各自的特点，掌握三铰拱在竖向荷载作用下的内力计算；
8.掌握静定平面桁架结构的受力特点和结构特点；
9.熟练掌握结点法、截面法和联合法求解桁架结构的内力。

一、平面几何体系组成分析
（一）概述
1.几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系——在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是不能改变的；
几何可变体系——在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是可以改变的。

2.自由度
平面内一点有两种独立运动方式，因此一点在平面内有两个自由度。

一个刚片在平面内有三种独立的运动方式，因此一个刚片在平面内有三个自由度。

一般说来，如果一个体系有n个独立运动的方程，则这个体系有n个自由度。

换句话说，一个体系自由度的个数，等于这个体系运动时可以独立改变的坐标的数目。

（二）计算自由度
计算自由度可采用以下几种算法：
①把体系看作由许多刚片受铰结、刚结和链杆的约束而组成的。

以m表示体系中刚片的个数，则刚片的自由度个数总和为3m。

计算约束总数时，体系中如有复约束，则应事先把它折合成单约束；刚片内部如有多余约束，也应把它们计算在内。

以g代表单刚结个数，以h代表单铰结个数，以b代表单链杆根数，则约束总数为32
++。

因此，体系的计算自由度W可表示为
g h b
()
=-++
W m g h b
332
②把体系看作由许多结点受链杆的约束而组成的。

体系中如有复链杆，则应事先把它们折合成单链杆。

以j代表结点个数，以j代表结点个数，以b代表单链杆个数，则W可表示为
=-
2
W j b
③除上述两种算法外，还可以采用混合法。

这时，计算公式即为
()()
W m j g h b
=+-++
3232
（三）平面几何不变体系的组成规律
1.一个点于一个刚片之间的连接方式
规律1 一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。

2.两个刚片之间的连接方式
规律2 两个刚片用一个铰和一根链杆相连接，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。

规律3 两个刚片用三根链杆相连，且三链杆不交于同一点，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。

3.三个刚片之间的连接方式
规律4 三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。

上述三条规律虽然表述方式不同，但实际上可归纳为一个基本规律：如果三个铰不共线，则一个铰接三角形的形状是不变的，而且没有多余约束。

二、静定梁
（一）静定单跨梁
静定结构是指结构的约束反力及内力完全可由静力平衡条件唯一确定的结构、其内力计算是结构位移和超静定结构内力计算的基础。

静定单跨梁是组成各种结构的基本构件之一。

是建筑工程中用得最多的一种结构型式。

常见的静定单跨梁有简支梁、悬臂梁和伸臂梁，如图1所示。

（a）简支梁（b）悬臂梁（c）伸臂梁
图1单跨梁
1.用截面法求指定截面的内力
在任意荷载作用下，平面杆件的任一截面上一般有三个内力分量，轴力N，剪力Q和弯矩M，见图2。

图2 梁的内力分量
计算指定截面内力的基本方法是截面法，即将指定截面切开，取截面任一侧部分为隔离体，利用隔离体的平衡条件可求出此截面的三个内力分量。

轴力等于截面一边所有的外力沿杆轴切线方向的投影代数和。

轴力以拉为正，以压为负。

剪力等于截面一边所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和。

剪力以绕隔离体顺时针转者为正，反之为负。

弯矩等于截面一边所有外力对截面形心的力矩代数和。

弯矩以水平梁下侧纤维受拉为正，反之为负。

作内力图时，规定轴力图、剪力图要注明正负号，弯矩图绘在杆件受拉一侧，不用注明正负号。

对于平放的直梁，当所有外力垂直梁轴线时，横截面上只有剪力、弯矩，没有轴力。

2.利用微分关系作内力图
利用微分关系可以帮助我们迅速而正确池绘制或校核内力图。

在荷载连续分布的直杆上截取微段，如图3（a）所示，x轴以向右为正，y 轴向下为正，荷载垂直梁轴线，荷载集度为q(x)，以向下为正。

由微段dx（图7.3b）的平衡条件可以得出荷载集度与内力之间的微分关系为：
2
2() ()
dQ
q x dx
dM
Q
dx
d M
q x dx ⎫
=-⎪
⎪
⎪
=⎬
⎪
⎪
=-⎪
⎭
（a）梁的荷载和坐标（b）微段受力图
图3 梁的计算简图
在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。

3.利用叠加法作弯矩图
（1）简支梁弯矩图的叠加方法
注意：弯矩图叠加，是指竖标相加，而不是指图形的拼合，比如竖标M，如同M、M′一样垂直杆轴AB，而不是垂线。

利用叠加法绘制弯矩图可以少求一些控制截面的弯矩值，少求甚至不求支座反力。

而且对以后利用图乘法求位移，也提供了把复杂图形分解为简单图形的方法。

图4 叠加法作弯矩图
（2）分段叠加法
简支梁弯矩图的叠加方法推广应用到直杆的任意段情形。

叠加法作弯矩图步骤：
①求出必要的支座反力；
②求得区段两端的弯矩值，将弯矩纵坐标连成虚线。

以虚线为基线，将区段中的荷载作用在简支梁上的弯矩图叠加。

注意：叠加法是数值的叠加，不是图形的拼凑。

（二）静定多跨梁
1. 静定多跨梁的基本形式
图5 静定多跨梁的基本形式
2.分析静定多跨梁的原则和步骤
①按照附属部分支撑于基本部分的原则绘出层次图（如图6所示）。

②先从最上层的附属部分开始，依次计算各梁的反力。

③分别作出各梁的内力图。

图6 层次图
三、静定平面刚架
（一）静定平面刚架的几何形式和受力、变形特点
1.几何形式
刚架是由若干直杆、部分或全部用刚结点连结而成的几何不变体系。

当刚架各杆轴线和外力作用线都处于同一平面内时称为平面刚架。

（a）悬臂式（b）简支式（c）三铰式
图7 静定刚架的类型
2.受力和变形特点
刚结点可承受和传递弯矩，刚结点处的各杆端不能发生相对移动和相对转动，因而受力变形后，各杆杆断转动了同一角度，即各杆之间的夹角保持不变。

（二）静定平面刚架的内力计算
在静定刚架的受力分析中，一般需先求支座反力，支座反力的计算的正确是内力计算推确的保证。

通常由刚架整体或某些部分的平衡条件求出各支座反力、并校核正确无误后再计算内力。

刚架的内力有M、Q、N。

弯矩不规定正负号，只规定弯矩图画在杆件受拉一侧；剪力、轴力的正负号与梁相同。

弯矩M =截面一边所有外力对截面形心的外力矩之和。

外力矩和弯矩使杆同侧受拉时取正，反之取负。

剪力Q =截面一边所有外力沿杆轴法线方向投影代数和。

外力绕截面形心顺时针转动，投影取正，反之取负。

轴力N =截面一边所有外力沿杆轴切线方向投影的代数和。

外力指向截面投影取正，反之取负。

结点处有不同的杆端截面。

各截面上的内力用该杆两端字母作为下标来表示，并把该端字母列在前面。

注意结点的平衡条件。

（三）静定刚架内力图的绘制
静定刚架内力图有弯矩图、剪力图、轴力图。

刚架的内力图是由各杆的内力图组合而成的，因此，只需求出杆端截面的内力值，然后按照梁中绘制内力图的方法画出即可。

①求支座反力。

②求控制截面的内力。

控制截面一般选在支承点、结点、集中荷载作用点、分布荷载不连续点。

控制截面把刚架划分成受力简单的区段。

③求出各控制截面的内力值，根据每区段内的荷载情况，利用叠加法作出内力图。

求截面的Q、N图有两种方法，一是由截面一边的外力来求；另一种方法是首先作出M图；然后取杆件为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取结点为分离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。

当刚架构造较复杂（如有斜杆）或者是外力较多时，计算内力较麻烦时，采用第二种方法。

在刚结点上，各杆端弯矩和结点集中力偶应满足结点的力矩平衡。

尤其是两杆相交的刚结点，无结点集中力偶作用时，两杆端弯矩应等值，同侧拉。

满足：∑X＝0，∑Y＝0，∑M＝0。

四、三铰拱
（一）概述
拱结构是指杆轴为曲线且在竖向荷载作用下能产生水平推力的结构。

拱结构与梁的区别在于水平推力的存在。

图8a所示的结构，在竖向荷载作用下无水平推力产生，称为曲梁。

图8b所示的结构，竖向荷载作用下能产生水平推力，故属于拱结构。

图8 曲梁与拱结构
拱的基本特点是在竖向荷载作用下会产生水平推力H 。

水平推力的存在与否是区别拱与梁的主要标志。

由于水平推力的存在，对拱趾处基础的要求高。

在屋架中，为消除水平推力对墙或柱的影响，在两支座间增加一拉杆，把两支座改为简支的形式，支座上的水平推力由拉杆来承担。

常见的拱结构：
图9 常见的拱结构
（二）三铰拱的计算
因为简支梁的内力计算大家非常熟练，所以在计算三铰拱在竖向荷载作用下的内力时，和同跨度同荷载的简支梁对应起来，以找出两者在支座反力、内力等方面的区别，便于理解和记忆。

1.支座反力的计算公式
三铰拱可视为由两根曲杆和地基按三刚片规则组成的静定结构，有4个支座反力。

图10 拱的支座反力
0 B m ∑=，11220A V l Pb P b -++=
01122
i i A A Pb Pb P b V V l l
∑+==
=
0A m ∑=
0i i
B B Pa V V l
∑==
0 c m ∑=，1111()0A A H f P l a V l +--=
1111()C A A B M V l P l a H H f f
--===
在竖向荷载作用下，三铰拱的支座反力有如下特点：
①支座反力与拱轴线形状无关，而与三个铰的位置有关。

②竖向支座反力与拱高无关。

③当荷载和跨度固定时，拱的水平反力H 与拱高f 成反比，即拱高f 越大，水平反力H 越小，反之，拱高f 越小，水平反力H 越大。

2.内力的计算公式
图11 拱的内力计算
()
001
0011k A k A k k Q V P M V x P x a =-=--
()()110110k A k k k
A k k k k k
M V x P x a Hy V x P x a Hy M Hy =---=---=- ()1010cos cos sin cos sin sin k A k k k
A k k k k
Q V P H V P H Q H ϕϕϕϕϕϕ=--=--=-
()1010sin sin cos sin cos cos k A k k k
A k k k k
N V P H V P H Q H ϕϕϕϕϕϕ=-+=-+=+
注意：
①该组公式仅用于两底铰在同一水平线上，且承受竖向荷载； ②在拱的左半跨ϕk 取正右半跨取负。

3.内力图
（1）画三铰拱内力图的方法：描点法
（2）画三铰拱内力图的步骤
①计算支座反力
②计算拱圈截面的内力（可以每隔一定水平距离取一截面，也可以沿拱轴每隔一定长度取一截面）。

③按各截面内力的大小和正负绘制内力图。

注意：
①仍有Q=dM/ds即剪力等零处弯达极；
②M、Q、N图均不再为直线；
③集中力作用处Q图将发生突变；
④集中力偶作用处M图将发生突变。

（三）三铰拱的合理轴线
三铰拱在荷载作用下各截面上一般产生弯矩、剪力及轴力。

当拱所有截面均受到均匀压力且处于无弯矩及无剪力状态时，材料的使用最经济。

我们将这种在固定荷载作用下使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理轴线。

合理拱轴线的确定：
()()()
M x M x Hy x
=-
()0
M x=
()()
00
M x Hy x
-=
()
()
00
()
C M x M x
y x f
H M
==
在荷载、跨度、矢高给定时，H是一个常数，合理拱轴线与相应的简支梁的弯矩图形状相似，对应竖标成比例。

在荷载、跨度给定时，合理拱轴线随f的不同而有多条，不是唯一的。

五、静定桁架
（一）概述
桁架是一种由若干直杆在其两端用铰联结而成的几何不变的铰结链杆体系。

在平面桁架中，通常引用如下假定：
（1）各杆两端用理想铰相互联结。

（2）各杆的轴线都是绝对平直，在同一平面内并通过铰结点的中心。

（3）荷载和支座反力都作用在结点上并位于桁架平面内。

桁架的各杆都是只承受轴力的二力杆。

图12 桁架结构示意图
桁架的杆件，依其所在位置的不同，可分为弦杆和腹杆两大类。

弦杆可分为上弦杆和下弦杆。

腹杆又分为竖杆和斜杆。

弦杆上两相邻结点之间的区间称为节间，其间距 d 称为节间长度。

实际桁架结点的构造并非理想铰结，如钢桁架或混凝土桁架的杆件采用节点板或预埋铁件焊接时，并不是铰结点；木桁架和钢桁架采用螺栓连接时，其结点比较接近于铰结。

而且各杆的轴线也不一定是理想直线，结点上各杆的轴线也不一定完全交与一点。

（二）桁架的内力计算
1.结点法
取单结点为分离体，其受力图为一平面汇交力系，它有两个独立的平衡方程。

为避免解联立方程，应从未知力不超过两个的结点开始计算。

具体步骤为：（1）求支座反力；
（2）求各杆轴力；
（3）利用对称性可得其它杆的轴力；
（4）利用D结点的平衡条件来校核。

图13 结点法示意图
2.截面法
取桁架中包含两个或两个以上结点的部分为分离体，其受力图为一平面任意力系，可建立三个独立的平衡方程。

对两未知力交点取矩、沿与两平行未知力垂直的方向投影列平衡方程，可使
图14 截面法示意图
3.联合法
单独使用结点法或截面法有时并不简洁。

为了寻找有效的解题途径，必须不拘先后地应用结点法和截面法。

那就是要注意：
①选择合适的出发点，即从哪里计算最易达到计算目标；
②选择合适的截面，即巧取分离体，使出现的未知力较少；
③选用合适的平衡方程，即巧取矩心和投影轴，并注意列方程的先后顺序，力求使每个方程中只含一个未知力。

图15 结点法与截面法联合使用示意图
六、组合结构
组合结构由两类杆件组成：（1）二力杆，只承受轴力；（2）梁式杆，同时承受弯矩、轴力、剪力。

计算组合结构时应注意：
①注意区分链杆（只受轴力）和梁式杆（受轴力、剪力和弯矩）；
②前面关于桁架结点的一些特性对有梁式杆的结点不再适用；
③一般先计算反力和链杆的轴力，然后计算梁式杆的内力；
④取分离体时，尽量不截断梁式杆。

附：相关习题
1.试分析图下图所示体系的几何构造。

解首先，三角形ADE和AFG是两个无多余约束的刚片，分别以I和II表示。

I与基础III间的链杆1、2相当于瞬铰B，II与基础III间的链杆3、4相当于瞬铰C，如果A、B、C三个铰不共线，则体系为无多余约束的几何不变体系。

否则，体系为几何瞬变体系。

2.试作下图（a ）所示静定多跨梁的内力图。

（a ）
（b ）
（c ）
解 此梁的组成次序为先固定梁AB ，再固定梁BD ，最后固定梁DF 。

基本部分与附属部分之间的支撑关系如图（b ）所示。

计算时按照相反的次序拆成单跨梁，如图（c ）所示。

先计算附属部分DF 。

D 点反力求出后，反其指向就是梁BD 的荷载。

梁BD 在B 点的反力求出后，反其指向就是梁AB 的荷载。

最后计算梁AB ，求出A 端的支座反力。

支座反力求出后，即可作M 图和Q F 图，如图（d ）和（e ）所示。

2
P F a
（d ）
P
F P
2P F 2
P F
（e ）
3.作下图（a ）所示刚架的M 图和Q F
图。

qa
（a ）
解 （1）求支座反力
()0,
x
xA F
F qa ==←∑ ()0,2A yB qa
M F ==
↑∑ ()0,
2y
yA qa F
F ==↓∑ （2）作M 图
先根据截面法，求得各杆杆端弯矩如下
()20,
2AC CA
qa M M ==右边受拉 ()20,2
BC CB
qa M M ==下边受拉 然后分别作各杆的弯矩图。

CB 杆上没有荷载作用，将杆端弯矩连以直线即为弯矩图。

AC 杆上有荷载作用，将杆端弯矩连以直线后再叠加简支梁的弯矩图，即为此杆的弯矩图。

M 图如图（b ）所示。

（3）作Q F 图 先求各杆杆端剪力：
02
QAC QCA QBC QCB F qa F qa F F ====-
利用杆端剪力即可作出剪力图，如图（c ）所示。

B
C
22
qa
C
B
（b ） （c ）。