《新高考》理科数学高考大一轮总复习课件：第9章 第7讲 空间向量的应用(一)——证明平行与垂直

间直角坐标系．设正方体的棱长为 1，
则可得 M(0,1，12)，N(21，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)．
于是
uuuur MN
＝(21，0，21)，
uuuur DA1
＝(1,0,1)，
uuuur DB1
＝(1,1,0)．
设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)．
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(2)由 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥CD，又 AD⊥CD，所以 CD⊥平面 PAD，
又 AF⊂平面 PAD，所以 CD⊥AF， 又△PAD 为等腰直角三角形，F 为 PD 中点， 所以 AF⊥PD，所以 AF⊥平面 PCD. 由(1)EG∥AF，所以 EG⊥平面 PCD， 又 EG⊂平面 PEC，所以，平面 PCD⊥平面 PEC.
则 λ 等于( B )
2
9
A.3
B.2
C．－29
D．－32
5
解析：因为 a∥b，所以－13＝－λ32＝－25125，
解得 λ＝92，故选 B.
6
3.若直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，能使
l∥α 的是( D )
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
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【温馨提示】 证明线面平行和垂直问题，可以用几何 法，也可以用空间向量法．用向量法的关键在于构造向量， 再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定 理，对于易建立空间直角坐标系的题，这种方法很方便．
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【跟踪训练 2】 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 4， E，F 分别是 BC，CD 上的点，且 BE＝CF＝3.
3
uuur
uuur
解析： AB ＝(－2，－1,3)， AC ＝(1，－3,2)，
代入 a＝(1,1,1)或 a＝(－1，－1，－1)，
uuur
uuur
验算知 a·AB ＝0，a·AC ＝0，
又|a|＝ 3，故选 C.
4
2.已知 a＝(1，－32，25)，b＝(－3，λ，－125)满足 a∥b，
uuuur uuuur
－4)，计算得 D1EgB1F ＝0，所以 B1F⊥D1E.
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三 利用空间向量解决探索性问题
【例 3】 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形，PA⊥底 面 ABCD，PA＝2，∠PDA＝45°，点 E，F 分别为棱 AB，PD 的 中点．
(1)在现有图形中，找出与 AF 平行的平面，并给出证明； (2)判断平面 PCE 与平面 PCD 是否垂直？若垂直，给出证明； 若不垂直，说明理由．
所以
tan∠FB1C＝BC1FC＝3
8
2 .
29
(2)如图，以 D 为坐标原点，直线 DA、DC、DD1 分别为
x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．则 D1(0,0,4)，E(1,4,0)，
uuuur
uuuur
F(0,1,0)，B1(4,4,4)， D1E ＝(1,4，－4)， B1F ＝(－4，－3，
a－x，b)，A(a,0,0)，E(0，a，t)，
uuuur
uuur
则有 D1P ＝(x，a－x,0)， AE ＝(－a，a，t)，
uuuur uuur 由 D1P ·AE ＝x×(－a)＋(a－x)×a＋0×t＝0，
求得 x＝2a，即 P(2a，a2，b)为 A1C1 中点，
所以假设成立，即线段 A1C1 中点 P，使得 D1P 都垂直于
－21，12)，
uuur EF
＝(0，－21，－12)，
uuur BE
＝(0，－1,1)，
uuur BC
＝(1,0,0)．
所以
uuur EF
uuur ·BE
＝0＋12－21＝0，
uuur EF
·BC＝0.
所以 EF⊥BE，EF⊥BC.
因为 BE⊂平面 BCE，BC∩BE＝B，所以 EF⊥平面 BCE.
uuuur
即
n2 n2
guFuCuu1r gC1B1

0 0
，解得zx22＝＝－0 2y2
.
令 z2＝2，则 y2＝－1，所以 n＝(0，－1,2)．因为 n1＝n2，所以平面 ADE∥平面 B1C1F.
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二 利用空间向量证明垂直问题
【例 2】如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB＝AE，FA ＝FE，∠AEF＝45°.
第7讲 空间向量的应用(一) ——证明平行与垂直
1
2
1.已知空间三点 A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1，5)．若
uuur uuur |a|＝ 3，且 a 分别与 AB ， AC 垂直，则向量 a 为( C )
A．(1,1,1) B．(－1，－1，－1) C．(1,1,1)或(－1，－1，－1) D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)
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【解答过程】方法一：(向量法)(1)以 A 为原点 AB 为 x 轴、 AD 为 y 轴、AP 为 z 轴，建立空间坐标系．易求 A(0,0,0)，F(0,1,1)，
uuur E(1,0,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，C(2,2,0)， AF ＝(0,1,1)，取 PC
uuur 的中点 G，则 G(1,1,1)， EG ＝(0,1,1)，所以 AF∥平面 PEC.
AE.
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40
利用空间向量解决高考中的立体几何问题 利用空间向量法解决立体几何问题是高考的热点，它为 我们解决立体几何问题提供了另一种可能．在利用向量解立 体几何问题时，要仔细分析问题特点，把已知条件用向量表 示，把一些待求的量用基向量或其他向量表示，将几何的位 置关系的证明问题或数量关系的运算问题转化为典型的向 量运算，以算代证，以值定形．这种方法可减少复杂的空间 结构分析，使得思路简捷、方法清晰、运算直接，能迅速准 确地解决问题．
所以 AE⊥平面 ABCD，所以 AE⊥AD. 因此，AD，AB，AE 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系 A-xyz.
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设 AB＝1，则 AE＝1，B(0,1,0)，D(1,0,0)，E(0，0,1)，C(1,1,0)．
因为 FA＝FE，∠AEF＝45°，所以∠AFE＝90°，从而 F(0，
则
uuuur ngDA1
＝0，且
uuuur ngDB1
＝0，可得xx＋＋zy＝＝00
.
16
取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1，
所以 n＝(1，－1，－1)．
又
uuuur MN gn
＝(12，0，12)·(1，－1，－1)＝0，
uuuur 所以 MN ⊥n.
又因为 MN⊄平面 A1BD，所以 MN∥A1BD.
20
uuur
设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 一个法向量，则 n1⊥ DA ，
uuur
n1⊥ AE ，
uuur
即
n1 n1
gDA uuur gAE
=
0 0
，解得xz11＝＝－0 2y1
.
令 z1＝2，则 y1＝－1，
所以 n1＝(0，－1,2)．
uuuur
uuuur
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解析：假设在线段 A1C1 上存在一个定点 P，使得 D1P 都 垂直于 AE，
uuur uuur uuuur 如图，分别以 DA ， DC ， DD1 的方向为 x 轴，y 轴，z
轴的正方向，建立空间直角坐标系．
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依题意可设 AB＝a，AA1＝b，EC＝t，则 D1(0,0，b)，P(x，
所以，平面 PCD⊥平面 PEC.
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方法二：(几何法) (1)平面 PEC 与 AF 平行，取 PC 中点 G， 连 EG，GF，
因为 F 是 PD 的中点， 所以 GF 綊21CD， 在正方形 ABCD 中，AE 綊21CD，
所以 AE 綊 GF，
所以 AEGF 为平行四边形， 所以 EG∥AF，所以 AF∥平面 PEC.
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【温馨提示】 用向量证明线面平行的方法有：(1)证明 该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线 的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．注：合理建立 坐标系能简化计算．
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【跟踪训练 1】 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2， E、F 分别是 BB1、DD1 的中点，求证：
(1)求 B1F 与平面 BCC1B1 所成角的正切值； (2)求证：B1F⊥D1E.
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解 析 ： (1) 在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 ， CD ⊥ 平 面
BCC1B1，连接 B1C，
则∠FB1C 为 B1F 与平面 BCC1B1 所成的角，
又∠B1CF＝90°，CF＝3，B1C＝4 2，
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【思路点拨】 分别以 DA、DC、DD1 为 x、y、z 轴，建立
uuuur 如图所示空间直角坐标系．设正方体的棱长等于 1，算出 MN
uuuur ＝21 DA1 ，从而得到 MN∥DA1，结合线面平行的判定定理即可
证出 MN∥平面 A1BD.
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【解答过程】(方法一)如图所示，
以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在 直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空
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(2)设平面 PCD 的法向量为 n＝(x，y，z)，
uuur
uuur
由 n⊥ CD ，n⊥ PD 得 x＝0，y＝z.
令 n＝(0,1,1)，
设面 PEC 的法向量为 m＝(a，b，c)，
由
m⊥
uuur EC
，m⊥
uuur PE
，得
c＝21a，b＝－12a，
可令 m＝(2，－1,1)，
因为 n·m＝0，
10
uuur
uuur
5.设 AB ＝(2,2,1)， AC ＝(4,5,3)，n＝(x，y,1)为面 ABC
的一个法向量，则 x＝
，y＝
.
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解析：由已知 解得 y＝－1，x＝21.
，故24xx＋＋25yy＋＋13＝＝00 ，
12
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一 利用空间向量证明平行问题
【例 1】如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点，求证：MN∥平面 A1BD.
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解析：要使 l∥α，则必须 a⊥n，故 a·n＝0，
经验算，仅选项 D 符合要求，故选 D.
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4.若 a＝(2,1，－ 3)，b＝(－1,5， 3)，则以 a，b 为邻边
的平行四边形的面积为
.
9
解析：因为 a·b＝(2,1，－ 3)·(－1,5， 3)＝0， 所以 a⊥b，又|a|＝2 2，|a|＝ 29， 所以 a，b 为邻边的平行四边形的面积为 |a|·|b|＝2 2× 29＝2 58.
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(2)存在点 M，当 M 为 AE 中点时，PM∥平面 BCE.
M(0,0，12)，P(1，12，0)，
从而
uuuur PM
＝(－1，－21，12)，
于是
uuuur PM
uuur ·EF
＝(－1，－12，21)·(0，－21，－12)＝0.
所以 PM⊥FE，又 EF⊥平面 BCE，直线 PM 不在平面 BCE 内， 故 PM∥平面 BCE.
(1)FC1∥平面 ADE； (2)平面 ADE∥平面 B1C1F.
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解析：(1)如图所示，建立空间直角坐标系 D-xyz，则有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)．
uuuur
uuur
uuur
所以 FC1 ＝(0,2,1)， DA ＝(2,0,0)， AE ＝(0,2,1)．
(1)求证：EF⊥平面 BCE； (2)设线段 CD 的中点为 P，在直线 AE 上 是否存在一点 M，使得 PM∥平面 BCE？若存 在，请指出点 M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明 理由．
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【解答过程】(1)证明：因为△ABE 为等腰直角三角形，AB ＝AE，所以 AE⊥AB.
又因为平面 ABEF⊥平面 ABCD，AE⊂平面 ABEF，平面 ABEF∩平面 ABCD＝AB，
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【温馨提示】 探索性问题有两类：一种是根据条件作出判 断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在 点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若 该点坐标不能求出，或有矛盾，则判断“不存在”．
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【跟踪训练 3】如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝ BC，E 是侧棱 CC1 上的任意一点，在线段 A1C1 上是否存在一 个定点 P，使得 D1P 都垂直于 AE，证明你的结论．
因为 FC1 ·n1＝－2＋2＝0，所以 FC1 ⊥n，
又因为 FC1⊄平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE.
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uuuur (2)由(1)得 B1(2,2,2)， C1B1 ＝(2,0,0)．
设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量，
uuuur
uuuur
则 n2⊥ FC1 ，n2⊥ C1B1 ，