2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案+习题

2.4.2平⾯向量数量积的坐标表⽰、模、夹⾓教案+习题

2.4.2 平⾯向量数量积的坐标表⽰、模、夹⾓

学习⽬标 1.理解两个向量数量积坐标表⽰的推导过程，能运⽤数量积的坐标表⽰进⾏向量数量积的运算(重点、难点).2.能根据向量的坐标计算向量的模、并推导平⾯内两点间的距离公式(重点).3.能根据向量的坐标求向量的夹⾓及判定两个向量垂直(重点)．

预习教材P106－107完成下⾯问题：

知识点1两个向量的数量积与两向量垂直的坐标表⽰设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).

【预习评价】

(1)已知a ＝(－1,3)，b ＝(2,4)，则a ·b 的值是________．解析 a ·b ＝(－1)×2＋3×4＝10．答案 10

(2)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )，且a ⊥b ，则x ＝________．解析由题意知a ·b ＝2×1＋(－1)×x ＝0，得x ＝2．答案 2

知识点2与向量的模、夹⾓相关的三个重要公式 1．向量的模：设a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2．

2．两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →

|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2． 3．向量的夹⾓公式：设两⾮零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹⾓为θ，则cos θ＝a ·b

|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22

．【预习评价】

(1)已知向量a ＝(4，－1)，b ＝(x,3)，若|a |＝|b |，则x ＝________．解析由|a |＝|b |得42＋(－1)2＝

x 2＋32，解得x ＝±22．

答案 ±2 2

(2)已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹⾓为________．

解析设a 与b 的夹⾓为θ，则cos θ＝3×1＋(－1)×(－2)10·5＝2

2，⼜θ∈[0，π]，所以θ

＝π

4

．答案π4

题型⼀数量积的坐标运算

【例1】 (1)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )＝( ) A ．10 B ．－10 C ．3

D ．－3

解析 a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10．

答案 B

(2)已知△ABC 是边长为1的等边三⾓形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )

A ．－5

8

B ．18

C ．14

D ．118

解析如图，以BC 为x 轴，E 为坐标原点建⽴如图所⽰平⾯直⾓坐标系，易知A ?

0，

32，B －12，0，E (0,0)，C 12，0，D

－14，34．

⼜DE →＝2EF →

，设F (x ，y )，

∴14

，－3

4＝2(x ，y )，∴x ＝18，y ＝－38，

∴F 18

，－3

8，

∴AF →·BC →＝1

8，－58 3·(1,0)＝18＋0＝18．答案 B

规律⽅法数量积坐标运算的技巧

(1)进⾏数量积运算时，要正确使⽤公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运⽤以下⼏个关系：①|a |2＝a ·a ；②(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2；③(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2．

(2)在平⾯⼏何图形中求数量积，若⼏何图形规则易建系，⼀般先建⽴坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．

【训练1】已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10． (1)求a 的坐标；

(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c ．

解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10，∴a (b·c )＝0a ＝0，

(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10)．题型⼆平⾯向量的模

【例2】 (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )

A ． 5

B ．10

C ．2 5

D ．10

解析因为a ⊥c ，b ∥c ，所以 2x －4＝0，2y ＋4＝0，解得

x ＝2，y ＝－2，

所以a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)，所以|a ＋b |＝10．答案 B

(2)已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，|AB →

|＝213，则点B 的坐标是________．解析由题意可设AB →＝λa (λ>0)，∴AB →

＝(2λ，3λ)，

⼜|AB →

|＝213，∴(2λ)2＋(3λ)2＝(213)2，解得λ＝2或λ＝－2(舍去)．∴AB →

＝(4,6)，⼜A (1，－2)，∴B (5,4)．

答案 (5,4)

规律⽅法求向量的模的两种基本策略

(1)字母表⽰下的运算：利⽤|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．

(2)坐标表⽰下的运算：若a ＝(x ，y )，则|a |＝

x 2＋y 2．