2016顺义牛栏山一中高一(上)期中数学

2016海淀八一中学高一（上）期中
数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（4分）已知全集U=R，集合M={x|x2﹣2x＜0}，集合N={x|x＞1}，则集合M∩（∁U N）=（）
A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x≤1}
2．（4分）下列函数中，与函数y=x（x≥0）有相同图象的一个是（）
A．y=B．y=（）2C．y=D．y=
3．（4分）已知a=31.2，b=3°，，则a，b，c的大小关系是（）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b
4．（4分）下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（）
A．B．f（x）=C．f（x）=（x﹣1）3D．f（x）=2x
5．（4分）直线y=ax+b的图象如图所示，则函数h（x）=（ab）x在R上（）
A．为增函数 B．为减函数 C．为常数函数D．单调性不确定
6．（4分）函数f（x）=1﹣2|x|的图象大致是（）
A．B．C．D．
7．（4分）定义在实数集R上的偶函数y=f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x），且在区间[﹣1，0]上单调递增，设a=f （1），，c=f（2），则a，b，c的大小关系是（）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．a＞c＞b
8．（4分）要得到函数f（x）=21﹣x的图象．可以将（）
A．函数y=2x的图象向左平移1个单位长度
B．函数y=2x的图象向右平移1个单位长度
C．函数y=2﹣x的图象向左平移1个单位长度
D．函数y=2﹣x的图象向右平移1个单位长度
9．（4分）已知点B（2，0），P是函数y=2x图象上不同于A（0，1）的一点，有如下结论：
①存在点P使得△ABP是等腰三角形；
②存在点P使得△ABP是锐角三角形；
③存在点P使得△ABP是直角三角形．
其中，正确结论的序号为（）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
10．（4分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g （x2），则实数a的取值范围是（）
A． B． C．（0，3] D．[3，+∞）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.
11．（4分）若，则f（x）的定义域是．
12．（4分）已知f（x+1）=2x，且f（a）=4，则a= ．
13．（4分）已知则f（x）的零点为．
14．（4分）如果集合A={x|ax2+2x+1=0}只有一个元素，则实数a的值为．
15．（4分）已知函数的图象与函数y=2x+b的图象恰有两个交点，则实数b的取值范围是．16．（4分）给定集合A n={1，2，3，…，n}，n∈N*．若f是A n→A n的映射且满足：
①任取i，j∈A n，若i≠j，则f（i）≠f（j）；
②任取m∈A n，若m≥2，则有m∈{f（1），f（2），…，f（m）}．
则称映射f为A n→A n的一个“优映射”．
例如：用表1表示的映射f：A3→A3是一个“优映射”．
表一
i 1 2 3
F（i） 2 3 1
表2
i 1 2 3 4
F（i） 3
（1）若f：A4→A4是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；
（2）若f：A2015→A2015是“优映射”，且f（1004）=1，则f（1000）+f（1017）的最大值为．
二、解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）解关于x的不等式ax2﹣ax+x＞0，其中a∈R．
18．（8分）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为了合理利用这块
钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．
（Ⅰ）设MP=x米，PN=y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
（Ⅱ）求矩形BNPM面积的最大值．
19．（9分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，．
（Ⅰ）求f（﹣1）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域A；
（Ⅲ）设函数的定义域为集合B，若A⊆B，求实数a的取值范围．
20．（9分）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”．
（1）若f（x）=ax2+ax是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）是“一阶比增函数”，求证：对任意x1，x2∈（0，+∞），总有f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（3）若f（x）是“一阶比增函数”，且f（x）有零点，求证：关于x的不等式f（x）＞2015有解．
数学试题答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【解答】由M中不等式变形得：x（x﹣2）＜0，
解得：0＜x＜2，即M={x|0＜x＜2}，
∵全集U=R，N={x|x＞1}，
∴∁U N={x|x≤1}，
则M∩（∁U N）={x|0＜x≤1}，
故选：B．
2．【解答】一个函数与函数y=x （x≥0）有相同图象时，这两个函数应是同一个函数．
A中的函数和函数y=x （x≥0）的值域不同，故不是同一个函数．
B中的函数和函数y=x （x≥0）具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数．
C中的函数和函数y=x （x≥0）的值域不同，故不是同一个函数．
D中的函数和函数y=x （x≥0）的定义域不同，故不是同一个函数．
综上，只有B中的函数和函数y=x （x≥0）是同一个函数，具有相同的图象，
故选 B．
3．【解答】∵a=31.2＞3，
b=3°=1，
=30.9＜3，30.9＞1，
∴b=1＜c＜3＜a，
∴a，b，c的大小关系是b＜c＜a．
故选：C．
4．【解答】对于A，定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x），则函数为奇函数
对于B，定义域为{x|x≠1}不对称，从而是非奇非偶函数
对于C，f（﹣x）=﹣（x+1）3≠﹣f（x）=﹣（x﹣1）3，故不是奇函数
对于D，f（﹣x）=2﹣x≠﹣f（x）=﹣2x，故不是奇函数
故选A．
5.【解答】由图可知x=﹣1时，y=b﹣a=0．
∴a=b，
当x=0时，y=b，0＜b＜1，
∴0＜a，b＜1，根据指数函数的性质，
∴h（x）=（ab）x，为减函数．
故选B．
6．【解答】因为|x|≥0，
所以2|x|≥1，
所以f（x）=1﹣2|x|≤0恒成立，
故选：A
7．【解答】∵偶函数y=f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x），
∴f（x）关于x=1对称，
∵f（x）在区间[﹣1，0]上单调递增，∴在区间[0，1]上单调递递减，
在区间[1，2]上单调递增，
则f（2）＞f（）＞f（1），
即c＞b＞a，
故选：B
8．【解答】将函数y=2﹣x的图象向右平移1个单位长度，得函数y=2﹣（x﹣1）=21﹣x的图象故选 D
9．【解答】∵函数y=2x的导函数为y′=（ln2）2x
∴y′|x=0=ln2，
即线段AB的斜率为，ln2＜2
∴存在点P使得三角形ABP为锐角和直角三角形．
以B（2，0）为圆心，AB为半价作圆，和y=2x有交点，所以能够构成等腰三角形
所以，选项都对，选D
10．【解答】∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称∴x1∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3，
可得f（x1）值域为[﹣1，3]
又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，
∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]
即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]
∵∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），
∴⇒a≥3
故选D
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．【解答】要使原函数有意义，则
，解得：x≥0且x≠1，
∴f（x）的定义域是[0，1）∪（1，+∞）．
故答案为：[0，1）∪（1，+∞）．
12．【解答】由f（x+1）=2x得f（x+1）=2（x+1）﹣2，
则f（x）=2x﹣2，
由f（a）=4得f（a）=2a﹣2=4，
即2a=6，得a=3，
故答案为：3．
13．【解答】，
当x≥0时，f（x）=3x﹣3=0，
解得：x=1，
当x＜0时，f（x）==0，
解得：x=﹣2，
∴函数f（x）的零点为：﹣2和1．
故答案为：﹣2和1．
14．【解答】若集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}只有一个元素，
则方程ax2+2x+1=0有且只有一个解
当a=0时，方程可化为2x+1=0，满足条件；
当a≠0时，二次方程ax2+2x+1=0有且只有一个解
则△=4﹣4a=0，解得a=1
故满足条件的a的值为0或1
故答案为：0或1
15．【解答】当x＞1或x＜﹣1时，y=x+1，
当﹣1≤x＜1时，y=﹣x+1，
当直线y=2x+b经过点A（1，﹣2）时，此时﹣2=2+b，解得b=﹣4时只有一个交点，
当直线y=2x+b经过点B（，2）时，此时2=2+b，解得b=0，此时只有一个交点，
由图象可知，函数的图象与函数y=2x+b的图象恰有两个交点，则实数b的取值范围是（﹣4，0）故答案为：（﹣4，0）．
16．【解答】（1）
i 1 2 3 4
f（i） 2 3 1 4
或
i 1 2 3 4
f（i） 2 3 4 1
（2）根据优影射的定义，f：A2010→A2010是“优映射”，且f（1004）=1，则对f（1000）+f（1007），
只有当f（1000）=1004，f（1017）=1017，f（1000）+f（1017）取得最大值为 1004+1017=2021，
故答案为：2021．
二、解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【解答】（I）当a=0时，原不等式变为：x＞0，
（II）当a≠0时，原不等式可写为，
①当a＞0时，若即a=1此时不等式变为x2＞0得x≠0，
若即0＜a＜1可得或x＞0，
若即a＞1时可得x＜0或，
②当a＜0时，可得，
综上所述：当a=0时，不等式的解集为{x|x＞0}；
当a=1时，不等式的解集为{x|x≠0}；
当a＜0时，不等式的解集为
当a＞1时，不等式的解集为
当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜1﹣或x＞0}
18．【解答】（I）作PQ⊥AF于Q，所以PQ=8﹣y，EQ=x﹣4…（2分）
在△EDF中，，所以…（4分）
所以，定义域为{x|4≤x≤8}…（6分）
（II）设矩形BNPM的面积为S，则…（9分）所以S（x）是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x=10
所以当x∈[4，8]，S（x）单调递增…（11分）所以当x=8米时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米…（13分）
19．【解答】（I）∵函数f（x）是定义在R上的偶函数
∴f（﹣1）=f（1）
又x≥0时，
∴，即f（﹣1）=．
（II）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，
可得函数f（x）的值域A即为
x≥0时，f（x）的取值范围，
当x≥0时，
故函数f（x）的值域A=（0，1]．
（III）∵
定义域B={x|﹣x2+（a﹣1）x+a≥0}={x|x2﹣（a﹣1）x﹣a≤0}
方法一：由x2﹣（a﹣1）x﹣a≤0得（x﹣a）（x+1）≤0
∵A⊆B∴B=[﹣1，a]，且a≥1（13分）
∴实数a的取值范围是{a|a≥1}
方法二：设h（x）=x2﹣（a﹣1）x﹣a
A⊆B当且仅当即
∴实数a的取值范围是{a|a≥1}
20．【解答】（1）依题意可知：函数在区间（0，+∞）上为增函数；
由一次函数性质可知一次项系数a＞0；
∴实数a的取值范围为（0，+∞）；
（2）证明：因为f（x）为“一阶比增函数”，即在（0，+∞）上为增函数；
又对任意x1，x2∈（0，+∞），有x1＜x1+x2，x2＜x1+x2；
故，；
∴，；
不等式左右两边分别相加得：；
因此，对于任意x1，x2∈（0，+∞），总有f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；
（3）证明：设f（x0）=0，其中x0＞0；
因为f（x）是一阶比增函数，所以当x＞x0时，，即f（x）＞0；
取t∈（0，+∞），满足f（t）＞0，记f（t）=m；
由（2）知f（2t）＞2f（t）=2m；
同理可得：f（4t）＞2f（2t）=4m，f（8t）＞2f（4t）＞8m；
∴一定存在n∈N*，使得f（2n t）＞2n m＞2015；
故不等式f（x）＞2015有解．
2016人大附中高一（上）期中
数学
一、选择题（共8小题）.
1．（3分）已知集合A={x|y=lg（x﹣1）}，全集U=R，则有∁U A=（）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1] C．（1，+∞）D．[1，+∞）
2．（3分）下列图示所表示的对应关系不是映射的是（）
A．B．C．D．
3．（3分）若函数f（x）是一次函数，且函数图象经过点（0，1），（﹣1，3），则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2x﹣1 B．f（x）=2x+1 C．f（x）=﹣2x﹣1 D．f（x）=﹣2x+1
4．（3分）若函数f（x）=2x﹣3，则f﹣1（5）=（）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（3分）若实数a=20.1，b=log32，c=log0.34，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
6．（3分）若函数，则f（x）的图象为（）
7．（3分）函数f（x）=x3﹣x+2在下列区间内一定存在零点的是（）
A．（1，2）B．（0，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，0）
8．（3分）函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，f（3）=0，则不等式f（2x﹣1）≥0的解为（）
A．B．C．[2，+∞）D．
二、填空题（本大题共6小题）．
9．（3分）集合{a，b}的所有子集是：{a}，{b}，，．
10．（3分）已知函数f（x+1）=x2，则函数f（x）的解析式为f（x）= ．
11．（3分）某班共有15人参加数学和物理课外兴趣小组，其中只参加数学兴趣小组的有5人，两个小组都参加的
有4人，则只参加物理兴趣小组的有人．
12．（3分）若函数，方程f（x）=m有两解，则实数m的取值范围为．
13．（3分）函数单调减区间为．
14．（3分）对于函数f（x），若存在实数M＞0，使得对于定义域内的任意的x，使得函数|f（x）|≤M，则称函数f （x）为有界函数，下列函数是有界函数的是
①y=2x+1
②y=﹣x2+2x
③y=2x﹣1
④y=lnx（x∈（1，e]）
⑤y=2﹣|x|
⑥．
三、解答题
15．计算下列指、对数式的值
（Ⅰ）
（Ⅱ）．
16．已知
（Ⅰ）求函数y=f[g（x）]的解析式；
（Ⅱ）求f[g（1）]，f[g（﹣1）]的值；
（Ⅲ）判别并证明函数y=f[g（x）]的奇偶性．
17．已知
（Ⅰ）求f（﹣1），f（1）的值；
（Ⅱ）求f（a）+f（﹣a）的值；
（Ⅲ）判别并证明函数f（x）的单调性．
18．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对于定义域内任意x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y），且函数在定义域内为单调递减函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点；
（Ⅲ）求满足不等式f（2m+1）+f（m）＞0的实数m的范围．
19．已知分段函数f（x）=．
（1）求实数c的值；
（2）当a=1时，求f[f（﹣1）]的值与函数f（x）的单调增区间；
（3）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
20．若A n=（a i=0或1，i=1，2，…n），则称A n为0和1的一个n位排列，对于A n，将排列
记为R1（A n）；将排列记为R2（A n）；依此类推，直至R n（A n）=A n．对于排列A n和R i（A n）（i=1，2，…n﹣1），它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做A n和R i（A n）的相关值，记作t（A n，R i（A n）），
（Ⅰ）例如A3=，则R1（A3）= ，t（A3，R1（A3））= ；
若t（A n，R i（A n））=﹣1（i=1，2，…n﹣1），则称A n为最佳排列
（Ⅱ）当n=3，写出所有的n位排列，并求出所有的最佳排列A3；
（Ⅲ）证明：当n=5，不存在最佳排列A5．
数学试题答案
一、选择题（共8小题）.
1．【解答】由于函数y=y=lg（x﹣1）有意义，
∴x﹣1＞0，即x＞1
集合A={x|y=lg（x﹣1）}=（1，+∞）
由于全集U=R，所以C U A=（﹣∞，1]，
故选：B．
2．【解答】若在M中的任意一个元素，在N中都有唯一的元素对应，则M到N的对应叫映射，A、B、D符合映射的定义，是映射，
C中，M的元素b在N中有两个对应的元素，不符合映射的定义，不是映射．
故选：C．
3．【解答】∵函数f（x）是一次函数，
∴其解析式可以假设为f（x）=kx+b （k≠0），
∵函数图象经过点（0，1），（﹣1，3），
∴f（0）=1，
f（﹣1）=3，
∴b=1，k=﹣2，
∴f（x）=﹣2x+1，
故选：D．
4．【解答】由2x﹣3=5，
解得x=4．
∴f﹣1（5）=4．
故选：A．
5．【解答】∵a=20.1＞20=1，
0=log31＜b=log32＜log33=1，
c=log0.34＜log0.31=0，
∴a＞b＞c．
故选：A．
6．【解答】f（﹣x）===f（x），
所以函数f（x）为偶函数，故图象关于y轴对称，故排除B，D，
由f′（x）=，
当x＞0时，f′（x）为减函数，
故f（x）的切线的斜率越来越小，
故f（x）增加的越来越慢，
故选：A．
7．【解答】f（﹣2）=﹣8+2+2=﹣4＜0，f（﹣1）=﹣1+1+2=2＞0，
则函数f（x）在（﹣2，﹣1）上存在零点，
故选：C
8．【解答】∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（3）=0，
∴函数f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，且f（﹣3）=﹣f（3）=0，
作出函数f（x）的草图：
如图：由不等式f（2x﹣1）≥0得2x﹣1≥3或2x﹣1=0或﹣3≤2x﹣1＜0，即x≥2或x=或﹣1≤x＜，
综上x≥2或﹣1≤x≤，
即不等式的解集为，
故选：B
二、填空题（本大题共6小题）．
9．【解答】集合{a，b}的所有子集：∅，{a}，{b}，{a，b}．
故答案为：∅，{a，b}．
10．【解答】令t=x+1，
则x=t﹣1，
∴f（t）=（t﹣1）2，
∴f（x）=（x﹣1）2．
故答案为：（x﹣1）2
11．【解答】由题意可得到只参加物理兴趣小组的人数为15﹣5﹣4=6人，
故答案为：6
12．【解答】如图所示．
由题意，x≤0，0＜3x≤1，x＞0，f（x）≤2，
∵方程f（x）=m有两解，
∴0＜m＜2．
故答案为：0＜m＜2．
13．【解答】由2x﹣x2＞0得0＜x＜2，
设t=2x﹣x2，
∵y=log2t为增函数，
∴要求单调减区间，即求函数t=2x﹣x2（0＜x＜2）的递减区间，
∵当1≤x＜2时，函数t=2x﹣x2为减函数，
故函数f（x）的单调递减区间为[1，2），
故答案为：[1，2）．
14．【解答】若函数f（x）为有界函数，则函数的值域是有界的．
①y=2x+1的值域为R，故不是有界函数，
②y=﹣x2+2x的值域为（﹣∞，1]，故不是有界函数，
③y=2x﹣1的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故不是有界函数，
④y=lnx（x∈（1，e]）的值域为（0，1]为有界函数；
⑤y=2﹣|x|的值域为（0，1]为有界函数；
⑥．的值域为（﹣1，1）为有界函数；
故答案为：④⑤⑥
三、解答题
15．【解答】（Ⅰ）=×=×==3．（Ⅱ）=1+3×5=16．
16．【解答】（1）∵f（x）=log2x，g（x）=9﹣x2，
∴y=f[g（x）]=（﹣3＜x＜3）；
（2）f[g（1）]=log28=3，
f[g（﹣1）]=log28=3；
（3）偶函数，
证明：定义域为（﹣3，3），关于原点对称，
∵y=f[g（x）]=，
∴f[g（﹣x）]=，
∴y=f[g（﹣x）]=y=f[g（x）]，
∴y=f[g（x）]为偶函数．
17．【解答】（Ⅰ）∵，
∴f（﹣1）==，f（1）==；
（Ⅱ）f（a）+f（﹣a）=+=+=1；
（Ⅲ）函数f（x）是定义域R上的单调增函数，
证明如下：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，
∴＜，（1+）（1+）＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）=﹣=＞0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）是定义域R上的单调增函数．
18．【解答】（Ⅰ）由题意知，f（xy）=f（x）+f（y）
令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，
令x=a，y=，
∴f（a）+f（）=f（1）=0；
（Ⅱ）∵函数在定义域内为单调递减函数，
∵f（1）=0，
∴在定义域内只有一个零点x=1；
（Ⅲ）f（2m+1）+f（m）＞0，
∴f（2m+1）+f（m）＞f（1），
∴（m+1）（2m﹣1）＜0，
∴﹣1＜m＜，
∵m＞0，
∴0＜m＜
19．【解答】（1）因为两段都取到x=0，所以当x=0时的函数值相等，即20=c，因此c=1 （2）因为a=1，所以，所以
由解析式可知：f（x）的增区间是（﹣∞，0）和（1，+∞）
（3）由解析式知：
当x≤0时：函数没有零点
当x≥0时：f（x）=（ax﹣1）（x﹣1），此时函数一定有一个零点x=1
令h（x）=ax﹣1，则函数h（x）要么没有零点，要么有且只有一个零点x=1，而：
当a=0时，此函数没有零点，符合题意
当a＜0时，此函数没有零点，符合题意
当a＞0时，若a=1，此函数有且只有一个零点x=1，符合题意；其它取值都有不等于1的根，不符合题意所以：当a∈（﹣∞，0]∪{1}时，函数f（x）有且只有一个零点
20．【解答】（Ⅰ）当A3=，R1（A3）=，
t（A3，R1（A3））=1﹣2=﹣1，
故答案为：，﹣1…（4分）
（Ⅱ）当n=3时，所有的3位排列有：
，，，，，，，
最佳排列A3为，，，，，…（8分）
证明：（Ⅲ）设A 5=，则R1（A5）=，
因为 t（A5，R1（A5））=﹣1，所以|a1﹣a5|，|a2﹣a1|，|a3﹣a2|，|a4﹣a3|，|a5﹣a4|之中有2个0，3个1．按a5→a1→a2→a3→a4→a5的顺序研究数码变化，由上述分析可知有2次数码不发生改变，
有3次数码发生了改变．
但是a5经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在A5，使得t（A5，R1（A5））=﹣1，
从而不存在最佳排列A5．…（12分）
2016首师大附属育新高一（上）期中
数学
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分，在后面答题区域的表格内填写正确的答案）
1．（3分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，则B∩∁U A（）A．{5，6} B．{3，4，5，6} C．{1，2，5，6} D．∅
2．（3分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）
A．f（x）=x2+3x B．y=（x﹣1）2C．g（x）=2﹣x D．y=log0.5（x+1）
3．（3分）设a=（）0.2，b=1.30.7，c=（），则a，b，c的大小关系是（）
A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c
4．（3分）已知集合A={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且A⊆B，则实数a的取值范围（）
A．a＜﹣2 B．a＞2 C．a≤﹣2 D．a≥2
5．（3分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m恰有一个零点，则实数m的取值范围是（）
A．[0，1] B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）
6．（3分）函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）
A． B． C．D．
7．（3分）已知实数a，b满足等式2014a=2015b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b，其中不可能成立的关系式有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（3分）已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣]=2，则f（）的值是（）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，在后面答题区域的表格内填写正确方为有效共10小题，每小题4分，满分40分）
9．（4分）若函数f（x）=﹣x2+4ax在（﹣∞，﹣2]上单调递增，则实数a的取值范围是．
10．（4分）已知函数y=3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P，则P点的坐标为．
11．（4分）若函数f（x）=是奇函数，则a+b= ．
12．（4分）函数f（x）=x2﹣x+a，则f（m）f（1﹣m）（填“＜”“＞”或“=”）
13．（4分）用“二分法”求函数f（x）=x3﹣3x+1的一个零点时，若区间[1，2]作为计算的初始区间，则下一个区间应取为．
14．（4分）已知函数f（x）=x5+ax﹣8，且f（﹣2）=10，则f（2）= ．
15．（4分）函数f（x）=的值域是．
16．（4分）函数f（x）=x2+2ax+a2在区间[﹣1，2]上的最大值是4，则实数a的值为．
17．（4分）设2a=5b=m，且+=2，m= ．
18．（4分）已知下表中的对数值有且只有一个是错误的．
x 1.5 3 5 6 8 9
lg x 4a﹣2b+c 2a﹣b a+c 1+a﹣b﹣c 3[1﹣（a+c）] 2（2a﹣b）
其中错误的对数值是．
三、解答题（本大题共4小题，满分36分要求写出必要的解题步骤和文字说明）
19．（9分）计算下来各式：
（1）化简：a••；
（2）求值：log535+2log0.5﹣log5﹣log514+5．
20．（9分）已知函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）若f（x）＞0，求x的取值范围．
21．（9分）据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．
（1）当t=4时，求s的值；
（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
22．（9分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，a，b，c是常数且a≠0，满足条件：f（0）=3，f（3）=6，且对任意的x∈R有f（1+x）=f（1﹣x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）问是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]，[2m，2n]？若存在，求出m，n；若
不存在，说明理由．
数学试题答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分，在后面答题区域的表格内填写正确的答案）1．【解答】∵全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，
∴∁U A={5，6}，
则B∩∁U A={5，6}，
故选：A．
2．【解答】对于A，函数f（x）=x2+3x在（0，+∞）上是单调增函数，满足条件；
对于B，函数y=（x﹣1）2在（0，1）是单调减函数，在（1，+∞）上是单调增函数，不满足条件；
对于C，函数g（x）=2﹣x=在（﹣∞，+∞）上为单调减函数，不满足条件；
对于D，函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是单调减函数，不满足条件．
故选：A．
3．【解答】∵1＞a=（）0.2＞（），b=1.30.7＞1，
则a，b，c的大小关系是b＞a＞c．
故选：B．
4．【解答】∵集合A={x丨﹣2≤x≤2，x∈R}，B={x丨x≥a}，且A⊆B，
∴a≤﹣2
故选：C．
5．【解答】令g（x）=0得f（x）=m，
作出y=f（x）的函数图象如图所示：
由图象可知当m＜0或m≥1时，f（x）=m只有一解．
故选D．
6．【解答】函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．当a＞1时，函数y=a x﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．
当1＞a＞0时，函数y=a x﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，
故选D．
7．【解答】分别作出y=2014x，与y=2015x的函数图象．
∵2014a=2015b，
∴a＞b＞0，或a＜b＜0，或a=b=0，正确；
因此只有：③，④不正确．
故选：B．
8．【解答】根据题意，得若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣]=2，得到f（x）﹣为一个常数，
令f（x）﹣=n，
则f（n）=2，
∴2﹣=n，
∴n=1，
∴f（x）=1+，
∴f（）=7，
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，在后面答题区域的表格内填写正确方为有效共10小题，每小题4分，满分40分）
9．【解答】f（x）=﹣（x﹣2a）2+4a2，
∴f（x）的图象开口向下，对称轴为x=2a，
∴f（x）在（﹣∞，2a]上单调递增，在（2a，+∞）上单调递减，
∵在（﹣∞，﹣2]上单调递增，
∴﹣2≤2a，解得a≥﹣1，
故答案为：[﹣1，+∞）．
10．【解答】令2x+3=1，可得 x=﹣1，此时y=3．
即函数y=3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P的坐标为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．
11．【解答】由题意，a=f（0）=0．
f（﹣1）=﹣f（1），∴﹣1+b=﹣（1﹣1），∴b=1，
∴a+b=1．
故答案为：1．
12．【解答】解法一、函数f（x）=x2﹣x+a，
可得f（1﹣m）﹣f（m）=（1﹣m）2﹣（1﹣m）+a﹣（m2﹣m+a）
=（1﹣m）（﹣m）﹣m（m﹣1）=m（m﹣1）﹣m（m﹣1）=0，
则f（m）=f（1﹣m）．
解法二、函数f（x）=x2﹣x+a的对称轴为x=，
由m+（1﹣m）=1，
可得f（m）=f（1﹣m）．
故答案为：=．
13．【解答】由二分法由f（1）=1﹣3+1＜0，f（2）=8﹣6+1＞0，
取区间[1，2]作为计算的初始区间
取x1=1.5，
这时f（1.5）=1.53﹣3×1.5+1=﹣0.125＜0，
故x0∈（1.5，2）．
故答案为：（1.5，2）．
14．【解答】f（﹣2）=（﹣2）5﹣2a﹣8=10，则2a=﹣25﹣18，
则f（2）=25+2a﹣8=25﹣25﹣18﹣8=﹣26，
故答案为：﹣26．
15．【解答】若使函数的解析式有意义
则4﹣2x≥0，解得x≤2
此时0＜2x≤4
则0≤4﹣2x＜4
0≤＜2
故函数的值域是[0，2）
故答案为：[0，2）
16．【解答】∵函数f（x）=x2+2ax+a2=（x+a）2在区间[﹣1，2]上的最大值是4，区间[﹣1，2]的中点为，二次函数f（x）的图象的图象的对称轴为x=﹣a，
当﹣a＜时，即a＞﹣时，f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值为f（2）=4+4a+a2=4，a=0．
当﹣a≥时，即a≤﹣时，f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值为f（﹣1）=1﹣2a+a2=4，求得a=﹣1，
综上可得，a=0或 a=﹣1，
故答案为：0或﹣1．
17．【解答】解：∵2a=5b=m，∴a=log2m，b=log5m，由换底公式得
，∴m2=10，∵m＞0，∴
故应填
18．【解答】∵lg9=2lg3，适合，故二者不可能错误，
同理：lg8=3lg2=3（1﹣lg5），∴lg8，lg5正确．
lg6=lg2+lg3=（1﹣lg5）+lg3=1﹣（a+c）+（2a﹣b）=1+a﹣b﹣c，故lg6也正确．
故答案为：lg1.5．
三、解答题（本大题共4小题，满分36分要求写出必要的解题步骤和文字说明）
19．【解答】（1）a••==；
（2）log535+2log0.5﹣log5﹣log514+5
=1+log57﹣log0.50.5+log550﹣log57﹣log52+3
=1+log57﹣1+2+log52﹣log57﹣log52+3
=1﹣1+2+3
=5．
20．【解答】函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．
（1）∵
﹣1＜x＜1
∴函数f（x）的定义域（﹣1，1）
（2）函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．
∵f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x）．
∴f（x）为奇函数
（3）∵f（x）＞0，
∴求解得出：0＜x＜1
故x的取值范围：（0，1）
21．【解答】设直线l交v与t的函数图象于D点，
（1）由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t，当t=4时，D点坐标为（4，12），
∴OT=4，TD=12，
∴S=×4×12=24（km）；（2分）
（2）当0≤t≤10时，此时OT=t，TD=3t（如图1）
∴S=•t•3t=（4分）
当10＜t≤20时，此时OT=t，AD=ET=t﹣10，TD=30（如图2）
∴S=S△AOE+S矩形ADTE=×10×30+30（t﹣10）=30t﹣150（5分）
当20＜t≤35时，∵B，C的坐标分别为（20，30），（35，0）
∴直线BC的解析式为v=﹣2t+70
∴D点坐标为（t，﹣2t+70）
∴TC=35﹣t，TD=﹣2t+70（如图3）
∴S=S梯形OABC﹣S△DCT=（10+35）×30﹣（35﹣t）（﹣2t+70）=﹣（35﹣t）2+675；（7分）（3）∵当t=20时，S=30×20﹣150=450（km），
当t=35时，S=﹣（35﹣35）2+675=675（km），而450＜650＜675，
∴N城会受到侵袭，且侵袭时间t应在20h至35h之间，（8分）
由﹣（35﹣t）2+675=650，解得t=30或t=40（不合题意，舍去）．
∴在沙尘暴发生后30h它将侵袭到N城．
22．【解答】（1）∵对任意的x∈R有f（1+x）=f（1﹣x），
∴函数的对称轴是x=﹣=1①，
又f（0）=3，f（3）=6，
∴f（0）=c=3②，f（3）=9a+3b+c=6③，
由①②③组成方程组解得：a=1，b=﹣2，c=3，
∴f（x）=x2﹣2x+3；
（2）f（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，
对称轴x=1，函数的最小值是2，
由于函数f（x）的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，m＜n，．
∴函数f（x）在定义域为[m，n]上是增函数，
∴f（m）=2m，f（n）=2n，
即，解得：m=1，n=3，
∴m=1，n=3．
2016顺义牛栏山一中高一（上）期中
数学
一、选择题：（每题5分，共40分）在每小题的4个选项中，只有1项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合I=R，集合M={x|x＜1}，N={x|﹣1＜x＜2}，则集合{x|﹣1＜x＜1}等于（）
A．M∪N B．M∩N C．（∁I M）∪N D．（∁I M）∩N
2．（5分）若f（x）=x2+a（a为常数），，则a的值为（）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
3．（5分）函数的定义域为（）
A．[﹣2，+∞）B．[﹣2，0）∪（0，+∞）C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，2）
4．（5分）如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5
C．减函数且最大值是﹣5 D．减函数且最小值是﹣5
5．（5分）已知a=40.4，b=80.2，，则（）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．a＞c＞b D．a＞b＞c
6．（5分）已知幂函数f（x）=xα（α∈Z），具有如下性质：f2（1）+f2（﹣1）=2[f（1）+f（﹣1）﹣1]，则f（x）是（）
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数
7．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为（）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
8．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）
A．（1，10） B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）
二、填空题：（每题5分，共30分）
9．（5分）写出满足条件{1，3}∪A={1，3，5}的集合A的所有可能情况是．
10．（5分）函数y=1﹣2x（x∈[2，3]）的值域为．
11．（5分）如果奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则使f（x﹣1）＜0的x的取值范围是．
12．（5分）若函数y=2﹣x+m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是．
13．（5分）函数y=log2（x2﹣3x﹣4）的单调增区间是．
14．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（﹣3）= ．
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（12分）已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求∁R（A∪B），∁R（A∩B），（∁R A）∩B，A∪（∁R B）16．（14分）计算下列各题：
（2）2lg lg49．
17．（13分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（2）=．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并用定义加以证明．
18．（14分）某企业打算购买工作服和手套，市场价为每套工作服53元，每副手套3元，该企业联系了两家商店A 和B，由于用货量大，这两家商店都给出了优惠条件：
商店A：买一赠一，买一套工作服，赠一副手套；
商店B：打折，按总价的95%收款．
该企业需要工作服75套，手套x副（x≥75），如果工作服与手套只能在一家购买，请你帮助老板选择在哪一家商店购买更省钱？
19．（13分）设函数f（x）=log2（a x﹣b x），且f（1）=1，f（2）=log212．
（1）求a，b的值；
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）最大值．
20．（14分）已知定义域为R的函数是奇函数
（1）求a值；
（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；
（4）设关于x的函数F（x）=f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）有零点，求实数b的取值范围．
数学试题答案
一、选择题：（每题5分，共40分）在每小题的4个选项中，只有1项是符合题目要求的.
1．【解答】∵I=R，M={x|x＜1}，N={x|﹣1＜x＜2}，
∴M∩N={x|﹣1＜x＜1}，
故选：B．
2．【解答】∵f（x）=x2+a（a为常数），，
∴2+a=3，
∴a=1．
故选：D．
3．【解答】要使原函数有意义，则，解得：x＞﹣2．
∴函数的定义域为（﹣2，+∞）．
故选：C．
4．【解答】由于奇函数的图象关于原点对称，故它在对称区间上的单调性不变．
如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上必是增函数且最小值为﹣5，
故选A．
5．【解答】a=40.4=20.8，b=80.2=20.6
=20.5，
因为y=2x是增函数，
所以a＞b＞c．
故选：D．
6．【解答】幂函数f（x）=xα（α∈Z）中，
若有f2（1）+f2（﹣1）=2[f（1）+f（﹣1）﹣1]，则可取常量n=2，
所以，函数为f（x）=x2，此函数的图象是开口向上，并以y轴为对称轴的二次函数，
即定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x），所以为偶函数．
故选：B．
7．【解答】∵f（x）=，
∴f（3）=f（2）﹣f（1）
=f（1）﹣f（0）﹣f（1）
=﹣f（0）
=﹣log24
=﹣2．
故选：B．
8．【解答】作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则
ab=1，
则abc=c∈（10，12）．
故选C．
二、填空题：（每题5分，共30分）
9．【解答】{1，3}∪A={1，3，5}，可得A中必须含有5这个元素，也可以含有1，3中的数值，
满足条件{1，3}∪A={1，3，5}的集合A的所有可能情况是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．
故答案为：{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．
10．【解答】因为函数y=1﹣2x是减函数．所以x∈[2，3]时，可得函数的最大值为：﹣3，最小值为：﹣7，函数的值域[﹣7，﹣3]．
故答案为：[﹣7，﹣3]．
11．【解答】由题意x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，可得x＞1时，函数值为正，0＜x＜1时，函数值为负又奇函数y=f（x）（x≠0），由奇函数的性质知，当x＜﹣1时，函数值为负，当﹣1＜x＜0时函数值为正综上，当x＜﹣1时0＜x＜1时，函数值为负
∵f（x﹣1）＜0
∴x﹣1＜﹣1或0＜x﹣1＜1，即x＜0，或1＜x＜2
故答案为（﹣∞，0）∪（1，2）
12．【解答】∵函数y=2﹣x+m的图象不经过第一象限，而函数y=2﹣x+m的图象经过定点（0，1+m），且函数y在R上单调递减，
则1+m≤0，求得m≤﹣1，
故答案为：（﹣∞，﹣1]．
13．【解答】令t=x2﹣3x﹣4＞0，求得x＜﹣1，或x＞4，故函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），
且y=log2t，
故本题即求二次函数t的增区间．
再利用二次函数的性质可得函数t的增区间为（4，+∞），
故答案为：（4，+∞）．
14．【解答】由题意可知：
f（1）=f（0+1）=f（0）+f（1）+2×0×1
=f（0）+f（1），
∴f（0）=0．
f（0）=f（﹣1+1）=f（﹣1）+f（1）+2×（﹣1）×1
=f（﹣1）+f（1）﹣2，
∴f（﹣1）=0．
f（﹣1）=f（﹣2+1）=f（﹣2）+f（1）+2×（﹣2）×1
=f（﹣2）+f（1）﹣4，
∴f（﹣2）=2．
f（﹣2）=f（﹣3+1）=f（﹣3）+f（1）+2×（﹣3）×1
=f（﹣3）+f（1）﹣6，
∴f（﹣3）=6．
故答案为：6．
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．【解答】∵集合A={x丨3≤x＜7}，B={x丨2＜x＜10}，
∴A∪B={x|2＜x＜10}，A∩B={x|3≤x＜7}，∁R A={x|x＜3或x≥7}，
∴∁R（A∪B）={x|x≤2或x≥10}，
∁R（A∩B）={x|x＜3或x≥7}，
（∁R A）∩B={x|2＜x≤3或7≤x＜10}．
16．【解答】（1）
=0.4﹣1﹣1+[﹣2]﹣4+2﹣3+0.1
=﹣1++
=…（7分）
（2）2lg lg49
=2lg5﹣2lg3﹣lg7+2lg2+2lg3+lg7
=2lg5+2lg2
=2 …（14分）
17．【解答】（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．
∴=﹣，
因此b=﹣b，
即b=0．
又f（2）=，
∴=，∴a=2；
（2）由（1）知f（x）==+，f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，
证明：设x1＜x2≤﹣1，则f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）（1﹣）=（x1﹣x2）•．
∵x1＜x2≤﹣1，
∴x1﹣x2＜0，x1x2＞1．
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数．
18．【解答】设按商店A和B优惠付款数分别为f（x）和g（x）
商店A：f（x）=75×53+（x﹣75）×3=3x+3750（x≥75）…（4分）
商店B：g（x）=（75×53+3x）×95%=2.85x+3776.25（x≥75）…（8分）令f（x）=g（x），解得x=175选择A与B是一样的…（10分）
令y=f（x）﹣g（x）=0.15x﹣26.25，
当75≤x＜175时，y＜0，选择商店A；…（12分）
当x＞175时，y＞0，选择商店B；…（14分）
19．【解答】∵函数f（x）=log2（a x﹣b x），且f（1）=1，f（2）=log212 ∴
∴
∴
（2）由（1）得
令g（x）=4x﹣2x=（2x）2﹣2x
令t=2x，则y=t2﹣t
∵x∈[1，2]，
∴t∈[2，4]，
显然函数y=（t﹣）2﹣在[2，4]上是单调递增函数，
所以当t=4时，取得最大值12，
∴x=2时，f（x）最大值为log212=2+log23
20．【解答】（1）由题设，需，∴a=1，
∴，
经验证，f（x）为奇函数，∴a=1．
（2）减函数
证明：任取x1，x2∈R，x1＜x2，△x=x2﹣x1＞0，
f（x2）﹣f（x1）=﹣=，
∵x1＜x2 ∴0＜＜；
∴﹣＜0，（1+）（1+）＞0
∴f（x2）﹣f（x1）＜0
∴该函数在定义域R 上是减函数．
（3）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0 得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），
∵f（x）是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），
由（2）知，f（x）是减函数
∴原问题转化为t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t﹣k＞0 对任意t∈R 恒成立，
∴△=4+12k＜0，得即为所求．
（4）原函数零点的问题等价于方程f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）=0
由（3）知，4x﹣b=2x+1，即方程b=4x﹣2x+1有解
∴4x﹣2x+1=（2x）2﹣2×2x=（2x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴当b∈[﹣1，+∞）时函数存在零点．。