2020-2021学年辽宁省沈阳市沈北新区九年级(上)期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年辽宁省沈阳市沈北新区九年级第一学期期末数学
试卷
一、选择题（共10小题）.
1．用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0时，原方程应变形为（）
A．（x﹣2）2＝0B．（x﹣2）2＝8C．（x+2）2＝0D．（x+2）2＝8 2．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sin A＝，cos B＝，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定
3．将抛物线y＝﹣2x2向右平移3个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线解析式为（）A．y＝2（x﹣3）2+4B．y＝﹣2（x+3）2+4
C．y＝﹣2（x+3）2﹣4D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣4
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则sin B等于（）
A．B．C．D．
5．若2a＝3b（a≠0），则的值为（）
A．B．C．2D．3
6．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（）
A．6m B．3m C．9m D．6m
7．若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值可能是（）A．4B．3C．2D．0
8．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G．若AD＝2，DF＝4，BC＝3，则BE的长为
（）
A．B．C．12D．9
9．如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）
A．2：3B．3：2C．9：4D．4：9
10．已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣x+k2的图象大致为（）
A．B．
C．D．
二、填空题（共6小题）.
11．方程x（3x﹣2）＝4（3x﹣2）的根为．
12．菱形ABCD中，对角线AC长为10cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的面积为cm2．13．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为．
14．抛物线y＝2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点之间的距离是．
15．如图，点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上，过点A作AC⊥X轴，垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当AC＝1时，△ABC的周长为．
16．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则所列方程为．
三、解答题
17．（6分）计算：2sin30°﹣4cos45°+|1﹣tan60°|．
18．（6分）如图，△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，四边形DBCE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．
19．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF 交于G、H．
（1）求证：△ABE∽△ADF；
（2）若AG＝AH，求证：四边形ABCD是菱形．
20．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N．
（1）证明：AM2＝MN•MP；
（2）若AD＝6，DC：CP＝2：1，求BN的长．
21．（8分）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）
22．（10分）某超市准备进一批每个进价为40元的小家电，经市场调查预测，售价定为50元时可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．
（1）设每个定价增加x元，此时的销售量是多少？（用含x的代数式表示）
（2）超市若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个应定价为多少元？
（3）超市若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3（k≠0）与x轴交于点A，与
双曲线y＝（m≠0）的一个交点为B（﹣1，4）．
（1）求直线与双曲线的表达式；
（2）过点B作BC⊥x轴于点C，若点P在双曲线y＝上，且△PAC的面积为4，求点P的坐标．
24．（12分）已知正方形ABCD，E为平面内任意一点，连接AE，BE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFC．
（1）如图1，求证：
①AE＝CF；
②AE⊥CF．
（2）若BE＝2，
①如图2，点E在正方形内，连接EC，若∠AEB＝135°，EC＝5，求AE的长；
②如图3，点E在正方形外，连接EF，若AB＝6，当C、E、F在一条直线时，求AE的
长．
25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每题2分，共20分）
1．用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0时，原方程应变形为（）
A．（x﹣2）2＝0B．（x﹣2）2＝8C．（x+2）2＝0D．（x+2）2＝8解：∵x2﹣4x﹣4＝0，
∴x2﹣4x+4＝8，
∴（x﹣2）2＝8，
故选：B．
2．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sin A＝，cos B＝，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定
解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角，sin A＝，cos B＝，
∴∠A＝∠B＝30°．
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
故选：B．
3．将抛物线y＝﹣2x2向右平移3个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线解析式为（）A．y＝2（x﹣3）2+4B．y＝﹣2（x+3）2+4
C．y＝﹣2（x+3）2﹣4D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣4
解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），
向右平移3个单位，再向下平移4个单位后的图象的顶点坐标为（3，﹣4），
所以，所得图象的解析式为y＝﹣2（x﹣3）2﹣4，
故选：D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则sin B等于（）
A．B．C．D．
解：在Rt△ABC中，
∴sin B＝＝＝，
故选：C．
5．若2a＝3b（a≠0），则的值为（）
A．B．C．2D．3
解：∵2a＝3b（a≠0），
∴a＝b，
∴＝＝2；
故选：C．
6．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（）
A．6m B．3m C．9m D．6m
解：∵迎水坡AB的坡比为1：，
∴＝，即＝，
解得，AC＝3，
由勾股定理得，AB＝＝6（m），
故选：A．
7．若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值可能是（）A．4B．3C．2D．0
解：∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，
∴k﹣1＜0，
解得：k＜1．
8．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G．若AD＝2，DF＝4，BC＝3，则BE的长为（）
A．B．C．12D．9
解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴，
∵AD＝2，DF＝4，BC＝3，
∴，
∴BE＝9，
故选：D．
9．如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）
A．2：3B．3：2C．9：4D．4：9
解：设DE＝x，
∵DE：AD＝1：3，
∴AD＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，
∵点F是BC的中点，
∴CF＝BC＝x，
∴△DEG∽△CFG，
∴＝（）2＝（）2＝，
故选：D．
10．已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣x+k2的图象大致为（）
A．B．
C．D．
解：∵函数y＝的图象经过二、四象限，∴k＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴x＝﹣＝＜0，
即对称轴在y轴的左边．
故选：D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．方程x（3x﹣2）＝4（3x﹣2）的根为x1＝，x2＝4．
解：方程移项得：x（3x﹣2）﹣4（3x﹣2）＝0，
分解因式得：（3x﹣2）（x﹣4）＝0，
可得3x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝，x2＝4．
故答案为：x1＝，x2＝4
12．菱形ABCD中，对角线AC长为10cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的面积为30cm2．解：菱形的面积等于两对角线的积的一半，则这个菱形的面积是6×10×＝30cm2．故答案为30．
13．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为（2，﹣3）．
解：∵四边形OABC是菱形，
∴A、C关于直线OB对称，
∵A（2，3），
∴C（2，﹣3），
故答案为（2，﹣3）．
14．抛物线y＝2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点之间的距离是．
解：当y＝0时，2x2﹣3x﹣5＝0，
解得，x1＝，x2＝﹣1，
∵﹣（﹣1）＝，
∴抛物线y＝2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点之间的距离是，
故答案为：．
15．如图，点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上，过点A作AC⊥X轴，垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当AC＝1时，△ABC的周长为1+．
解：∵AC⊥x轴，AC＝1，
∴A点的纵坐标为1，
当y＝1时，﹣＝1，解得x＝﹣，
∴A（﹣，1），
∴OC＝，
∵OA的垂直平分线交x轴于点B，
∴BA＝BO，
∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝AC+BC+BO＝AC+CO＝1+．
故答案为1+．
16．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则所列方程为x（49+1﹣2x）＝200．
解：设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49+1﹣2x）m，
依题意得：x（49+1﹣2x）＝200，
故答案是：x（49+1﹣2x）＝200．
三、解答题
17．（6分）计算：2sin30°﹣4cos45°+|1﹣tan60°|．
解：原式＝2×﹣4×+﹣1
＝1﹣2+﹣1
＝﹣2+．
18．（6分）如图，△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，四边形DBCE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．
【解答】证明：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，AD＝BD．
∵在▱DBCE中，EC∥BD，EC＝BD，
∴EC∥AD，EC＝AD．
∴四边形ADCE是平行四边形．
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
19．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF 交于G、H．
（1）求证：△ABE∽△ADF；
（2）若AG＝AH，求证：四边形ABCD是菱形．
解：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE＝∠ADF，
∴△ABE∽△ADF；
（2）∵△ABE∽△ADF，
∴∠BAG＝∠DAH，
∴AG＝AH，
∴∠AGH＝∠AHG，
∴∠AGB＝∠AHD，
∴△ABG≌△ADH，
∴AB＝AD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
20．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N．
（1）证明：AM2＝MN•MP；
（2）若AD＝6，DC：CP＝2：1，求BN的长．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADM＝∠NBM，∠DAM＝∠BNM，
∴△ADM∽△NBM，
∴＝，
∵AB∥DC，
∴∠P＝∠BAM，∠MDP＝∠ABM，
∴△PDM∽△ABM，
∴＝，
∴＝，
∴AM2＝MN•MP；
（2）∵AD∥BC，
∴∠PCN＝∠PDA，∠P＝∠P，
∴△PCN∽△PDA，
∴＝，
∵DC：CP＝2：1，
∴＝＝，
又∵AD＝6，
∴NC＝2，
∴BN＝4．
21．（8分）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）
解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．
则DE＝BF＝CH＝10m，
在Rt△ADF中，AF＝AB﹣BF＝70m，∠ADF＝45°，
∴DF＝AF＝70m．
在Rt△CDE中，DE＝10m，∠DCE＝30°，
∴CE＝＝＝10（m），
∴BC＝BE﹣CE＝（70﹣10）m．
答：障碍物B，C两点间的距离为（70﹣10）m．
22．（10分）某超市准备进一批每个进价为40元的小家电，经市场调查预测，售价定为50元时可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．
（1）设每个定价增加x元，此时的销售量是多少？（用含x的代数式表示）
（2）超市若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个应定价为多少元？
（3）超市若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？
解：（1）根据题意得出：400﹣10x；
（2）（10+x）（400﹣10x）＝6000
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得x1＝20，x2＝10（舍去），
∴每个定价70元；
（3）设最大利润为y元，则y＝﹣10x2+300x+4000，
当时，y最大＝，
所以每个定价为65元时，获得的最大利润为6250元．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3（k≠0）与x轴交于点A，与双曲线y＝（m≠0）的一个交点为B（﹣1，4）．
（1）求直线与双曲线的表达式；
（2）过点B作BC⊥x轴于点C，若点P在双曲线y＝上，且△PAC的面积为4，求点P的坐标．
解：（1）∵直线y＝kx+3（k≠0）与双曲线y＝（m≠0）都经过点B（﹣1，4），∴﹣k+3＝4，m＝﹣1×4．
∴k＝﹣1，m＝﹣4．
∴直线的表达式为y＝﹣x+3，双曲线的表达式为．
（2）由题意，得点C的坐标为C（﹣1，0），
直线y＝﹣x+3与x轴交于点A（3，0）．
∴AC＝4．
∵，
∴y P＝±2．
∵点P在双曲线上，
∴点P的坐标为P1（﹣2，2）或P2（2，﹣2）．
24．（12分）已知正方形ABCD，E为平面内任意一点，连接AE，BE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFC．
（1）如图1，求证：
①AE＝CF；
②AE⊥CF．
（2）若BE＝2，
①如图2，点E在正方形内，连接EC，若∠AEB＝135°，EC＝5，求AE的长；
②如图3，点E在正方形外，连接EF，若AB＝6，当C、E、F在一条直线时，求AE的
长．
解：（1）①∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFC，
∴△AEB≌△CFB，
∴AE＝CF；
②如图1，
延长AE交CF于M，
由①知，△AEB≌△CFB，
∴∠F＝∠AEB，∠BAE＝∠CBF，
∵∠AEB+∠BAE+∠ABE＝180°，
∴∠F+∠CBF+∠BAM＝180°
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠AMF＝360°﹣∠ABC﹣∠F﹣∠BAM＝90°，
∴AE⊥CF；
（2）①如图2，
连接EF，由旋转知，BE⊥BF且BE＝BF，
∴∠BFE＝45°，
在Rt△BEF中，BE＝BF＝2，
∴EF2＝8，
∵∠BEF＝45°，∠AEB＝135°，
∴∠AEB+∠BEF＝180°，
∴点A，E，F在同一条直线上，
由（1）知，AE⊥CF，
在Rt△ECF中，CE＝5，利用勾股定理得，FC＝＝，∴AE＝CF＝
②如图3，∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝6，
在Rt△BEF中，BF＝BE＝2，
∴EF＝2，
过点B作BG⊥FC于点G，
∴BG＝FG＝EF＝，
在Rt△BCG中，利用勾股定理得，GC＝＝，
故FC＝CG+FG＝+，
∴AE＝CF＝+．
25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，
顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴BD＝BC＝×＝2，
y D＝BD sin∠CBO＝2，
则点D（﹣1，2）；
（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，
∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，
∴∠OHE＝45°，
∴OH＝OE＝1，
则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，
联立①②并解得：x＝（舍去正值），
故点P（，）；
（4）不存在，理由：
连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，
直线BC的表达式为：y＝x+3，
设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），
则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，整理得：3x2+9x+7＝0，
解得：△＜0，故方程无解，
则不存在满足条件的点P．。