机械制图第三章直线与平面、平面与平面

c' f'
f
X fa
所X求a 的交线。f
X
X
f
a
a
f
f
4
4
c
c 1
3 n 3 cn
1
c
n
5(6)
5(6)
cn
c
d
md 2 m 2
d
md
m
e
b
b
e
e
b
b
e
e
b
b
(a) 题设
(b) 作图过程
图3-15 求两一般位置平面的交线
(c) 结果作图
3.3垂直问题
3.3.1直线与平面垂直
定理：直线与平面垂直，则直线垂直平面上的任意直线（过垂足或不过垂
b' a'
a'
f'
c'
X
c'
a
X
f
ca
c
b
b' e'
f'
f e
b
V
b'
e'
a'
V
fb' '
e'
e' 分析Aa'判断：因B 为直线f' EFE的投影与铅垂面
X △Ac'BC的c有' 积A 聚性F的投B 影F 相互平E行，则直线
E所F示与Xa。铅垂c C 面a △c CABbC平f 行，f 空e 间分e 析如图3-3b
b'
a'
a'
c'
c'
X
X
a
ab
b'
b' b'
b' b'
e'
a' e'
分 所a' 析作：直1'根线1据应' 直平e' 线行e' 与于a' 平△a' 面AB平C平行1'面1f的'' f内' 几的e何'e'水条平件，
线c' 。平行c在' 平△行 ABC平面内可c' 作c' 无数条水平线，
X X它们之间均相互X平X行。为作图方便，本
9a）。
e' be'' b'
a' a'
c' c'
XX aa
f' f' bb
ef ef
cc
e' be'' b'
e' be'' b'
分析：因为水d' 平d'投影ef积聚为一点，可
a' a知重' E影F。是因铅为垂K线点c，'也交c是' 点△aK' A的Ba'水C1内'(平2')的1投'(2一影') 点k与，ecf' c'
b
b
上点的求法，在△a′b′c′的
(a) 题设
(b) 空间分析
对应边线上(求c)出作交图线的V面投影。
图3-11铅垂面与一般位置平面相交
3.2相交问题
4）两特殊位置平面相交
指【两例个3-9平】面已对知同相一交个两投平影面面□都A具BC有D积和聚□性EF的G情H（况图，3这-1时2a两）平，面试的求交两线平同面时的也交对线此并 投判影断面可具见有性积。聚性。
b'
n' a'
m'
c'
X
a
b
m
n c
(a)题设
bb''
bb''
b'
aa''
nn'' B k'
N
分析baa' ''：2' n由' 于kk'△'1' AnBn''Cbk'' 平2' 面n' a为' 铅垂面kbk''' 12，'' n其n' '
A
mm'' XX
a'
cc''
X
m水投'1X'X平影投中mm影ac''b' 积c与aX聚' m为mn1'cc'的一'' 交直点线cX' k，必Xa因' m为m此' '直1'，线水与平cc' 平'
3.2相交问题
【例3-11】求△ABC与△DEF的交线（图3-15a）。
e'
d'
d'
a'
a'
X
X
a
a
d
d
e
be' '
b'
e'
be' ' Rv b' Rv
e'
b'e'
b'
2'
2'
c' f'
f'
cd' ' a'
分作1析出'am' d：它'' 3' 选们1'n取与4'm' ' △△3f'' ADcn'BE4' 'CSFv的f的' c交两' 点条Sav' d，边' 连A65Ba'接' m'、d''两A交C65n'，''m点' 分即f' 别为cn' '
X X利用f平' 面f ' 上取点的方X法，X 作出f ' 交f点' K的正
面投影k′。b b
bb
aa
dd ef ef kk cc
aa
2
ekf 2
ef k
11
cc
(a) 题设 图3-9铅垂线与一般位置平面相交
(b)作图过程
(c)结果
3.2相交问题
2)一般位置直线与特殊位置平面相交 【例3-7】求直线MN与△ABC平面的交点（图3-10a）。
其基本原理和作图步骤e如' 下（图3- c'
13）：
b
（1）过已知直线作一辅e 助平面。为 作图方便，一般所作辅助如过EF作辅a助平面P为一
铅垂面。
（2）作出该辅助平面与已知平面的
交线，如P平面与△ABC的交线MN。
（3）作出该交线与已知直线的交点，
即为已知直线与已知平面的交点，如
a f
f
d cc平平行行
n nf f
(a) 题设 图3-6判断两一般位置平面是否平行
(b)作图
3.1平行问题
【例3-5】试判断已知平面△ABC和平面△DEF是否平行（图3-7a）。
a' a'
c' X c' Xa ac
c
b' b'
f' f'
f f
b b
e' e'
d' d'
de de
(a)
V
b'
V a'
e'(f')e'(f')
a'(b')a'(b')
X b
X b
ff
a ea e
d'(c')d'(c')
VV
分析：从图3-12a看，□Ae'B(f')Ce'(fD') 和m'(nm') '(n')d'(c')d'(c')
h'(g')h'(g') cc
g g XX
B
F B
F□线E是F一G条HC 均正C 为垂正线垂，面正，面a'(两b投')a'个(b影') 正积垂聚面为的一交h'(g')h'(g') A点如E A，图NE 其3N-1M水2Mb平GD所投G示D影。垂直于XXb轴Xf b，f 空间n 分n 析c gc g
a
b
n C
面的交点K的水平投影，然后再根据K
M
aam
k cnn bb
a
k cc
m与点如b直的图aa线方3n-1M法c 0Nb求bb所的akk出示从nn其m。属ccVb 关面k n系投c ，影a 利，a 用空m 直间bb k线k分nn上析cc取
mm
mm
m
(b)空间分析
(c)作图过程
(d)作图结果
图3-10一般位置直线与铅垂面相交
X
d' X
a
X
db' ' f'
b'
cf'' b'f
c' f'
a
a ef
f
c
a
de
ce
c
db
d
b
a
E
N
A
E
C
F
N
M
N C
F D
C F
M
M fB
D a
edn
D
f m
en B
f
enbc
c
B c
dm
dm
b
b
分为直两X 析铅线个aX'X：垂；投a'ad从面△影' d1图，都Am''d(B2''1')水是3Cm'(b21n-为'''m')'(b平类12n'e'')'一1'bn投似b''f般可' f'影形位知cfc'f'积。' 置，c聚交'平△为线面D一的E，F 水影的平重共a 投合有ad影，部d一即分md12m定在。e1m2n与可de12bnee△利fbnf与f用DcE△c属F的ac于b水c直重平线叠投
nn kk
ff cc
(a)题设
(b)作图过程
图3-14求一般位置直线与一般位置平面的交点
(c)作图结果
3.2相交问题
2）一般位置平面与一般位置平面相交
两一般位置平面相交，由于其投影均无积聚性，因此，交线也不能直 接求出，同样需用辅助平面法求。求作时可将一平面中的某一边看成是 一直线，利用一般位置直线与一般位置平面求交点的方法，求出交点。 再取另一条边，同样方法求出交点，两交点同面投影连线即交线的投影。
MN与EF的交点K。
B
F
N
MK
C
EA
P
图3-13用辅助平面法求交点
3.2相交问题
1)一般位置直线与一般位置平面相交 【例3-10】求直线EF与△ABC 平面的交点（图3-14）。
b'b' f' f'
aa' ' ee' '
XX
ee aa
c'c' bb
ff
cc
b'b'
f' f' PPvv
b'b' f' f'
【例3-3】过点K作一平面平行于由平行两直线AB和CD确定的平面（图3-5a） 。
b' b'
d' d'
c'
c' a'
k' a'
k'
XX
dd
cc
kk
aa
bb
b' b'
m' m' n' n'
分析d：' 最d' 简便e'的e方' 法k就' 是k' 过点K作一对
相 相X 交 交X直 直线 线对 ，c' 应 由c平 于a' ' 行 已a' 于 知已 平知面平由面平内行一两对直
3.2相交问题
3）一般位置平面与投影面垂直面相交
【例3-8】求△ABC与△DEF的交线（图3-11a）。 当相交两平面中有一个平面的投影有积聚性时，即可利用有积聚性的投影来确
定交线的一个e'投影，交线的另一个投影，可以按平面上取点、取e' 线的方法作出。
a'
e'
E A
a'
e'
a'
a'
d'
e'
A
c'
第3章 直线与平面、平面与平面的相对位置
直线与平面、平面与平面的相对位置
3.1平行问题 3.1.1直线与平面平行 3.1.2 两平面平行
3.2相交问题 3.2.1利用积聚性求交点或交线 3.2.2利用辅助平面法求交点或交线
3.3垂直问题 3.3.1直线与平面垂直 3.3.2两平面垂直
3.4 点、线、面综合解题 3.4.1解题的一般步骤 3.4.2 解题示例
分析：直k'线k'n'nE'F为一般位置直线1，'1'
n'n' k'k'
△a'a'ABCmm' 为' 一般位置平面，投a影'a' 均m无m' '
e'e'
c'c'
e'e' 2'2'
c'c'
XX积聚性，bb需用辅助平面求X交X 点。辅bb
e助面eaa面垂一直mm般面为，kkn过通n 直常c线用fcf 某迹一线投表影示eae作。1a(12投()2) m影m
b
a 题a 作过bA点b的水平a线a AI，然b后b 过E点作
e e EF∥AI1，1即为e 所e 求。
1 1f f e e
c
c
(a)题设
cc
cc
(b)作平面内水平线
（c）完成作图
图3-2过点作水平线与平面平行
3.1平行问题
【例3-2】 已知△ABC和平面外一直线EF的两面投影（图3-3a），判断直线 EF是否与给定平面△ABC平行。
e e
d d
c c
b' b' 平行
平行 平行
ee' m' m' '
f' f'
XX分辅线如面aaa' 析助对果，' ：线应能则可，平证该过与行明两b一另，所平b平一作面c平'c平面平辅就行'平d行d行上面助互d' ' 一的线相e点一属平e ≠m作对于行9≠m09°0两相前。° n≠相交一n'9≠0'9°0交直平°f f' '
线确定，因c 此c应先在已知平面内作一
直线d与dAB、CD相a 交a 。k k