余弦定理(1)
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B
a
C
随堂练习: 随堂练习
1.已知∆ABC中, B = 150°, a = 1, c = 2, 求b. 2.已知∆ABC中, b = 8, c = 3, A = 60°, 求a. 3.已知∆ABC中, a = 3, b = 4, c = 6, 求 cos B与cos C .
余弦定理 2 2 2 a = b + c − 2bc cos A 2 2 2 b = c + a − 2ca cos B 2 2 2 c = a + b − 2ab cos C
A b C
情况一： 情况一：当∠C为直角时 为直角时
c a
情况三： 情况三：当∠C为钝角 为钝角
2
2
c = a +b
2 2
2
A c b D C B
c = a +b B
A c D a
情况二： 情况二： 当∠C为锐角时b 为锐角时
AD = bsinC C c2 = AD2 + BD2
AD = b sin(π − C ) = b sin C CD = b cos(π − C) = −b cos C B BD = a − b cosC c2 = AD2 + BD2 = (b sin C )2 + (a − b cos C )2 = a2 + b2 − 2ab cos C
1.已知∆ABC中, A =
π
, a = 3, b = 1, 求c .
π
3 4 c a b c = = 由正弦定理 = = ⇒ 3 sin A sinB sinC sin A sinB A 2 已知两边及 c b 两边的夹角
B
3
, a = 3, b = 4, 求c .
a
C
探究: 探究 ∆ABC中,已知两边a , b与夹角C , 求c边 .
复习回顾: 复习回顾 在一个三角形中， 在一个三角形中，各边和 它所对角的正弦的比相等， 它所对角的正弦的比相等，即 a b c = = sin A sin B sin C
正弦定理
正弦定理可解以下两种类型的三角形： 正弦定理可解以下两种类型的三角形： 两角及一边； （1）已知两角及一边； ）已知两角及一边 两边及其中一边的对角. （2）已知两边及其中一边的对角 已知两边ຫໍສະໝຸດ 其中一边的对角+ BC
2
= AB + 2 AB BC COS(180-B) + BC = c2 – 2a c cosB + a 2 即 b2 = c2 +a2 -2ac cosB 同理可证 a2 = b2+c2 – 2bc cosA c2 = a2+b2 – 2ab cosC
2
A
(bcosC,bsinC)
法三:坐标法 法三 坐标法
⇒
b +c −a cos A = 2bc a 2 + c 2 − b2 cos B = 2ac 2 2 2 a +b −c cos C = 2ab
2 2 2
余弦定理可解以下两种类型的三角形： 余弦定理可解以下两种类型的三角形： 两边及两边的夹角； （1）已知两边及两边的夹角； ）已知两边及两边的夹角 三边. （2）已知三边 已知三边
能否用其他的方法来 解决这一问题呢？ 解决这一问题呢？
C 思路二： 思路二：向量法 A B
在
ABC中，AB,BC,CA 的长分别为 a, b 中 的长分别为c, AC = AB + BC AC AC . ∴ = ( AB + BC ) . ( AB + BC ) = AB +2
2 2
AB . BC
y
b a
c?
B (a,0)
C
O
x
解:以C为原点,BC为x轴建立直角坐标系
c=
2
(b cos C − a) + (b sin C − 0)
2
2
∴ = b cos C−2abcosC+a +b sin C c
2 2 2 2 2
c = a + b − 2ab cos C
2 2
余弦定理 2 2 2 a = b + c − 2bc cos A 2 2 2 b = c + a − 2ca cos B 2 2 2 c = a + b − 2ab cos C
a
CD = bcosC,BD = a − bcosC
几何法
= (b sinC)2 + (a − b cos C)2 = a2 + b2 − 2ab cos C
综上，我们得到： 综上，我们得到：在△ABC中，已知a、b，和角C，则 ABC中 已知a 和角C
c = a + b − 2ab cos C
2 2 2
三角形任何一边的平 方等于其他两边的平方和 减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍。
课前练习: 课前练习
1.已知∆ABC中, A =
π
3
, a = 3, b = 1, 求c .
试用余弦定理解一解
2.已知∆ABC中, C =
π
3
, a = 3, b = 4, 求c .
3 4 c a b c = = 由正弦定理 = = ⇒ 3 sin A sinB sinC sin A sinB A 2 已知两边及 c b 两边的夹角
课前练习: 课前练习
3 1 略解： 略解： sin B = ∵ b < a ∴ B < A 已知两边及其 ⇒ 中一边的对角 2 π ∴ C = π − (π + π ) = π ∴B = 或由勾股定理得: 或由勾股定理得 3 6 2 6 c = a 2 + b2 c b 由正弦定理 = ⇒c = 2 sinC sinB = ( 3)2 + 12 = 2 2.已知∆ABC中, C =
a
C
随堂练习: 随堂练习
1.已知∆ABC中, B = 150°, a = 1, c = 2, 求b. 2.已知∆ABC中, b = 8, c = 3, A = 60°, 求a. 3.已知∆ABC中, a = 3, b = 4, c = 6, 求 cos B与cos C .
余弦定理 2 2 2 a = b + c − 2bc cos A 2 2 2 b = c + a − 2ca cos B 2 2 2 c = a + b − 2ab cos C
A b C
情况一： 情况一：当∠C为直角时 为直角时
c a
情况三： 情况三：当∠C为钝角 为钝角
2
2
c = a +b
2 2
2
A c b D C B
c = a +b B
A c D a
情况二： 情况二： 当∠C为锐角时b 为锐角时
AD = bsinC C c2 = AD2 + BD2
AD = b sin(π − C ) = b sin C CD = b cos(π − C) = −b cos C B BD = a − b cosC c2 = AD2 + BD2 = (b sin C )2 + (a − b cos C )2 = a2 + b2 − 2ab cos C
1.已知∆ABC中, A =
π
, a = 3, b = 1, 求c .
π
3 4 c a b c = = 由正弦定理 = = ⇒ 3 sin A sinB sinC sin A sinB A 2 已知两边及 c b 两边的夹角
B
3
, a = 3, b = 4, 求c .
a
C
探究: 探究 ∆ABC中,已知两边a , b与夹角C , 求c边 .
复习回顾: 复习回顾 在一个三角形中， 在一个三角形中，各边和 它所对角的正弦的比相等， 它所对角的正弦的比相等，即 a b c = = sin A sin B sin C
正弦定理
正弦定理可解以下两种类型的三角形： 正弦定理可解以下两种类型的三角形： 两角及一边； （1）已知两角及一边； ）已知两角及一边 两边及其中一边的对角. （2）已知两边及其中一边的对角 已知两边ຫໍສະໝຸດ 其中一边的对角+ BC
2
= AB + 2 AB BC COS(180-B) + BC = c2 – 2a c cosB + a 2 即 b2 = c2 +a2 -2ac cosB 同理可证 a2 = b2+c2 – 2bc cosA c2 = a2+b2 – 2ab cosC
2
A
(bcosC,bsinC)
法三:坐标法 法三 坐标法
⇒
b +c −a cos A = 2bc a 2 + c 2 − b2 cos B = 2ac 2 2 2 a +b −c cos C = 2ab
2 2 2
余弦定理可解以下两种类型的三角形： 余弦定理可解以下两种类型的三角形： 两边及两边的夹角； （1）已知两边及两边的夹角； ）已知两边及两边的夹角 三边. （2）已知三边 已知三边
能否用其他的方法来 解决这一问题呢？ 解决这一问题呢？
C 思路二： 思路二：向量法 A B
在
ABC中，AB,BC,CA 的长分别为 a, b 中 的长分别为c, AC = AB + BC AC AC . ∴ = ( AB + BC ) . ( AB + BC ) = AB +2
2 2
AB . BC
y
b a
c?
B (a,0)
C
O
x
解:以C为原点,BC为x轴建立直角坐标系
c=
2
(b cos C − a) + (b sin C − 0)
2
2
∴ = b cos C−2abcosC+a +b sin C c
2 2 2 2 2
c = a + b − 2ab cos C
2 2
余弦定理 2 2 2 a = b + c − 2bc cos A 2 2 2 b = c + a − 2ca cos B 2 2 2 c = a + b − 2ab cos C
a
CD = bcosC,BD = a − bcosC
几何法
= (b sinC)2 + (a − b cos C)2 = a2 + b2 − 2ab cos C
综上，我们得到： 综上，我们得到：在△ABC中，已知a、b，和角C，则 ABC中 已知a 和角C
c = a + b − 2ab cos C
2 2 2
三角形任何一边的平 方等于其他两边的平方和 减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍。
课前练习: 课前练习
1.已知∆ABC中, A =
π
3
, a = 3, b = 1, 求c .
试用余弦定理解一解
2.已知∆ABC中, C =
π
3
, a = 3, b = 4, 求c .
3 4 c a b c = = 由正弦定理 = = ⇒ 3 sin A sinB sinC sin A sinB A 2 已知两边及 c b 两边的夹角
课前练习: 课前练习
3 1 略解： 略解： sin B = ∵ b < a ∴ B < A 已知两边及其 ⇒ 中一边的对角 2 π ∴ C = π − (π + π ) = π ∴B = 或由勾股定理得: 或由勾股定理得 3 6 2 6 c = a 2 + b2 c b 由正弦定理 = ⇒c = 2 sinC sinB = ( 3)2 + 12 = 2 2.已知∆ABC中, C =