《概率论与随机过程》习题答案

《概率论与随机过程》第一章习题答案
1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。

解：⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⨯=n n n
n S 100,
,1
,0 ，其中n 为小班人数。

（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

解：{}18,,4,3 =S 。

（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品
都取出，记录抽取的次数。

解：{}10,,4,3 =S 。

（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。

解：{} ,11,10=S 。

（5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职
务），观察选举的结果。

解：{}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB 表示A 为
正组长，B 为副组长，余类推。

（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。

解：{}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。

（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种
颜色。

解：{}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。

（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连
续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

解：{}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正
品。

（9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装
一只球，观察装球的情况。

解：{}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中，Aa 表示球a 放在盒
子A 中，余者类推。

（10）测量一汽车通过给定点的速度。

解：{}0>=v v S
（11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。

解：(){}1,0,0,0,,=++>>>=z y x z y x z y x S 其中，z y x ,,分别表示第一段，第二段，第三段的长度。

#
2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。

（1） A 发生，B 与C 不发生。

解：C B A
（2） A 与B 都发生，而C 不发生。

解：C AB （3） A ，B ，C 都发生。

解：ABC
（4） A ，B ，C 中至少有一个发生。

解：C B A ⋃⋃ （5） A ，B ，C 都不发生。

解：C B A
（6） A ，B ，C 中至多于一个发生。

解：A C C B B A ⋃⋃ （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。

解：C B A ⋃⋃
（8） A ，B ，C 中至少有二个发生。

解：CA BC AB ⋃⋃.#
3. 设{
}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。

解：{}5=B A ；
（2）B A ⋃。

解：{}10,9,8,7,6,5,4,3,1=⋃B A ； （3）B A 。

解：{}5,4,3,2=B A ； （4）BC A 。

解：{}10,9,8,7,6,5,1=BC A
（5）)(C B A ⋃。

解：{
}10,9,8,7,6,5,2,1)(=⋃C B A .# 4.设{}20≤≤=x x S ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x
A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=234
1
x x B ，具体写出下列各式。

（1）B A ⋃。

解：⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤≤⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=⋃223410x x x x B A
（2）B A ⋃。

解：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≤≤⋃⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧≤≤⋃⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧<≤=⋃22
312
1410x x x x x x B A
（3）B A 。

解：{}φ=B A （4）B A 。

解：⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
≤<⋃⎭⎬⎫⎩
⎨⎧≤≤=231214
1
x x x x
B A .# 5. 设A ，B ，
C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，1)(=AC P ，求
A ，
B ，
C 至少有一个发生的概率。

解：由题意可知：0)(=ABC P ，故()()()()8
5
)()()()(=+---++=⋃⋃ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P 。

或φ=⋃⋃B C A )( ，∴()()()()8
5)()()())((=+-+=+⋃=⋃⋃=⋃⋃B P AC P C P A P B P C A P B C A P C B A P 。

# 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。

（1） 求恰有90个次品的概率。

（2） 至少有2个次品的概率。

解：（1）⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛2001500110110090400； （2）设)(k P 表示有k 个次品的概率，故至少有2个次品的概率为：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-=--=∑
=200150019911001400200150020011001)1()0(1)(200
2
P P k P k .# 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365
天计算）？
（2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？
解：（1）属“分房问题”，即有n 个人，每个人都以N 1的概率被分在N 间房中的每一间中，
某指定房间中至少有一人的概率。

设某指定房间中恰有k 个人的概率为)(k P ，则有
()k
n k n
k n N N N k n N N k n k P --⎪
⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111)(。

故，某指定房间中至少有一人的概率为：
n
n k N N P k P ⎪
⎭⎫
⎝⎛--=-=∑
=11)0(1)(1。

所以，500个人中至少有一个人的生日是10月1日的概率为：
（2） 属“分房问题”，即有n 个人，每个人都以N 1的概率被分在N 间房中的每一间中，
至少有二个人在同一间房中的概率。

设A 为“每一间房中至多有一个人” 基本事件个数：n N 。

“每一间房中至多有一个人”事件的个数为：
!
n)(N !
N -。

所以，“至少有二个人在同一间房中的概率”等于“至少有二个人的生日在同一个月的概率”。

0.42710.5729112
4-(12!12114
=-=-
=--
！
）n
N !
n)(N !N 。

# 8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都
找到为止。

求第4只次品管子在下列情况发现的概率。

（1） 在第5次测试发现。

（2） 在第10次测试发现。

解：（1）10526789101234634=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；或1052
!6!4!10!3!441034=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛； （2）52
9106634=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛。

# 9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。

以A ，B 分别表示甲，乙二城市
出现雨天这一事件。

根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)/(A B P 及)(B A P ⋃。

解：7.04.028.0===
P(B)P(AB)P(A/B)；704
028
0...P(A)P(AB)P(B/A)== 5202804040....P(AB)P(B)P(A)B P(A =-+=-+=⋃。

#
10.已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求
下列事件的概率。

（1） 二只都是正品。

（2） 二只都是次品。

（3） 一只是正品，一只是次品。

（4） 第二次取出的是次品。

解：(1)4528
106!2!2!8!821028=⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛！！； (2) 451
10!2!821022=⨯=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛！；
(3) 451610!2!8282101218=⨯⨯⨯=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛！；或45169810292108=⨯+⨯； (4)
45
9
9110292108=
⨯+⨯。

# 11.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的
电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
解：(1)3.010!
7!37!2!!931029=⨯⨯⨯=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛！;
(2)6.05!
2!32!2!!43524=⨯⨯⨯=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛！。

# 12.某工厂中，机器321,,B B B 分别生产产品总数的25%，35%和40%。

它们生产的产品中分别有
5%，4%，2%的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。

问这一次品是机器321,,B B B 生产的概率分别是多少？ 解：设A 为“次品”，
已知：25.0)(1=B P ，35.0)(2=B P ，40.0)(3=B P ；
05.0)/(1=B A P ，04.0)/(2=B A P ，02.0)/(3=B A P ，
0345.040.002.035.004.025.005.0)()/()(3
1
=⨯+⨯+⨯==
∑=j j
j
B P B A P A P 。

故由，
)
()
()/()/(A P B P B A P A B P i i i =
可得：
36232.069
25
0345.025.005.0)()()/()/(111≈=⨯==
A P
B P B A P A B P ；
40580.06928
0345.035.004.0)()()/()/(222≈=⨯==A P B P B A P A B P ；
23188.069
16
0345.040.002.0)()()/()/(333≈=⨯==
A P
B P B A P A B P 。

#
13.将二信息分别编码为A 和B 传送出去，接收站接收时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被
误收作A 的概率为0.01。

信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1。

若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？
解：设：B A '',分别表示收到信息是A 和B 。

由已知条件可知:
020./A)B P(='，010./B)A P(='，980./A)A P(='，990./B)B P(='32/P(A)=，31/P(B)=。

9499.07
9196
1)()/()()/(==''=
'∴A P A A P A P A A P 。

# 14.如图所示1，2，3，4，5，6表示继电器接点。

假设每一继电器接点闭合的概率为p ，且设
各继电器接点闭合与否相互独立。

求L 至R 连通的概率是多少？ 解:]6543231[)()()(P ⋂⋃⋃⋂⋃⋂
6542343p p p p p -+-+=。

#
15. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7。

飞机击中一次而被击落的概率为0.2，击中二次而被击落的概率为0.6，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率。

解:设i A ：为第i 次射击命中飞机；i B ：飞机击中i 次而被击落。

C ：射击三次而击落飞机
458.014.0246.0072.014.0)21.014.006.0(6.0)21.009.006.0(2.0=++=++++++=。

#
16. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三只。

以X 表示取出的三只
球中的最大号码，写出随机变量X 的概率质函数。

解： ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=3521x x p
17. (1)设随机变量X 的概率质函数为!
}{k a
k X P k
λ==，0,,2,1,0>=λ k 为常数，试确定常数a 。

（2）设随机变量X 的概率质函数为N
a
k X P ==}{，1N ,,2,1,0k -= ，试确定常数a 。

解：（1）1!!
}{0
=====∑∑∑∞
=∞
=∞
=λλλae k a
k a
k X P k k
k k
k ，λ-
=∴e a
(2)1N
a
*N N a }k X {P 1
N 0
k 0
k ====∑
∑-=∞= ，1=∴a 。

# 18. 设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号。

（1）进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率。

（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。

设：n X X X Y +++= 21，则k
k k K Y P -⨯⨯⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==57.03.0}{。

（1）5=n 时，16308.07.03.05)3(55
3=⨯⨯⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=≥-=∑k
k k k Y P （2）7=n 时，353.07
.03.07)3(7
37=⨯⨯⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=≥∑=-k k
k k Y P 。

# 19. 一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次呼唤
的概率。

（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。

解: 参数为4的泊松分布为：!4}{4
k e k X P k -⨯==， ,2,1,0=k 。

故，
(1)02977.0!8*4}8{4
8===-e X P ；(2)∑
===-
=≥10
00284350.0}{1}10{k k X P X P 。

# 20. 设随机变量X 的分布函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧<≥-=-.0,0,
0,1)(x x e x F x 求}3{},
2{>≤X P X P ，（2）求概率密度)(x f 。

解：（1）8647.01)2(}2{2=-==≤-e F X P
（2）04979.0)3(1}3{=-=>F X P (3)
⎪⎩⎪⎨
⎧≤≥='=-0
0,
0,
)()(x x e x F x f x 。

#
21. 一工厂生产的电子管的寿命X （以小时计）服从参数为160=μ，σ的正态分布，若要求
80.0}200120{≥≤<X P ,允许σ最大为多少？
解：]2)160(exp[21)(2
22
σ
πσ
--=
x x f
即，
9.0]2exp[21
2/40≥-⎰
∞
-dy y σ
π,查表可得：28.140≥σ
25.31max =∴σ。

#
22
．设随机变量求X Y =解：由2X Y =可知：}9,4,1,0{=Y S 。

故有
23.设X 的概率密度为
⎪⎩⎪
⎨⎧<<=其它,
00,2)(2
ππx x
x f ，求sinX Y =的概率密度。

解：1sin 0,0<=<<<x y x π ，故⎩
⎨⎧-=Y Y
X arcsin arcsin π。

又}arcsin {}arcsin 0{}sin {)(ππ<<-+≤<=≤==X y P y X P y X Y P y F Y
y dx x
dx x
y
y
arcsin 2
22arcsin 2
arcsin 0
2
π
π
π
π
π=+=
⎰
⎰
-，10<<y
⎪⎩
⎪
⎨⎧<<-='=∴
其它,010,112
)()(2y y y F y f Y Y π。

#
24.设概率变量（X ，Y ）的概率密度为
求}1{≥+Y X P 。

解：⎰⎰
⎰⎰-==≥+1
2
11dx ]dy )y ,x (f [dydx )y ,x (f }Y X {P x
Ω
72
65
4
1942452134651
2
341
023=
++=++=⎰
x x x dx )x x x (。

# 25.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
试求随机变量Z=X+Y 的概率密度。

解： ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<-≤≤≤≤Ω>-≤≤≤≤Ω≤≤=⎰⎰
⎰⎰
ΩΩ,0,0)0,10(,1,),()
0,0(,10,),()(21
21
z x z y x z dxdy y x f x z y z x z dxdy y x f z F z
⎪⎩
⎪
⎨⎧<>-≤≤-='=∴
--.0,0,
1,)1(,10,1)()(z z e e z e z F z f z z z z 。

#
26.设概率变量（X ，Y ）的概率密度为
),2exp(21),(2
222
σ
πσ
y x y x f +-
=
+∞
<<∞-+∞<<-∞y x ,。

求22Y X Z +=的概率密度。

解：⎰⎰
⎰⎰≤+≤++-
==
z
y x z
y x Z dxdy y x dxdy y x f z F 2222)2exp(21
),()(2
222
σπσ
z y x ≤+22是以原点为中心，z
为半径的圆域。

且0>z ，故0<z 时，0)(=z F Z 。

令θθsin ,cos r y r x ==，则
)2exp(1)2exp()2()2exp()2exp(21)(20
20
22
22200
22
2
σσσθσπσπ
z
r r d r d rdr r z F z
z
z
Z --=--=-=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡-=
⎰
⎰⎰
⎪⎩
⎪⎨⎧<≥-
==
∴0,00),2exp(21
)()(2
2'
z z z z F z f Z
Z σσ。

# 27.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从)20,160(2N 分布，随机地选取4只，求其
中没有一只寿命小于180小时的概率。

解：设k X 为取出的第k 只管子的寿命，故，
令),,,min(N 43214X X X X =。

因为}{k X 相互独立，且同分布，所以，
[]{}[
]
444min 44)1597.0()180(1)180(111)180(1}180{1}180{=-=---=-=≤-=>k k X X F F F N P N P 。

##
28. 求)(),(),(53X E X E X E +解：2.03.023.004.02)(-=⨯+⨯+⨯-=X E ，
8.23.023.004.0)2()(2222=⨯+⨯+⨯-=X E ，
4.1358.235)(3)53(22=+⨯=+=+X E X E 。

#
29. 设X 服从二项分布，其概率质函数为
{}.10.,,2,1,0,)1(<<=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-p n k p p k n k X P k
n k 求)(X E 和)(X D 。

解：∑∑=-=-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛===n
k k
n k n
k p p k n k k X kP X E 0
)
1(}{)( [])1()1()()()(22222p np p n np p n n X E X E X D -=-+-=-=。

#
30. 设X 服从泊松分布，其概率质函数为
{}.0,
,2,1,0,!
>==
=-λλλ
k k e k X P k 求)(X E 和)(X D 。

解：λλλλλλλλ
λ
=⨯=-==-
∞
=--∞
=-∑∑e e k e
k e k
X E k k k k 1
1
!)1(!
)(，
[]λλλλ=-+=-=2222)()()(X E X E X D 。

#
31. 设X 服从均匀分布，其概率密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧<<-=，
其它0,,1)(，b x a a b x f 求)(X E 和)(X D 。

解：2
1)(b
a dx a
b x X E b a +=
-=⎰
， []()1221)()()(22
2
2
2
a b b a dx a b x X E X E X D b
a
-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=
-=⎰。

#
32. 设X 服从正态分布，其概率密度函数为
()+∞<<∞->⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡-=
x x f ,02-x exp 21
)(2
2σσμσπ，。

求)(X E 和)(X D 。

解：()⎰
∞
+∞-⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-=dx x X E 222-x exp 21
)(σμσπ，令t x =-σμ
，则 其中，)2/exp()(2t t t f -=为奇函数，故0)2/exp(2⎰+∞
∞
-=-dt t t ；
而()()()π22
1
2exp
2
2
/2/exp 22/exp 0
1
21
2
2
2
==
-=-=-⎰
⎰⎰∞
+-∞
+∞
+∞
-)Γ(
dy y y t y dt t dt t
()παα=Γ-=
Γ⎰
+∞
-)21
(,exp )(01dx x x 。

()⎰
∞+∞-⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡--=
dx x X D 222
2-x exp )(21)(σμμσπ（令t x =-σμ） (
)
(
)
22
2
2
/22
2
2
222/exp 22/exp 22σππσπσπ
σ==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
-+-=
-=
⎰
⎰
+∞
∞-+∞∞
--+∞
∞
-dt t te
dt t t t 。

#
33. 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4。

将球独立地，随机地放入4只盒子中去。

以X 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第二号盒子是空的，第三只盒子至少有一只球），试求E [X]，D[X]。

解：因为3球独立放入4盒的总放法有43=64种。

按题意，
X=4时的放法有13
3
=C 种，故64/1)4(==X P ；
X=3时，放入3#盒后，余下的球必放入4#盒。

其的放法有
7133332313=++=++C C C ，故64/7)3(==X P ；
X=2时，放入2#盒后，余下的球必放入3#和4#盒。

其的放法有
191]11[3]121[3=+++++=种，故64/19)4(==X P ；
X=1时，放入1#盒后，余下的球必放入2#，3#和4#盒。

其的放法有
371]1)11[(3]1)11(2)121[(3=+++++++++=种，故64/37)4(==X P ；
1625
64146473641926437)(][4
1
=⨯+⨯+⨯+===
∴∑=i i X iP X E 。

16
48
641166479641946437)(][4
1
22
=⨯+⨯+⨯+=
==
∑
=i i X P i X E ， 5586.016143
16251648][][][2
222
2
≈=-=-=∴X E X E X D 。

#
34. 对于任意两个随机变量X ，Y ，证明下式成立：
（1）),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+； （2）)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=。

证： []{
}[][][][]{})()(2)()()()()(222Y E Y X E X Y E Y X E X E Y E Y X E X E Y X D --+-+-=-+-=+ ∴),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+； ∴)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=。

# 35. 设随机变量X 的概率密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-000x ,
x ,e f(x)x 。

求（1）Y=2X ，（2）x e Y 2-=的数学期
望。

解：[]22220
0=-===+∞-+∞
-⎰x
x e dx xe X Y E ；
[
]3/13
1
30
22=-===+∞
-∞
+---⎰
x
x
x X
e dx e e
e
Y E 。

#
36. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度函数为
⎩
⎨⎧<<<<=其它，,x,
y ,x K,y)f(x,0010试确定出常数K ，并求)XY (E 。

解：
1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，故1210100===⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎰
⎰⎰K Kxdx dx Kdy x ，∴2=K 4
1
2),()(1
31
00=
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=
=
⎰
⎰⎰
⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
-dx x dx ydy x dxdy y x xyf XY E x 。

# 37. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。

利用契契比雪
夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率。

解：已知：7300=μ，700=σ。

()μ==+73002/94005200故令210073009400=-=ε
∴{}8889.09/82100≈≥<-μX P 。

#
38. 设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=-000x ,x ,e )x (f x λλ，其中0>λ为常数。

求)(X E 和)(X D 。

解：λ
λ
λ
λλ1
)2(1
1
)(0
=Γ=
=
=⎰
⎰+∞
-+∞
-dy ye dx xe X E y x ，（ !)()1(n n n n =Γ=+Γ）
[]2
2
2
2
22
20
22
2
1
1
)3(1
1
1
1
)()()(λλλλλλλλ=
-
Γ=
-
=-
=
-=⎰
⎰
+∞
-+∞
-dy e y dx e
x X E X E X D y x。

#
39. 设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩
⎪⎨⎧≤>-=0,00),2exp()(22
2x x x x x f σσ，其中0>σ为常数。

求)(X E 和)(X D 。

解：σ
ππ
σσσσ
σ2/2
2)1(22)2exp()(2
10
2
22
2
2
1
==+Γ==-
=⎰
⎰
+∞
-+∞
dt e t dx x x X E t ，
（ πn n n 2
!!)12()(2
1-=+Γ）
[]2
2
2
2
2
2
22
32
2
2
42
2)exp(22
)2exp()()()(σππσσσ
πσσσ-=
-
=-=--
=
-=⎰
⎰
+∞
+∞
dt t t dx x x X E X E X D 。

# 40. 设随机变量X 的概率质函数为{}1-==k pq k X P ， ,,k 21=。

其中p q ,p -=<<110为常数，则
称X 服从参数为p 的几何分布。

试求)(X E 和)(X D 。

解：()p q p q p q p kpq X E k k k k 11111)(2111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==∑
∑
∞=∞
=-， =()2232211211p q p q q pq p q q pq p q q pq k k =-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-"⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-"⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∑
∞=。

#
41. 设随机变量(X ，Y)的概率密度函数为.20,20,)(8
1
),(≤≤≤≤+=y x y x y x f 。

求)(X E 、)Y (E 、
)Y ,X (Cov 。

解：6
7)(4
1
)2(8
1
])([
8
1
),()(2
22
2
22
2
2
2
=
+=
+=
+==⎰
⎰
⎰⎰
⎰
⎰
∞+∞
-∞
+∞-dy x x dx xy y x dx dy xy x dy dx y x xf X E ， 6
7)(4
1
)2(8
1
])([
8
1
),()(2
22
2
22
2
2
2
=
+=
+=
+==
⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰
∞+∞
-∞
+∞-dy y y dy y x x y dy dx xy y dy dx y x yf Y E ， 36
1676734)()()(),(-=⨯-=-=Y E X E XY E Y X Cov ， 3
4
)43()2
3(8
1
])([8
1
),()(2
22
2
22320
2
2
2
=+=+=
+==
⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰
∞+∞
-∞
+∞-dy y y dy y x y x dy dx xy y x dy dx y x xyf XY E 。

# 42. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为接近于它的整数），设所有的取整误差是相
互独立的，且它们都在（-0.5，0.5）上服从均匀分布。

（1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2） 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？
解：设X 为取整误差，则0)(=X E ,1212/σD(X)==。

（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≈>=⎭⎬⎫⎩
⎨⎧>∑∑==34.1125/1512/15001
151500115001k k k k X P X P 或：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≈>=⎭⎬⎫⎩
⎨⎧>∑∑==34.1125/1512/15001151500115001k k k k X P X P （2） 90.0]211[21/121012/110/12102/112=--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<⎰
∑∑∞--==n t n k k n k k dt e n X n P X P π 95.0]21
/12102/2=⎰∞--n t dt e π，645.1/1210≈n ，
∴443=n 。

#
43. （1）一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。

在整个运行期间每个部件
损坏的概率0.10。

为了使整个系统起作用，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。

（2）一个复杂的系统，由n 个相互独立起作用的部件所组成。

每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。

且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n 至少为多少才能使系统的可靠性为0.95。

解：设每个部件损坏的概率10.0}0{==k X P ，则每个部件未损坏的概率90.0}1{==k X P 。

令∑==100
1100k k X η，由此可知100η具有参数为100=n ，90.0=p 的二项分布，故整个系统工作的
概率为： (1)}310)
1(35{}390100)1(39085{}10085{100100100100100≤--<-=-≤--<-=≤<ηηηηηp np np P p np np P P (2) }3)
1(3{}09.09.0)1(09.09.08.0{}8.0{100100n p np np n P n n
n p np np
n n
n P n n P n n n ≤--<-=-≤--<-=≤<ηηηηη 975.021
3/2/2=⎰∞--n t dt e π⇒96.13
=n ,∴35=n 。

# 44. 某个单位设置一电话总机，共有200架电话分机。

设每个电话分机有5%的时间要使用外线
通话，假定每个分机是否使用外线通话是相互独立的。

问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。

解：设要m 条外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。

已知：05.0}1{==k X P ，95.0}0{==k X P
令∑==2001k k n X η,则n η具有参数为200=n ，05.0=p 的二项分布。

32.15.910
=-m ⇒14=m 。

#。