共线的条件及轴上向量坐标运算

(1) 平行向量根本定理: 如果a=λb,那么a//b; 反之,如果a//b,且b≠0, 那
么存在唯一一个实数λ ,使得a=λb.
这样我们给出的这个平行向量的根本定理, 根据它就可以判断两个向量是否共线了,实际 上, 给出的这种判断方法是一种代数的判断方 法, 后面在学习了坐标后我们在判断是否共线 时也是根据这种方法来判断的.
2 A
M
N
B
C
例2. a=3e，b=－2e，试问向量a，b是否平行？
并求|a|:|b|.
1 解：由b=－2e，得e=－2 b，代入a=3e，得
a=－
3 2
b，
因此，a与b平行且|a|:|b|= 3 .
2
2. 轴上向量的坐标及其运算
规定了方向和长度单位的直线叫做轴.
轴l，取单位向量e, 使e的方向与l同方向, 根据向量平行的条件,对轴上任意向量a,一定 存在唯一实数x,使a=xe.
如a=2b，那么a//b；c=－2b，那么c//b.
(2) 单位向量:
给定一个非零向量a,与a同方向且长度等于1 的向量,叫做向量a的单位向量.
如果a的单位向量记作a0, 由数乘向量的定义
可知: a=|a|·a0或 a 0
|
a a
|
例1. 如图MN是△ABC的中位线，求证： MN= 1 BC，且MN//BC.
在数轴x上, 点A的坐标为x1,点B的坐标为
x2.
由公式(1)得 AB=AO+OB =－OA+OB =x2－x1 .
公式(3)： |AB|=|x2－x1|
例1. 已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是4,
－2, －6,
C
BO
A
-6
-2 0
4
求 AB, BC,CA 的坐标和长度.
解：AB=－6，|AB|=6; BC=－4，|BC|=4； CA=10，|CA|=10.
轴上两个向量相等的条件 ： 轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等; 轴上两个向量和的坐标等于两个向量坐标的和. 向量 A B 的坐标常用AB表示.
公式(1) AB+BC=AC
设e是l上的一个单位向量，在l上任取三点
A，B，C，那么
e
l
A
OB
C
A B B C A C
ABe+BCe=ACe, 因为e≠0, 所以
例2. 向量a , b是两非零向量，在以下四个条
件中，能使a ,b共线的条件是〔 〕A ① 2a－3b=4e 且a+2b=－3e
② 存在相异实数λ，μ，使λa －μb=0
③ xa+yb=0 (其中实数x, y满足x+y=0)
④ 梯形ABCD，其中
C．②
D．③④
AB+BC=AC.
公式(2)： AB=x2－x1 (轴上向量坐标公式)
即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标 减去始点的坐标 。
设e是轴x的基向量, 向量a平行于x轴,以原 点O为始点作OP =a, 则点P的位置被向量a所 唯一确定。
则 OP =xe(平行向量基本定理)
数值x是点P的位置向量在x轴上的坐标; 反 之亦然.
反过来, 任意给定一个实数x, 我们总能作 一个向量a=xe, 使它的长度等于这个实数的 绝对值, 方向与实数的符号一致.
这里的单位向量e叫做轴l的基向量, x叫做a在 l上的坐标(或数量). x的绝对值等于a的长, 当a与 e同方向时, x是正数, 当a与e反向时, x是负数.
小结: 实数x与轴上的向量a建立起一一对应 关系.于是可用数值表示向量.
2.1.5向量共线的条件与 轴上向量坐标运算
1.向量共线的条件
在学习向量概念的时候,我们已经定义了什 么是向量共线(即平行).而我们要知道向量的共 线和平行是同一个含义,它与直线的平行、重 合不同,两个向量的基线是同一条直线或两条 平行直线时,向量都称为共线(或平行)向量,
它的表示方法是a//b， 而且由于零向量0的方向不定，所以可以把 零向量认为成和任一向量平行的向量。