学一轮复习第八章第47课基本不等式及其应用(一)要点导学(pdf)
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等号成立.
利用基本不等式求函数的最值 (2014·重庆卷)若log4(3a+4b)=log2 ab ,求a+b的最小值. [思维引导]基本不等式的应用一定要注意一正、二定、三相等,特别是等号成 立的条件. [解答]由题意知ab>0,且3a+4b>0,所以a>0,b>0. 又log4(3a+4b)=log2 ab ,
2 1. 若x>0,则x+ x 的最小值为
.
[答案]2 2
则Wx=
(44 x)(48-x),1 x 6, 2009,x 7, (56-x)(32 x),8 x 20.
(6分)
2
wk.baidu.com
(44 x) (48-x ) 2 =2116(当且仅当x=2时取等 当1≤x≤6时,Wx=(44+x)(48-x)≤
bc ab bc ab · a + c ≥2 a c =2b(当且仅当a=c时取等号); ca ab ca ab · b + c ≥2 b c =2a(当且仅当b=c时取等号).
bc ca ab c ≥2(a+b+c)(当且仅当a=b=c时取等号), 以上三式相加得2 a b
[证明]因为a>0,b>0,a+b=1,
1 ab b 所以1+ a =1+ a =2+ a .
1 a 同理,1+ b =2+ b .
b a 1 1 b a 1 1 1 2 2 a b a b a b · =5+2 = ≥5+4=9,当且仅当a=b= 2 时 所以
要点导学 各个击破
利用基本不等式证明
bc ca ab 已知a>0,b>0,c>0,求证: a + b + c ≥a+b+c.
[思维引导]先局部运用基本不等式,再利用不等式的性质相加得到. [证明]因为a>0,b>0,c>0,
bc ca bc ca · 所以 a + b ≥2 a b =2c(当且仅当a=b时取等号);
4 3 所以3a+4b=ab,所以 a + b =1.
4b 3a 4 3 4b 3a · 所以a+b=(a+b) a b =7+ a + b ≥7+2 a b =7+4 3 ,
4b 3a 当且仅当 a = b ,即a=4+2 3 ,b=3+2 3 时,等号成立.
故a+b的最小值为7+4 3 . [精要点评]一正、二定、三相等不满足时,相应的处理方法分别是一正不满足 则变为正,二定不满足则凑定值,三相等不满足则转化为函数的单调性.
利用基本不等式解决恒成立问题
2 y 8x 2 (2014·河南中原名校联考)已知x>0,y>0,若 x + y >m +2m恒成立,则实数m
的取值范围是 [答案](-4,2)
.
2 y 8x 2 y 8x [解析]因为 x + y ≥2 16 =8,要使 x + y >m2+2m恒成立,则m2+2m<8,解得
(2014·北京东城区期末)求函数y= x + 1-x 的最大值. [解答]因为函数y= x + 1-x 的定义域为[0,1], 所 以 y2=x+(1-x)+2
1 x= 2 时等号成立.
x(1-x) =1+2 x(1-x) ≤ 1+[x+(1-x)]=2, 当 且 仅 当 x=1-x, 即
因为y>0,所以ymax= 2 .
方法二:令t=x+2y,t≥2 2 ,因此t2-kt-4≥0对t∈[2 2 ,+∞)恒成立, 记f(t)=t2-kt-4,则f(2 2 )=4-2 2 k≥0k≤ 2 .
某地区的农产品A第x天(1≤x≤20)的销售价格p=50-|x-6|(单位:元∕百斤),一 农户在第x天(1≤x≤20)农产品A的销售量q=40+|x-8|(单位:百斤). (1) 求该农户在第7天销售农产品A的收入; (2) 这20天中该农户在哪一天的销售收入最大? [规范答题](1) 由已知得第7天的销售价格p=49,销售量q=41. 所以第7天的销售收入W7=49×41=2009 (元) .(3分) (2) 设第x天的销售收入为Wx,
-4<m<2. [精要点评]分离参数是处理此类问题的首选的方法,一般转化为基本不等式求 最值或某个函数的最值问题.要注意恒成立问题可以转化为a≤f(x)min 或是a≥ f(x)max.
已知正实数x,y满足lnx+lny=0,且k(x+2y)≤x2+4y2 恒成立,那么实数k的取 值范围是 .
[答案](-∞, 2 ] [ 解 析 ] 方 法 一 : 由 题 意 知 xy=1,x>0,y>0,k ≤
4 x 2 4 y 2 (x 2 y )2 -4 4 m- x 2 y = x 2 y =(x+2y)- x 2 y ,令m=x+2y,则k≤ m min .
4 2 xy 因为m=x+2y≥2 =2 2 ,且y=m- m 在[2 2 ,+∞)上单调递增,
4 4 m- 所以当m=2 2 时, m min =2 2 - 2 2 = 2 ,即k≤ 2 .
号). 所以当x=2时取最大值W2=2116.(9分)
(56-x) (32 x) 2 =1936(当且仅当x=12时取 当8≤x≤20时,Wx=(56-x)(32+x)≤
2
等号). 所以当x=12时取最大值W12=1936. (12分) 由于W2>W7>W12, 所以第2天该农户的销售收入最大. (13分) 答:第7天的销售收入为2009元;第2天该农户的销售收入最大. (14分)
bc ca ab 即 a + b + c ≥a+b+c.
[精要点评]利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明 思路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐 步的逻辑推理最后转化为需证问题.
1 1 1 1 已知a>0,b>0,a+b=1,求证: a b ≥9.
利用基本不等式求函数的最值 (2014·重庆卷)若log4(3a+4b)=log2 ab ,求a+b的最小值. [思维引导]基本不等式的应用一定要注意一正、二定、三相等,特别是等号成 立的条件. [解答]由题意知ab>0,且3a+4b>0,所以a>0,b>0. 又log4(3a+4b)=log2 ab ,
2 1. 若x>0,则x+ x 的最小值为
.
[答案]2 2
则Wx=
(44 x)(48-x),1 x 6, 2009,x 7, (56-x)(32 x),8 x 20.
(6分)
2
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(44 x) (48-x ) 2 =2116(当且仅当x=2时取等 当1≤x≤6时,Wx=(44+x)(48-x)≤
bc ab bc ab · a + c ≥2 a c =2b(当且仅当a=c时取等号); ca ab ca ab · b + c ≥2 b c =2a(当且仅当b=c时取等号).
bc ca ab c ≥2(a+b+c)(当且仅当a=b=c时取等号), 以上三式相加得2 a b
[证明]因为a>0,b>0,a+b=1,
1 ab b 所以1+ a =1+ a =2+ a .
1 a 同理,1+ b =2+ b .
b a 1 1 b a 1 1 1 2 2 a b a b a b · =5+2 = ≥5+4=9,当且仅当a=b= 2 时 所以
要点导学 各个击破
利用基本不等式证明
bc ca ab 已知a>0,b>0,c>0,求证: a + b + c ≥a+b+c.
[思维引导]先局部运用基本不等式,再利用不等式的性质相加得到. [证明]因为a>0,b>0,c>0,
bc ca bc ca · 所以 a + b ≥2 a b =2c(当且仅当a=b时取等号);
4 3 所以3a+4b=ab,所以 a + b =1.
4b 3a 4 3 4b 3a · 所以a+b=(a+b) a b =7+ a + b ≥7+2 a b =7+4 3 ,
4b 3a 当且仅当 a = b ,即a=4+2 3 ,b=3+2 3 时,等号成立.
故a+b的最小值为7+4 3 . [精要点评]一正、二定、三相等不满足时,相应的处理方法分别是一正不满足 则变为正,二定不满足则凑定值,三相等不满足则转化为函数的单调性.
利用基本不等式解决恒成立问题
2 y 8x 2 (2014·河南中原名校联考)已知x>0,y>0,若 x + y >m +2m恒成立,则实数m
的取值范围是 [答案](-4,2)
.
2 y 8x 2 y 8x [解析]因为 x + y ≥2 16 =8,要使 x + y >m2+2m恒成立,则m2+2m<8,解得
(2014·北京东城区期末)求函数y= x + 1-x 的最大值. [解答]因为函数y= x + 1-x 的定义域为[0,1], 所 以 y2=x+(1-x)+2
1 x= 2 时等号成立.
x(1-x) =1+2 x(1-x) ≤ 1+[x+(1-x)]=2, 当 且 仅 当 x=1-x, 即
因为y>0,所以ymax= 2 .
方法二:令t=x+2y,t≥2 2 ,因此t2-kt-4≥0对t∈[2 2 ,+∞)恒成立, 记f(t)=t2-kt-4,则f(2 2 )=4-2 2 k≥0k≤ 2 .
某地区的农产品A第x天(1≤x≤20)的销售价格p=50-|x-6|(单位:元∕百斤),一 农户在第x天(1≤x≤20)农产品A的销售量q=40+|x-8|(单位:百斤). (1) 求该农户在第7天销售农产品A的收入; (2) 这20天中该农户在哪一天的销售收入最大? [规范答题](1) 由已知得第7天的销售价格p=49,销售量q=41. 所以第7天的销售收入W7=49×41=2009 (元) .(3分) (2) 设第x天的销售收入为Wx,
-4<m<2. [精要点评]分离参数是处理此类问题的首选的方法,一般转化为基本不等式求 最值或某个函数的最值问题.要注意恒成立问题可以转化为a≤f(x)min 或是a≥ f(x)max.
已知正实数x,y满足lnx+lny=0,且k(x+2y)≤x2+4y2 恒成立,那么实数k的取 值范围是 .
[答案](-∞, 2 ] [ 解 析 ] 方 法 一 : 由 题 意 知 xy=1,x>0,y>0,k ≤
4 x 2 4 y 2 (x 2 y )2 -4 4 m- x 2 y = x 2 y =(x+2y)- x 2 y ,令m=x+2y,则k≤ m min .
4 2 xy 因为m=x+2y≥2 =2 2 ,且y=m- m 在[2 2 ,+∞)上单调递增,
4 4 m- 所以当m=2 2 时, m min =2 2 - 2 2 = 2 ,即k≤ 2 .
号). 所以当x=2时取最大值W2=2116.(9分)
(56-x) (32 x) 2 =1936(当且仅当x=12时取 当8≤x≤20时,Wx=(56-x)(32+x)≤
2
等号). 所以当x=12时取最大值W12=1936. (12分) 由于W2>W7>W12, 所以第2天该农户的销售收入最大. (13分) 答:第7天的销售收入为2009元;第2天该农户的销售收入最大. (14分)
bc ca ab 即 a + b + c ≥a+b+c.
[精要点评]利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明 思路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐 步的逻辑推理最后转化为需证问题.
1 1 1 1 已知a>0,b>0,a+b=1,求证: a b ≥9.