机电控制工程基础教学辅导(第二次)概要

机电控制工程基础教学辅导(第二次)
第2章 辅导
机械系统
机械旋转系统如图所示。

为一圆柱体被轴承支撑并在黏性介质中转动。

当力矩作用于系统时，产生角位移。

求该系统的微分方程式。

解 根据牛顿第二定律，系统的诸力矩之和为
2
2s )
()()(T -T (t)dt
t d J t T t d θ=- 式中：J ——转动系统的惯性矩；
扭矩)()(T s t K t θ=， K ——扭簧的弹性系数； 黏性摩擦阻尼力矩dt
t d B t T d )
()(θ=，B ——黏性摩擦系数。

因此该系统的运动方程式为
)()()()(2
2t T t K dt t d B dt
t d J =++θθθ （2－2） 电气系统
电气系统的基本元件是电阻、电容、电感以及电动机等，支配电气系统的基本定律是基
尔霍夫电路定律。

图为一具有电阻－电感－电容的无源网络，求以电压u 为输入，u c 为输出的系统微分方程式。

解 根据基尔霍夫电路定律，有 C u R i dt
di
L t u +⋅+⋅
=)( 而 dt
du C
i c
=，则上式可写成如下形式
2
2
u dt du RC dt u d LC
C c
c =++ （2－3）
上式表示了RLC 电路的输入量和输出量之间的关系。

编写控制系统微分方程的一般步骤为： (l) 首先确定系统的输入量和输出量；
(2) 将系统划分为若干个环节，确定每一环节的输入量和输出量。

确定输入量和输出量时，应使前一环节的输出量是后一环节的输入量。

(3) 写出每一环节(或元件)描述输出信号和输入信号相互关系的运动方程式；找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。

而这些物理定律的数学表达式就是环节(或元件)的原始方程式。

在此同时再做一些数学上的处理，如非线性函数的线性化。

考虑忽略一些次要因素。

使方程简化的可能性和容许程度。

(4) 消去中间变量，列出各变量间的关系式。

设法消去中间变量，最后得到只包含输入量和输出量的方程式。

于是，就得到所要建立的元件或系统的数学模型了。

非线性数学模型的线性化
1、一般运动方程式化为增量方程式的步骤 以下式为例
)()
()()(2
2t ky dt t dy B dt
t y d M t F ++= (1) 确定额定点，写出静态方程式：设额定点为(F 。

，y 。

)，静态方程式为Ky 。

=F 。

.
(2) 将原运动方程式中的瞬时值用其额定点值和增量之和表示
y=y 。

+Δy ；F ＝F 。

+ΔF 。

F F y y k dt y y d B dt
y y d M ∆+=∆++∆++∆+0002
02)()
()( (3) 将演化后的运动方程式与静态方程式相减，其结果即为增量方程式
F y k dt
y
d B dt y d M ∆=∆+∆+∆22
2、非线性函数的线性化
线性化这一概念用数学方法来处理，就是将一个非线性函数在其工作点展开成泰勒（Taytor ）级数，然后略去二次以上的高阶项，得到线性化方程，用来代替原来的非线性函数。

(1) 一元函数的线性化
设系统的工作点为（x0, y0），那么y=f(x)在额定工作点附近展开成泰勒级数为
+-+
-+
=202200)()
(!21)()
()(0
x x dx x f d x x dx
x df x f y x x
因函数y=f(x)在工作点很小的范围内变化，可忽略二次以上的各项，则方程为
)()()
()(00000
x x k y x x dx
x df x f y x -+=-+=
这就是非线性元件或系统的线性化数学模型。

线性化有如下特点：
(l) 线性化是相对某一额定工作点进行的。

工作点不同，得到线性化微分方程的系数也不同。

(2) 若使线性化具有足够精度，调节过程中变量偏离工作点的偏差信号必须足够小。

(3) 线性化后的运动方程是相对额定工作点以增量来描述的。

因此，可以认为其初始条件为零。

(4) 线性化只能运用没有间断点、折断点和非单值关系的函数，对具有本质非线性元件的非线性系统是不适用的。

传递函数的定义
在线性定常系统中，初始条件为零时，系统(或元件)输出的拉氏变换X c (s)和输入的拉氏变换X r (s)之比称为系统(或元件)的传递函数，即
)
()
()]([)]([)(s X s X t x L t x L s G r c r c =
=
或
X c (s)=G(s)X r (s) 图 传递函数图示
若令输入信号为单位脉冲函数δ(t)，其拉氏变换为X r (s)＝1，则根据上式得
X c (s)＝G(s)
传递函数是系统或环节数学模型的另一种形式，它反映了系统输出变量与输入变量之间的关系。

它只和系统本身的特性参数有关，而与输入量无关。

系统传递函数是复变量s 的函数，常常可以表达成如下形式
或
传递函数的性质
1．传递函数只与系统或元件自身的内部结构和参数有关，而与输入量和初始条件等外部因素无关。

2．传递函数是复变量s 的有理真分式，分母多项式的次数n 高于分子多项式的次数m(这是控制系统的物理性质决定的)，而且其所有系数均为实数(因为元件参数只能是实数)。

3．传递函数等于单位脉冲函数输入时的系统输出响应的象函数，或者说传递函数的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应。

4．在复数平面内，一定的传递函数有一定的零，极点分布图与之相对应。

5．分母中的最高阶若为n ，则称系统为n 阶系统。

6. 传递函数只能用于研究单输入、单输出系统，它只能反映输入和输出间的关系，并且对于非零初始状态的系统运动特性不能反映。

典型环节及其传递函数
(一) 放大环节(比例环节)
放大环节的输出量以一定比例复现输入量，而毫无失真和时间滞后现象。

设输入量为x r (t)，输出量为x c (t)，则其运动方程式为
x c (t)=Kx r (t)
其传递函数为
G(s)=X c (s)/X r (s)=K
式中 K ——放大系数。

放大环节的共同特点是传递函数为一常数。

纯放大环节是很少见的，多数是忽略某些次要因素后视为放大环节。

几乎所有控制系统都有放大环节，主要用于电压、电流、力、速度等的放大或减小。

(二) 惯性环节
在惯性环节中，总含有储能元件，以致使输出不能立即复现突变型式的输入，而是落后于输入。

设输入为x r (t)，输出为x c (t)，则其运动方程式为
)()()
(t Kx t x dt
t dx T
r c c =+ 其传递函数为
G(s)=X c (s)/X r (s)=K/(Ts+1)
式中 T ——环节的时间常数； K ——环节的放大系数。

惯性环节的特性由时间常数T 和放大系数K 决定。

惯性环节的输出量和输入量的量纲可能是相同的，也可能是不相同的。

K 等于输出量与输入量的稳态值之比。

图2-9 电气惯性环节
(三) 积分环节
积分环节的输出量x c (t)的变化率和输入量x r (t)成正比，即
其传递函数为
G(s)=X c (s)/X r (s)=K/s
(四) 振荡环节
振荡环节包含两种形式的储能元件，并且所储存的能量相互转换。

如机械位能和动能之间，电能和磁能之间的转换等。

因此，使输出量具有振荡的性质。

设输出量为x c ，输入量为
x r ，振荡环节的运动方程式为
r c c k c Kx x dt dx T dt
x d T =++2
22
其传递函数为
1
)(2
2++=
s T s T K
s G k 令T T k ξ2=，可写成
1
2)(2
2++=
Ts s T K
s G ξ 式中 T ——时间常数； ζ——阻尼比； K ——放大系数。

显然，决定振荡环节性能的参数有放大系数K ，时间常数T 和阻尼比ζ。

(五) 一阶微分环节
一阶微分环节有理想微分环节和实际微分环节之分。

理想微分环节的输出x υ(t)为输入x r (t)的微分。

其运动方程式为
则传递函数为
G(s)=X c (s)/X r (s)=Ks
从数学观点来看，微分是一个求变化率的过程。

因此，任何一个能指示出—个量的变化速率的装置都可视为微分环节。

实际微分环节的传递函数常带有惯性环节，即
G(s)=X c (s)/X r (s)=Ks/(Ts+1)
微分环节是自动控制系统中经常用于改善系统性能的环节.
(六) 二阶微分环节
二阶微分环节的运动方程为
)]()
(2)([)(2
22
t x dt t dx dt
t x d K t x r r r c ++=ξττ 相应地二阶微分环节的传递函数为
)12()(22++=s s K s G ξττ
可见二阶微分环节的输出不仅决定于输入量本身，还决定于它的一阶导数和二阶导数。

其特性由K 、τ和ζ三个参数来表示。

该环节主要用来帮助改善系统的动态品质。

(七) 时滞环节
在实际控制系统中常遇到时滞环节，即输入信号加入后，输出要隔一定时间τ才能复现输入信号，时滞环节的运动方程为
x c (t)=x r (t-τ)
根据时域位移定理，其传递函数为
s r c e s X s X s G τ-==
)
()
()( 图2-11 时滞环节
系统动态结构图
控制系统的动态结构图一般由如下四种基本单元组成，它们是
（1）信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，信号线上标信号的原函数或象函数 。

（2）方框：方框中为元部件的传递函数。

它起着对信号的运算和转换作用 。

（3）引出点：表示信号引出或测量位置，从同一点引出的信号完全相同，如图 (c)所示。

（4）综合点（比较点）：对两个以上信号进行加减运算，“＋”号表示相加，“－”号表示相减，如图 (d)所示。

图 组成动态结构图的基本单元
2. 结构图的运算法则
系统各环节之间一般有三种联接方式：串联、并联和反馈联接。

（1）串联运算法则
n 个环节串联的总传递函数等于各个环节的传递函数之积。

（2）并联运算法则
n 个同向环节相并联的总传递函数等于各环节的传递函数之代数和。

（3）反馈运算法则
具有反馈环节的系统的总传递函数等于前向通路的传递函数除以1加(或减)前向通路和反馈通路两者传递函数的乘积。

即 )
()(1)
()(s H s G s G s +=Φ （负反馈）
)
()(1)
()(s H s G s G s -=Φ （正反馈）
（4）比较点移位法则和引出点移位法则
在复杂的反馈系统中，除了主反馈之外，常有互相交错的局部反馈。

为了便于运算，常通过移动比较点和引出点的方法，将系统结构作些变化，以减少局部反馈回路。

这叫做方框图变换(或简化)。

方框图变换的原则是：变换前后的输出信号应不变。

引出点的前后移动 其等效变换结构图如图 所示。

(a) 引出点前移
(b) 引出点后移
图 引出点前后移动等效变换
3. 有扰动参与作用下的闭环系统
当给定量R(s)和扰动量N(s)两个输入量同时作用于线性系统时，可对每一输入量分别求出输出量，然后应用叠加原理，将两者叠加而成系统的总输出量。

（1）在R(s)作用下的闭环传递函数
设N(s)＝0，应用反馈运算法则得闭环传递函数
)
()()(1)
()()()()(2121s H s G s G s G s G s R s C s R R +=
=
Φ 故
)()
()()(1)
()()()()(2121s R s H s G s G s G s G s R s s G R R +=Φ=
（2）在N(s)作用下的闭环传递函数 应用反馈运算法则得闭环传递函数为
)
()()(1)
()()()(122s H s G s G s G s N s C s N N +=
=
Φ 故
)()
()()(1)
()()()(122s N s H s G s G s G s N s s C N N +=
Φ=
（3
）合成输出响应
根据叠加原理，给定量和扰动量两种输入同时作用下的系统合成响应为
)()
()()(1)
()()()()(1)()()()()(2122121s N s H s G s G s G s R s H s G s G s G s G s C s C s C N R +++=
+=
由上式可知，当|G 1(s)G 2(s)H(s)|>>1和|G 1(s)H(s)|>>1时，ΦN (s)≈0，这意味着扰动N(s)的影响被抑制掉了。

这是闭环系统的优点之一。

此外，当|G 1(s)G 2(s)H(s)|>>1时,)
(1
)(s H s R ≈
Φ, 即ΦR 与前向通路的传递函数G 1(s)G 2(s)无关，只与反馈通路的传递函数H(s)成反比。

这是闭环系统的另一优点。

（4）系统的误差传递函数 以误差信号E(s)为输出、以给定量R(s)或干扰量N(s)为输入量的闭环传递函数称为系统的误差传递函数。

在R(s)作用下的误差传递函数
设N(s)＝0，再用反馈运算法则得误差传递函数为
)
()()(11
)()(21s H s G s G s R s E R +=
上式对于反馈系统的误差分析是非常重要的。

在N(s)作用下的误差传递函数
设R(s)＝0，再根据正馈运算法则得误差传递函数为
)
()()(1)
()()()(212s H s G s G s H s G s N s E N +-=
在R(s)和N(s)同时作用下的合成误差，可应用叠加原理求得，即
E(s)=E R (s)+E N (s)
以上各式中，当H(s)=1时，就得到单位反馈系统的各种传递函数。

图 图 图2-21的等效方框图
绘制系统方框图的步骤
1．首先按照系统的结构和工作原理，分解出各环节； 2．列写系统各组成环节的运动方程，并进行线性化； 3．求初始条件皆为零时的各组成环节的拉氏变换式； 4．分别以方框图的形式表达各环节的拉氏变换式；
5．将各环节的方框图中的相同变量用箭头联接起来，便构成系统的总方框图。

第3章 辅导
控制系统典型的输入信号
1. 阶跃函数
阶跃函数的定义是
⎩⎨⎧=<>0
,00
,)(t t A r t x
式中A 为常数。

A 等于1的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图所示。

它表示为
x r (t)＝l(t)，或x r (t)=u(t)
单位阶跃函数的拉氏变换为
X r (s)=L[1(t)]=1/s
在t ＝0处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。

2. 斜坡函数
这种函数的定义是
⎪⎩⎪⎨
⎧<>=0
,00
, )(t t t A t x r
式中A 为常数。

该函数的拉氏变换是
X r (s)=L[At]=A/s 2
这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号，该恒速度为A 。

当A ＝l 时，称为单位斜坡函数，如图所示。

3. 抛物线函数
如图 所示，这种函数的定义是
⎪⎩⎪⎨⎧<>=0 ,00
, t )(2
t t A t x r
式中A 为常数。

这种函数相当于随动系统中加入一按照恒加速变化的位置信号，该恒加速度为A 。

抛物线函数的拉氏变换是
X r (s)=L[At 2]=2A/s 3
当A ＝1/2时，称为单位抛物线函数，即X r (s)=1/s 3。

4. 脉冲函数
这种函数的定义是
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧→<<→><=0)( 0 ,)0( ,0 ,0)(εεεεεt A
t t t x r
式中A 为常数，ε为趋于零的正数。

脉冲函数的拉氏变换是
A A L s X r =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
=→εεlim 0)(
当A ＝1，ε→0时，称为单位脉冲函数δ(t)，如图 所示。

单位脉冲函数的面积等于l ，即
⎰
∞
∞
-=1)(dt t δ
在t ＝t 0处的单位脉冲函数用δ(t-t 0)来表示，它满足如下条件
幅值为无穷大、持续时间为零的脉冲纯属数学上的假设，但在系统分析中却很有用处。

单位脉冲函数δ(t)可认为是在间断点上单位阶跃函数对时间的导数，即
反之，单位脉冲函数δ(t)的积分就是单位阶跃函数。

控制系统的时域性能指标
对控制系统的一般要求归纳为稳、准、快。

工程上为了定量评价系统性能好坏，必须给出控制系统的性能指标的准确定义和定量计算方法。

1 动态性能指标
动态性能指标通常有如下几项：
延迟时间d t 阶跃响应第一次达到终值)(∞h 的50％所需的时间。

上升时间r t 阶跃响应从终值的10％上升到终值的90％所需的时间；对有振荡的系统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间。

峰值时间p t 阶跃响应越过稳态值)(∞h 达到第一个峰值所需的时间。

调节时间s t 阶跃响到达并保持在终值)(∞h 5±％误差带内所需的最短时间；有时也用终值的2±％误差带来定义调节时间。

超调量σ％ 峰值)(p t h 超出终值)(∞h 的百分比，即
σ％100)
()()(⨯∞∞-=
h h t h p ％
在上述动态性能指标中，工程上最常用的是调节时间s t （描述“快”），超调量σ％（描述“匀”）以及峰值时间p t 。

2 稳态性能指标
稳态误差是时间趋于无穷时系统实际输出与理想输出之间的误差，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。

稳态误差有不同定义，通常在典型输入下进行测定或计算。

一阶系统的阶跃响应
一. 一阶系统的数学模型
由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。

一些控制元部件及简单系统如RC 网络、发电机、空气加热器、液面控制系统等都是一阶系统。

因为单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s ，故输出的拉氏变换式为
1
1111)()()(+-=∙+=
∙Φ=Ts T
s s Ts s R s s C 取C(s)的拉氏反变换得
t T
e
c(t)11--=
或写成
tt ss c c c(t)+=
式中，c ss =1，代表稳态分量；t T
tt
e
c 1--=代表暂态分量。

当时间t 趋于无穷，暂态分
量衰减为零。

显然，一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始，按指数规律上升并最终趋于1的曲线，如图所示。

响应曲线具有非振荡特征，故又称为非周期响应。

一阶系统的单位阶跃响应
二阶系统的阶跃响应
典型二阶系统方框图，其闭环传递函数为：
()()()v m v m v m v K s s T K s T s K s T s K s R s C s ++=+++==Φ2
)1(/1)1(/22
2
2n
n n
s s ωζωω++= 式中
K v --开环增益；
ωn --无阻尼自然频率或固有频率，m
v
n T K =ω； ζ--阻尼比，m
n T ωζ21
=。

二阶系统的闭环特征方程为 s 2+2ζωn s+ω2n =0
其特征根为
n s ωζζ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-±-=122,1
1. 临界阻尼(ζ=1)
其时域响应为
())1(1t e
t c n t
n ωω+-=-
上式包含一个衰减指数项。

c(t)为一无超调的单调上升曲线，如图3-8b 所示。

(a) (b) (c)
ζ≥1时二阶系统的特征根的分布与单位阶跃响应
2. 过阻尼(ζ＞1)
具有两个不同负实根])1(,[2
21n s s ωζ
ζ-±-=的惯性环节单位阶跃响应拉氏变换
式。

其时域响应必然包含二个衰减的指数项，其动态过程呈现非周期性，没有超调和振荡。

图为其特征根分布图。

3. 欠阻尼（0<ζ＜1）
图3-9 0<ζ＜1时二阶系统特征根的分布 图3-10 欠阻尼时二阶系统的单位阶跃响应
4. 无阻尼(ζ＝0)
())
(22
2n
n
s s s C ωω+=
其时域响应为
()t t c n ωcos 1-=
在这种情况下，系统的响应为等幅(不衰减)振荡，
图ζ＝0时特征根的分布 图ζ＝0时二阶系统的阶跃响应
5. 负阻尼（ζ＜0）
当ζ＜0时，特征根将位于复平面的虚轴之右，其时域响应中的e 的指数将是正的时间函数，因而t
n e ζω-为发散的，系统是不稳定的。

显然，ζ≤0时的二阶系统都是不稳定的，而在ζ≥1时，系统动态响应的速度又太慢，所以对二阶系统而言，欠阻尼情况是最有实际意义的。

下面讨论这种情况下的二阶系统的动态性能指标。

欠阻尼二阶系统的动态性能指标
1. 上升时间t r
上升时间t r 是指瞬态响应第一次到达稳态值所需的时间。

21ζ
ωθ
πωθπ--=
-=
n d r t 由此式可见，阻尼比ζ越小，上升时间t r 则越小；ζ越大则t r 越大。

固有频率ωn 越大，
t r 越小，反之则t r 越大。

2. 峰值时间t p 及最大超调量M p
2
1ζωπ
ωπ-=
=
n d p t
最大超调量 π
ζζ)1/(max 2)(--=∞-=e c c M p
最大超调百分数 %100.)
()
(%)1/
(max 2π
ζζδ--=∞∞-=
e c c c c
3. 调整时间t s
707.00 4
)]1ln(214[1
%)2( 707.00 3)]1ln(213[1
%)5(22<<≈--=
<<≈--=ζζωζζωζζωζζω，，n n s n n s t t
图3-13 二阶系统单位阶跃响应的一对包络线 图3-14 调节时间和阻尼比的近似关系
根据以上分析，二阶振荡系统特征参数ζ和ωn 与瞬态性能指标(δ
4. 振荡次数μ
在调整时问t s 之内，输出c(t)波动的次数称为振荡次数μ，显然
f
s
t t =
μ 式中 2
122ζ
ωπ
ωπ
-=
=
n d
f t ，称为阻尼振荡的周期时间。

()1
221
2
2++=
TS S T s φ 这一系统的单位阶跃响应瞬态特性指标为： 最大超调百分数
%3.4%100)1/
(%2=⨯=--π
ζζδe
上升时间
T t n r 7.412
=--=
ζ
ωθπ
调整时间
()T t s 43.8%2=(用近似式求得为8T) ()T t s 14.4%5=(用近似式求得为6T)
有一位置随动系统其中K k ＝4。

求该系统的(１)固有频率；(2)阻尼比；(3)超调量和调整时间；(4)如果要求实现工程最佳参数ζ＝l ／2，开环放大系数k k 值应是多少？
【解】系统的闭环传递函数为
()k
k
K s s K s ++=
2φ 4=k K
与二阶系统标准形式的传递函数
()2
2
22n
n n
s s s ωζωωφ++= 对比得：(1) 固有频率
24===k n K ω
(2) 阻尼比 由12=n ζω得 25.021==n
ωζ
(3) 超调 ()%47%100%)1/(2=⨯=--n
e
ζζδ
(4) 调整时间()s t n
s 63
%5=≈ξω
当要求2
1=
ζ时，由12=n ζω 得 5.0,2
12
===
n k n K ωω
可见该系统要满足工程最佳参数的要求，须降低开环放大系数k K 的值。

但是，降低k K 值将增大系统的误差。

劳斯稳定判据
将系统的特征方程式写成如下标准式
0122110=+++++---n n n n n a s a s a s a s a 将各系数组成如下排列的劳斯表
1
112
124
3
21343212753116420g s f s e e s c c c c s b b b b s a a a a s a a a a s o
n n n n
---
表中的有关系数为
13
0211a a a a a b -=
1
5
0412a a a a a b -=
1
7
0613a a a a a b -=
系数i b 的计算，一直进行到其余的b 值全部等于零为止。

1
2
1311b b a a b c -=
13
1512b b a a b c -=
1
4
1713b b a a b c -=
这一计算过程，一直进行到 n 行为止。

为了简化数值运算，可以用一个正整数去除或乘某一行的各项，这时并不改变稳定性的结论。

(l) 第一列所有系数均不为零的情况 第一列所有系数均不为零时，劳斯判据指出，特征方程式的实部为正实数根的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次数。

方程式的根全部在复平面的左半平面的充分必要条件是，方程式的各项系数全部为正值，并且劳斯表
的第一列都具有正号。

例如， 三阶系统的特征方程式为
0322130=+++a s a s a s a
列出劳斯表为
3
13
02113
1
220
3a s a a a a a s a a s a a s -
则系统稳定的充分必要条件是
00>a ，01>a ，02>a ，03>a ，0)(3021>-a a a a
系统的特征方程为
054322
3
4
5
=+++++s s s s s
试用劳斯判据判断系统的稳定性。

解 计算劳斯表中各元素的数值，并排列成下表
5
320
590
315324110
12
345s s s
s s s -
由上表可以看出，第一列各数值的符号改变了两次，由+2变成-1，又由-1改变成+9。

因此该系统有两个正实部的根，系统是不稳定的。

(2) 某行第一列的系数等于零而其余项中某些项不等于零的情况 在计算劳斯表中的各元素的数值时，如果某行的第一列的数值等于零，而其余的项中某些项不等于零，那么可以用一有限小的数值ε来代替为零的那一项，然后按照通常方法计算阵列中其余各项。

如果零(ε)上面的系数符号与零(ε)下面的系数符号相反，则表明这里有一个符号变化。

例如，对于下列特征方程式
0122234=++++s s s s
劳斯表为
1
221)0(0221110
1234s
s s s s ε
ε-≈
现在观察第一列中的各项数值。

当ε趋近于零时，ε
2
2-
的值是一很大的负值，因此可
以认为第一列中的各项数值的符号改变了两次。

由此得出结论，该系统特征方程式有两个根具有正实部，系统是不稳定的。

如果零(ε)上面的系数符号与零(ε)下面的系数符号不变，则表示系统有纯虚根。

例如，
对下列特征方程式
02223=+++s s s
劳斯表为
2
2
2110
123s s s s ε
可以看出，第一列各项中ε的上面和下面的系数符号不变，故有一对虚根。

将特征方程式分解，有
0)2)(1(2=++s s 解得根为
12,1j p ±=-， 23-=-p
(3) 某行所有各项系数均为零的情况 如果劳斯表中某一行的各项均为零，或只有等于零的一项， 这表示在 s 平面内存在一些大小相等但符号相反的特征根。

在这种情况下，可利用全零行的上一行各系数构造一个辅助方程，式中s 均为偶次。

将辅助方程对s 求导，用所得的导数方程系数代替全零行，然后继续计算下去。

至于这些大小相等，符号相反的根，可以通过解辅助方程得到。

系统特征方程式为
0161620128223456=++++++s s s s s s
试用劳斯判据判断系统的稳定性。

解 劳斯表中的6
s ～3
s 各项为
1620816
s
008
610
161223
4
5
s s s 由上表可以看出，3
s 行的各项全部为零。

为了求出3
s -0
s 各项，将4
s 行的各项组成辅助方程为
86)(24++=s s s A
将辅助方程)(s A 对s 求导数得
s s ds
s dA 124)
(3+= 用上式中的各项系数作为3
s 行的各项系数，并计算以下各行的各项系数，得劳斯表为
1248610
161221620813
4
6s s s s s
8
34
830
1
2
s s
s
从上表的第一列可以看出，各项符号没有改变，因此可以确定在右半平面没有特征方程式的根。

另外，由于3
s 行的各项皆为零，这表示有共轭虚根。

这些根可由辅助方程求出。

本例中的辅助方程式是
08624=++s s
由之求得特征方程式的大小相等符号相反的虚根为
22,1j p ±=-， 24,3j p ±=-， 216,5j p ±-=-
稳态误差及其计算
误差本身是时间t 的函数，在时域中以()t e 表示。

稳定系统误差的终值称为稳态误差ss e ，即为误差信号的稳态分量，则稳态误差为
)()(lim lim 0
s sE t e e s t ss →∞
→==
系统的误差传递函数
()())
()(11
s H s G s R s E += 故 ()())
()(1s H s G s R s E += 将系统误差的拉氏变换E(s)代入(3-38)，得稳态误差的计算公式为 )
()(1)
(lim
s H s G s sR e s ss +=
→
控制系统的型别
控制系统的一般开环传递函数可以写成
∏∏-==++=
N
n j j N m
i i k s T s s T K s H s G 11)
1()1()()(
式中k K 为开环放大系数或称为开环传递系数；i T 、j T 为时间常数；N 表示开环传递函数中串联的积分环节个数。

这是一个很重要的结构参数。

根据N 的数值，可将系统分为几种不同类型。

N ＝0的系统称为0型系统；N ＝1的系统称为I 型系统；N=2的系统称为II 型系统。

当N ＞2时，要使系统稳定是很困难的。

因此，一般采用的是0型、I 型和II 型系统。

典型输入下系统的稳态误差
对于不同输入函数，下面分析系统的稳态误差。

1. 单位阶跃输入下的稳态误差
单位阶跃输入(()s
s R 1
=
)下的系统稳态误差，由式(3-40)得
)()(1lim
s H s G s e s ss +=→)
()(11
1s H s G s +=
定义
)()(lim 0
s H s G k s p →=
p k 称为位置误差系数，则
p
ss K e +=
11
0型系统的稳态误差为 k
ss K e +=
11
I 型或高于I 型的系统的位置稳态误差为
0=ss e
2. 单位斜坡输入下的稳态误差
单位斜坡输入(()2
1
s s R =
)的系统稳态误差 )
()(1
1
)
()(1lim
lim 0
20s H s sG s s H s G s e s s ss →→=
∙+=
定义
)()(lim 0
s H s sG K s →=ν
νK 称为速度误差系数。

则 ν
K e ss 1= 对于0型系统
0)
1()1(1010
lim
=++=∏∏==→n
j j m
i i k s s T s s T K k ν
所以 ∞=ss e 对于I 型系统
k n
j j m
i i k s K s T s s T K s
k =++=∏∏==→110
)
1()1(lim ν
所以 k
ss K k e 11==ν 对于II 型或更高型系统
∞=++=
∏∏==→n
j j m
i i k s s T s s T K s
k 1210
)
1()1(lim ν
所以 0=ss e
，0型系统不能跟踪斜坡输入；单位反馈的Ⅰ型系统能跟踪斜坡输入，但总有一
定误差，
3. 单位抛物线输入下的稳态误差
定义
)()(20
lim s H s G s K s a →=
a K 称为加速度误差系数
则 a
ss K e 1=
对于0型系统 0)
1()1(1012
lim
=++=
∏∏==→n
j j m
i i k s a s T s s T K s k
所以 ∞=ss e 对于Ⅰ型系统
0)
1()1(1112
lim =++=∏∏==→n
j j m
i i k s a s T s s T K s k
所以 ∞=ss e 对于Ⅱ型系统
k n
j j m
i i k s a K s T s s T K s k =++=∏∏==→1112
)
1()1(lim
所以 k
ss k e 1=
由此可知，0型和Ⅰ型系统都不能跟踪抛物线输入，Ⅱ型系统能跟踪抛物线输入，但存在稳态误差。

典型输入信号作用下的稳态误差和误差系数。

减小稳态误差的方法
1. 引入给定量顺馈
2. 引入扰动量顺馈。