电路分析基础-拉普拉斯变换
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拉普拉斯变换可将时域函数f(t)变换为频域函数F(s)。 只要f(t)在区间[0,∞]有定义，则有
F(s) f(t)estdt 0
F(s) f(t)estdt 0
上式是拉氏变换的定义式。由定义式可知：一个时域
函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的e-st
称为收敛因子，收敛因子中的s=c+jω是一个复数形式的 频率，称为复频率，其实部恒为正，虚部即可为正、为 负，也可为零。上式左边的F(s)称为复频域函数，是时 域函数f(t)的拉氏变换， F(s)也叫做f(t)的F象(s函)数L[。f(记t)作]
2j
2
由 前 面 例L 题 [ej得 t ]出1
sj
L[e- jt ] 1
s j
故 L [st] i1 n (11) 1 s j s j 2 js j s j 2 j s 2 2 s 2 2
同L [理 c to ] ： 1 2 s(s 1 js 1 j)s2 s2
2.微分性质
因 F 1 4 s 为 5 ， F 2 s 2 ： 5 s 6 ， F '2 ( s ) 2 5 s
又由 F 2(s)于 0的根 p1为 2， p23，代入公
k1F F '12((ss))sp1
4s5
3
2s5s2
k2F F'12((ss))sp2
4s5 7 2s5s3
得象函 F (s) 数 3 为 7 s2 s3
什么是拉普拉斯 变换？什么是拉 普拉斯反变换？
已知原函数求象函数 的过程称为拉普拉斯变 换；而已知象函数求原 函数的过程称为拉普拉 斯反变换。
什么是原函数？ 什么是象函数？ 二者之间的关系 如何？
原函数是时域函数， 一般用小写字母表示， 象函数是复频域函数， 用相应的大写字母表示。 原函数的拉氏变换为象 函数；象函数的拉氏反 变换得到的是原函数。
式中L-1[ ]也是一个算子，表示对括号内的象函 数进行拉氏反变换。
在拉氏变换中，一个时域函数f(t)惟一地对应一个 复频域函数F(s)；反过来，一个复频域函数F(s)惟 一地对应一个时域函数f(t)，即不同的原函数和不 同的象函数之间有着一一对应的关系，称为拉氏变 换的惟一性。
注意在拉氏变换或反变换的过程中，原函数一律
+ uR (t)－
时域的电阻电路
+ U R (s)－
复频域的电阻运算电路
可得时到域电条阻件元下件电上阻的电电路压有、u电R=流Ri复R，频把域该关式系进式行为拉：氏变换
UR(s)RR I(s) 显然欧姆定律 同在 样复 成频 立
2.电感元件的运算电路 时域条件下电感电路u、i关系：
iL (t) L
其中m和n为正整数，且n≥m。
把F(s)分解成若干简单项之和，需要对分母多项 式 根作、因共式轭分 复解 根， 和求 重出根F3种2(s情)的况根，。下F面2(s逐)的一根讨可论以。是单
1．F2(s)＝０有n个单根 设n个单根分别为p1、p2、…、pn ，于是F2(s)可以展开为
F(s) k1 k2 kn
L[et]e(s)td t 1
0
s
同理可得f(t)=eαt 的拉氏变换为：
L[et] e(s)td t 1
0
s
求单位阶跃函数f(t)=ε(t)、单位冲激函数f(t)=δ(t)、 正弦函数f(t)=sinωt的象函数。
由拉氏变换定义式可得单位阶跃函数的象函数为
F ( s ) L [( t) ] ( t) e sd t t e sd t t 1 e s t 1
同理可得
k2[s(p2)F (s)s ]p2
……
kn[s(pn)F (s)s ]pn
所求待定系数ki为： 上式中：
k ii 1 [,2 s ,(3 , pi,)n F (s)s]pi
引用另数学外中把的分罗部比展塔开法公则式两，可边得同：乘以(s-pi),再令s→pi，然后
k i s l p i iF 1 m ( s F ) 2 s ( s ( )p i) s l p i i( s m p i) F F ''2 1 ( ( s s ) ) F 1 ( s ) F F '1 2 ( ( p p ii ) )
这样我们又可得到另一求解ki的公式为：
Ki F F '1 2((ss))spi
i1， 2， 3， ， n
待定系数确定之后，对应的原函数求解公式为：
f ( t ) L 1 [ F ( s ) k ] 1 e p 1 t k 2 e p 2 t k n e p n t
求 F(s) 4s5 的原f函 (t)。 数 s25s6
在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计 算，往往采用变换的方法，拉普拉斯变换(简称拉氏变 换)就是其中的一种。
拉氏变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方 法。用拉普拉斯变换分析综合线性系统(如线性电路) 的运动过程，在工程上有着广泛的应用。
12.1 拉普拉斯变换的定义
学习目标：了解拉普拉斯变换的定义，理解原函数、 象函数的概念。
f(t)A1f(t)B2f(t)的象函数为：
F (s) A1 (s F ) B2(s F ),
上式中的A和B为任意常数(实数或复数)。这一性质可 以直接利用拉普拉斯变换的定义加以证明。
求 f1(t)si nt和 f2(t)cots的象函数。
根据欧拉 ejt公 c式 ost： jsi nt可得：
sint ejt ejt , costejt ejt
用小写字母表示，而象函数则一律用相应的大写字 母表示。如电压原函数为u(t)，对应象函数为U(s)。
求指数函数f(t)=e－αt 、 f(t)=eαt (α≥0,α是常数)的
拉普拉斯变换。
由拉氏变换定义式可得
L [e t] e te sd t t e ( s)tdt
0
0
此积分在s>α时收敛，有：
式中L[ ]是一个算子，表示对括号内的函数进行拉 氏变换。电路分析中所遇到的电压、电流一般均为时 间的函数，因此其拉氏变换都是存在的。 如果复频域函数F(s) 已知，要求出与它对应的时域函 数f(t) ，又要用到拉氏反变换，即：
f(t) 1 jF(s)estdt
2j j
该式左边的f(t) 在这里称为F(s)的原函数，此式表 明：如果时域函数f(t)已知，通过拉氏反变换，又 可得到它的象函数F(s)，f记(t)作：L1[F(s)]
+ uL (t) －
时域的电感电路
uL
(t)
L
diL dt
利用拉普拉斯变换的 性质可以很方便地求得一 些较为复杂的函数的象函 数，同时也可以把线性常 系数微分方程变换为复频 域中的代数方程，利用这 些性质课本表12.1中给出 了一些常用的时间函数的 拉氏变换。
利用拉普拉 斯变换的性 质，对解决 问题有何种 效益？
拉普拉斯变换有 哪些性质？
12.3 拉普拉斯反变换
k1 et [e j(t1) ej(t1) ]
2k1 et cos( t 1)
求 F(s) s 的原f函 (t)。 数 s22s5
F2(s)0时p1、 2 1j2为共轭复根，
k 1 F F '1 2 (( s s ))s p 1 2 ss 2s 1 j2 0 .5 j0 .2 5 0 .5ej6 2.6 6
0
0
s 0 s
同理，单位冲激函数的象函数为
F ( s ) L [( t) ] ( t) e sd t t 0 ( t) e sd t e ts ( 0 ) 1
0
0
正弦函数sin ωt的象函数为：
F(s)L[sint] si ntestdt 0
est
s22(ssi ntcost)0 s22
参看课本P175页例题12.6。
在求拉氏反变换的 过程中，出现单根、 共轭复根和重根时 如何处理？
12.4 应用拉氏变换分析线性电路
学习目标：熟悉基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和 运算导纳，掌握应用拉氏变换分析线性电路 的方法。
12.4.1 单一参数的运算电路
1.电阻元件的运算电路
iR (t)
I R (s)
12.2 拉普拉斯变换的基本性质
学习目标：了解拉氏变换的线性性质，微分性质和积分 性质，运用这些性质进行拉氏变换的形式。
拉普拉斯变换有许多重要的性质，利用这些性质可以 很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以 把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程。
1.代数性质 设函 f1(t)和 数 f2(t)的象函 F 1数 (s)和 F 分 2(s)， 则 别函 为
k2k1ej10.5e6 j2.6 6 |k1| =0.56，α=-1,ω=2,θ1=26.6°,所以原函数为
f( t ) 2 k 1 e tco t 1 ) s 1 .( 1 e tc 22 o t 2 . s 6 ) 6 (
3．F2(s)＝０具有重根 可分设解p为1为：F F(2s()s) 的s重k 1p 根2 1 ，(psi 为k1 p 其11 )2 余 单 s根 k(2p i从2 2开 始)，则F(s) k12(，s 则对p 需1 于)2 用单F 下根(s 式) ， ：仍(s 然 采p 1 用)k 1 前 面2k 的1方 1 ( 法s 计p 算1 )。2 要s k 确2 p 定2k 11、
如L[果 f(t)]F(s)则 , f(t)的导 f'(t) 数 d(ft)的拉氏 dt
L [f'(t) ]L [dd (tf)]ts(F s)f(0)
可以证明L[： df(dt)] f '(t)estdt
dt
0
f (t)est f (t)(sest)dt
0
0
f (0)s
f (t)estdt
0
导数性质表明拉氏sF变(s)换把f (0原) 函数求导数的运算
转换成象函数乘以s后减初值的代数运算。如果f(0-)=0，则
有:
L[f'(t)]sF (s)
3.微分性质 (可参看课本172页下至173页上) 课本173页的表12.1为一些常用函数的拉普拉斯变换表， 在解题时可直接套用。
拉普拉斯变换的主要性质有线性性质、微分性质。积分性 质、延迟性质、频移性质等，由课本P173页表12.1表示了 这些性质的具体应用。
sp1 sp2
spn
方式法中确k定1、，k即2、把k3上…式、两kn 边为同待乘定以系数(s-。1(sp 1) s k2 p 2 s kn p n 令s=p1，则等式除右边第一项外其余都变为零，即可求得
k1[s(p1)F (s)s]p 1
第12章 拉普拉斯变换
12.1 拉普 拉斯变换 的定义
12.4 应用 拉普拉斯变换 分析线性电路
12.2 拉普 拉斯变换的 基本性质
12.3 拉普 拉斯反变换
本章教学目的及要求
了解拉普拉斯变换的定义和基本 性质。在熟悉基尔霍夫定律的运算形 式、运算阻抗和运算导纳的基础上， 掌握拉普拉斯变换法分析和研究线性 电路的方法和步骤；在求拉氏反变换 时，要求掌握分解定理及其应用。
得原函 f(t数 )3为 e2t 7e3t
2．F2(s)＝０有共轭复根
设共轭复根为p1=α+jω，p2=α-jω，则
k1F F '1 2((ss))sj，k2F F '1 2((ss))s-j 显然k1、k2也为共轭复数，设k1=|k1| ejθ1，k2=|k1|e-jθ1，则
f (t) k1e(j)t k2e(j)t k1 e j1e(j)t k1 ej1e(j)t
学习目标：了解拉氏反变换解决问题的方法，熟悉拉氏 反变换中的分解定理，学会查表求原函数。
利用拉普拉斯反变换进行系统分析时，常常需要从象 函数F(s)中求出原函数f(t)，这就要用到拉氏反变换。 分解定理：利用拉氏变换表，将象函数F(s)展开为简单分式
之和，再逐项求出其拉氏反变换的方法。
F (s)F 1 (s) a 0 sm a 1 sm 1 a m 1 s a m F 2(s) b 0 sn b 1 sn 1 b n 1 s b n
由上式把k11单独分离出来，可得：
k11(sp1)2F(s)sp1
再对式子中s进行一次求导，让k12也单独分离出来，得：
k12d d[ss(p1)2F(s)s]p1
各系如数，果即F2(：s)＝k０1q具有(q多 1重1)根d !d 时q q ， s 1 1利[用s( 上p 述1)方qF 法(可s)以]s得p1 到
F(s) f(t)estdt 0
F(s) f(t)estdt 0
上式是拉氏变换的定义式。由定义式可知：一个时域
函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的e-st
称为收敛因子，收敛因子中的s=c+jω是一个复数形式的 频率，称为复频率，其实部恒为正，虚部即可为正、为 负，也可为零。上式左边的F(s)称为复频域函数，是时 域函数f(t)的拉氏变换， F(s)也叫做f(t)的F象(s函)数L[。f(记t)作]
2j
2
由 前 面 例L 题 [ej得 t ]出1
sj
L[e- jt ] 1
s j
故 L [st] i1 n (11) 1 s j s j 2 js j s j 2 j s 2 2 s 2 2
同L [理 c to ] ： 1 2 s(s 1 js 1 j)s2 s2
2.微分性质
因 F 1 4 s 为 5 ， F 2 s 2 ： 5 s 6 ， F '2 ( s ) 2 5 s
又由 F 2(s)于 0的根 p1为 2， p23，代入公
k1F F '12((ss))sp1
4s5
3
2s5s2
k2F F'12((ss))sp2
4s5 7 2s5s3
得象函 F (s) 数 3 为 7 s2 s3
什么是拉普拉斯 变换？什么是拉 普拉斯反变换？
已知原函数求象函数 的过程称为拉普拉斯变 换；而已知象函数求原 函数的过程称为拉普拉 斯反变换。
什么是原函数？ 什么是象函数？ 二者之间的关系 如何？
原函数是时域函数， 一般用小写字母表示， 象函数是复频域函数， 用相应的大写字母表示。 原函数的拉氏变换为象 函数；象函数的拉氏反 变换得到的是原函数。
式中L-1[ ]也是一个算子，表示对括号内的象函 数进行拉氏反变换。
在拉氏变换中，一个时域函数f(t)惟一地对应一个 复频域函数F(s)；反过来，一个复频域函数F(s)惟 一地对应一个时域函数f(t)，即不同的原函数和不 同的象函数之间有着一一对应的关系，称为拉氏变 换的惟一性。
注意在拉氏变换或反变换的过程中，原函数一律
+ uR (t)－
时域的电阻电路
+ U R (s)－
复频域的电阻运算电路
可得时到域电条阻件元下件电上阻的电电路压有、u电R=流Ri复R，频把域该关式系进式行为拉：氏变换
UR(s)RR I(s) 显然欧姆定律 同在 样复 成频 立
2.电感元件的运算电路 时域条件下电感电路u、i关系：
iL (t) L
其中m和n为正整数，且n≥m。
把F(s)分解成若干简单项之和，需要对分母多项 式 根作、因共式轭分 复解 根， 和求 重出根F3种2(s情)的况根，。下F面2(s逐)的一根讨可论以。是单
1．F2(s)＝０有n个单根 设n个单根分别为p1、p2、…、pn ，于是F2(s)可以展开为
F(s) k1 k2 kn
L[et]e(s)td t 1
0
s
同理可得f(t)=eαt 的拉氏变换为：
L[et] e(s)td t 1
0
s
求单位阶跃函数f(t)=ε(t)、单位冲激函数f(t)=δ(t)、 正弦函数f(t)=sinωt的象函数。
由拉氏变换定义式可得单位阶跃函数的象函数为
F ( s ) L [( t) ] ( t) e sd t t e sd t t 1 e s t 1
同理可得
k2[s(p2)F (s)s ]p2
……
kn[s(pn)F (s)s ]pn
所求待定系数ki为： 上式中：
k ii 1 [,2 s ,(3 , pi,)n F (s)s]pi
引用另数学外中把的分罗部比展塔开法公则式两，可边得同：乘以(s-pi),再令s→pi，然后
k i s l p i iF 1 m ( s F ) 2 s ( s ( )p i) s l p i i( s m p i) F F ''2 1 ( ( s s ) ) F 1 ( s ) F F '1 2 ( ( p p ii ) )
这样我们又可得到另一求解ki的公式为：
Ki F F '1 2((ss))spi
i1， 2， 3， ， n
待定系数确定之后，对应的原函数求解公式为：
f ( t ) L 1 [ F ( s ) k ] 1 e p 1 t k 2 e p 2 t k n e p n t
求 F(s) 4s5 的原f函 (t)。 数 s25s6
在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计 算，往往采用变换的方法，拉普拉斯变换(简称拉氏变 换)就是其中的一种。
拉氏变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方 法。用拉普拉斯变换分析综合线性系统(如线性电路) 的运动过程，在工程上有着广泛的应用。
12.1 拉普拉斯变换的定义
学习目标：了解拉普拉斯变换的定义，理解原函数、 象函数的概念。
f(t)A1f(t)B2f(t)的象函数为：
F (s) A1 (s F ) B2(s F ),
上式中的A和B为任意常数(实数或复数)。这一性质可 以直接利用拉普拉斯变换的定义加以证明。
求 f1(t)si nt和 f2(t)cots的象函数。
根据欧拉 ejt公 c式 ost： jsi nt可得：
sint ejt ejt , costejt ejt
用小写字母表示，而象函数则一律用相应的大写字 母表示。如电压原函数为u(t)，对应象函数为U(s)。
求指数函数f(t)=e－αt 、 f(t)=eαt (α≥0,α是常数)的
拉普拉斯变换。
由拉氏变换定义式可得
L [e t] e te sd t t e ( s)tdt
0
0
此积分在s>α时收敛，有：
式中L[ ]是一个算子，表示对括号内的函数进行拉 氏变换。电路分析中所遇到的电压、电流一般均为时 间的函数，因此其拉氏变换都是存在的。 如果复频域函数F(s) 已知，要求出与它对应的时域函 数f(t) ，又要用到拉氏反变换，即：
f(t) 1 jF(s)estdt
2j j
该式左边的f(t) 在这里称为F(s)的原函数，此式表 明：如果时域函数f(t)已知，通过拉氏反变换，又 可得到它的象函数F(s)，f记(t)作：L1[F(s)]
+ uL (t) －
时域的电感电路
uL
(t)
L
diL dt
利用拉普拉斯变换的 性质可以很方便地求得一 些较为复杂的函数的象函 数，同时也可以把线性常 系数微分方程变换为复频 域中的代数方程，利用这 些性质课本表12.1中给出 了一些常用的时间函数的 拉氏变换。
利用拉普拉 斯变换的性 质，对解决 问题有何种 效益？
拉普拉斯变换有 哪些性质？
12.3 拉普拉斯反变换
k1 et [e j(t1) ej(t1) ]
2k1 et cos( t 1)
求 F(s) s 的原f函 (t)。 数 s22s5
F2(s)0时p1、 2 1j2为共轭复根，
k 1 F F '1 2 (( s s ))s p 1 2 ss 2s 1 j2 0 .5 j0 .2 5 0 .5ej6 2.6 6
0
0
s 0 s
同理，单位冲激函数的象函数为
F ( s ) L [( t) ] ( t) e sd t t 0 ( t) e sd t e ts ( 0 ) 1
0
0
正弦函数sin ωt的象函数为：
F(s)L[sint] si ntestdt 0
est
s22(ssi ntcost)0 s22
参看课本P175页例题12.6。
在求拉氏反变换的 过程中，出现单根、 共轭复根和重根时 如何处理？
12.4 应用拉氏变换分析线性电路
学习目标：熟悉基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和 运算导纳，掌握应用拉氏变换分析线性电路 的方法。
12.4.1 单一参数的运算电路
1.电阻元件的运算电路
iR (t)
I R (s)
12.2 拉普拉斯变换的基本性质
学习目标：了解拉氏变换的线性性质，微分性质和积分 性质，运用这些性质进行拉氏变换的形式。
拉普拉斯变换有许多重要的性质，利用这些性质可以 很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以 把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程。
1.代数性质 设函 f1(t)和 数 f2(t)的象函 F 1数 (s)和 F 分 2(s)， 则 别函 为
k2k1ej10.5e6 j2.6 6 |k1| =0.56，α=-1,ω=2,θ1=26.6°,所以原函数为
f( t ) 2 k 1 e tco t 1 ) s 1 .( 1 e tc 22 o t 2 . s 6 ) 6 (
3．F2(s)＝０具有重根 可分设解p为1为：F F(2s()s) 的s重k 1p 根2 1 ，(psi 为k1 p 其11 )2 余 单 s根 k(2p i从2 2开 始)，则F(s) k12(，s 则对p 需1 于)2 用单F 下根(s 式) ， ：仍(s 然 采p 1 用)k 1 前 面2k 的1方 1 ( 法s 计p 算1 )。2 要s k 确2 p 定2k 11、
如L[果 f(t)]F(s)则 , f(t)的导 f'(t) 数 d(ft)的拉氏 dt
L [f'(t) ]L [dd (tf)]ts(F s)f(0)
可以证明L[： df(dt)] f '(t)estdt
dt
0
f (t)est f (t)(sest)dt
0
0
f (0)s
f (t)estdt
0
导数性质表明拉氏sF变(s)换把f (0原) 函数求导数的运算
转换成象函数乘以s后减初值的代数运算。如果f(0-)=0，则
有:
L[f'(t)]sF (s)
3.微分性质 (可参看课本172页下至173页上) 课本173页的表12.1为一些常用函数的拉普拉斯变换表， 在解题时可直接套用。
拉普拉斯变换的主要性质有线性性质、微分性质。积分性 质、延迟性质、频移性质等，由课本P173页表12.1表示了 这些性质的具体应用。
sp1 sp2
spn
方式法中确k定1、，k即2、把k3上…式、两kn 边为同待乘定以系数(s-。1(sp 1) s k2 p 2 s kn p n 令s=p1，则等式除右边第一项外其余都变为零，即可求得
k1[s(p1)F (s)s]p 1
第12章 拉普拉斯变换
12.1 拉普 拉斯变换 的定义
12.4 应用 拉普拉斯变换 分析线性电路
12.2 拉普 拉斯变换的 基本性质
12.3 拉普 拉斯反变换
本章教学目的及要求
了解拉普拉斯变换的定义和基本 性质。在熟悉基尔霍夫定律的运算形 式、运算阻抗和运算导纳的基础上， 掌握拉普拉斯变换法分析和研究线性 电路的方法和步骤；在求拉氏反变换 时，要求掌握分解定理及其应用。
得原函 f(t数 )3为 e2t 7e3t
2．F2(s)＝０有共轭复根
设共轭复根为p1=α+jω，p2=α-jω，则
k1F F '1 2((ss))sj，k2F F '1 2((ss))s-j 显然k1、k2也为共轭复数，设k1=|k1| ejθ1，k2=|k1|e-jθ1，则
f (t) k1e(j)t k2e(j)t k1 e j1e(j)t k1 ej1e(j)t
学习目标：了解拉氏反变换解决问题的方法，熟悉拉氏 反变换中的分解定理，学会查表求原函数。
利用拉普拉斯反变换进行系统分析时，常常需要从象 函数F(s)中求出原函数f(t)，这就要用到拉氏反变换。 分解定理：利用拉氏变换表，将象函数F(s)展开为简单分式
之和，再逐项求出其拉氏反变换的方法。
F (s)F 1 (s) a 0 sm a 1 sm 1 a m 1 s a m F 2(s) b 0 sn b 1 sn 1 b n 1 s b n
由上式把k11单独分离出来，可得：
k11(sp1)2F(s)sp1
再对式子中s进行一次求导，让k12也单独分离出来，得：
k12d d[ss(p1)2F(s)s]p1
各系如数，果即F2(：s)＝k０1q具有(q多 1重1)根d !d 时q q ， s 1 1利[用s( 上p 述1)方qF 法(可s)以]s得p1 到