江苏省苏州市高二数学下学期期末试卷文(含解析)

2015-2016学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．设集合A={x|x﹣1＞1}，B={x|x＜3}，则A∩B=．
2．已知复数z=（i为虚数单位），则|z|的值是．
3．若双曲线的离心率为2，则a等于．
4．函数的定义域为．
5．函数f（x）=e x+2x（e是自然对数的底数）的图象在点（0，1）处的切线方程
是．
6．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若27a3﹣a6=0，则= ．
7．“a=1”是“直线l1：ax+y+1=0，l2：（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分也不必要”之一）
8．已知cos（α+）=，则sin（α﹣）的值是．
9．求过两点A（0，4），B（4，6）且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上的圆的标准方
程．
10．已知函数f（x）=，若f（f（﹣2））＞f（k），则实数k的取
值范围为．
11．已知经过点A（﹣3，﹣2）的直线与抛物线C：x2=8y在第二象限相切于点B，记抛物线C的焦点为F，则直线BF的斜率是．
12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=，sinC=2cosB，且
a=4，则△ABC的面积是．
13．已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n（n∈N*），若存在正整数m，n，满足a m2﹣4=4
（S n+10），则m+n的值是．
14．若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是．
二.解答题
15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．
（1）求证：A1B∥平面AFC；
（2）求证：平面A1B1CD⊥平面AFC．
16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个对称轴之间的距离为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若sinα﹣f（α）=，求的值．
17．已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，满足S5﹣2a2=25，且a1，a4，a13恰为等比数列{b n}的前三项
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设T n是数列{}的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1﹣2T k=成立，若
存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
18．如图，某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备，该组合体总高度为8米，圆柱的底面半径为4米，圆柱的高不小于圆柱的底面半径．已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米2百元，制作圆锥侧面的造价为每平米4百元，设制作该存储设备的总费用为y百元．
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设OO1=h（米），将y表示成h的函数关系式；
②设∠SDO1=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你选用其中的一个函数关系式，求制作该存储设备总费用的最小值．
19．如图，已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过过点P（2，
1）．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．
①求x12+x22的值；
②设点B关于x轴的对称点为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率．
20．已知函数f（x）=e x﹣cx﹣c（c为常数，e是自然对数的底数），f′（x）是函数y=f （x）的导函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当c＞1时，试求证：
①对任意的x＞0，不等式f（lnc+x）＞f（lnc﹣x）恒成立；
②函数y=f（x）有两个相异的零点．
2015-2016学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．设集合A={x|x﹣1＞1}，B={x|x＜3}，则A∩B={x|2＜x＜3} ．
【考点】交集及其运算．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，再由B，求出A与B的交集即可．
【解答】解：由A中不等式解得：x﹣1＞1，即A={x|x＞2}，
∵B={x|x＜3}，
∴A∩B={x|2＜x＜3}．
故答案为：{x|2＜x＜3}
2．已知复数z=（i为虚数单位），则|z|的值是 5 ．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．
【解答】解：∵z===．
∴|z|==5．
故答案为：5．
3．若双曲线的离心率为2，则a等于 1 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】先求出b2=3，再由离心率为，得到a的值．
【解答】解：由=1可知虚轴b=，而离心率e=，
解得a=1．
故答案：1．
4．函数的定义域为[1，+∞）．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】首先由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式即可得到原函数的定义域．
【解答】解：由log2（2x﹣1）≥0，得2x﹣1≥1，解得x≥1．
所以原函数的定义域为[1，+∞）．
故答案为[1，+∞）．
5．函数f（x）=e x+2x（e是自然对数的底数）的图象在点（0，1）处的切线方程是
y=3x+1 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求得函数的导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，运用直线的斜截式方程，计算即可得到所求切线的方程．
【解答】解：函数f（x）=e x+2x的导数为f′（x）=e x+2，
可得f（x）的图象在点（0，1）处的切线斜率为k=e0+2=3，
即有图象在点（0，1）处的切线方程为y=3x+1．
故答案为：y=3x+1．
6．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若27a3﹣a6=0，则= 28 ．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】设出等比数列的首项和公比，由已知求出公比，代入等比数列的前n项和得答案．
【解答】解：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，
由27a3﹣a6=0，得27a3﹣a3q3=0，即q=3，
∴=．
故答案为：28．
7．“a=1”是“直线l1：ax+y+1=0，l2：（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分也不必要”之一）
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】先根据两直线垂直，求出a的值，即可判断．
【解答】解：∵直线l1：ax+y+1=0和l2：（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直，
∴a（a+2）﹣3=0，
解得a=﹣3，或a=1，
故实数“a=1”是“直线l1：ax+y+1=0，l2：（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．
8．已知cos（α+）=，则sin（α﹣）的值是．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】利用诱导公式化简所求，结合已知即可计算得解．
【解答】解：∵cos（α+）=，
∴sin（α﹣）=sin（α﹣+﹣）=sin（α﹣）=﹣sin[﹣（α）]=cos（α+）=．
故答案为：．
9．求过两点A（0，4），B（4，6）且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上的圆的标准方程（x﹣4）2+（y﹣1）2=25 ．
【考点】圆的标准方程．
【分析】由圆心在直线x﹣2y﹣2=0上，可设圆心坐标为（2b+2，b），再根据圆心到两点A（0，4）、B（4，6）的距离相等，求出b的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的标准方程．
【解答】解：由于圆心在直线x﹣2y﹣2=0上，可设圆心坐标为（2b+2，b），
再根据圆过两点A（0，4），B（4，6），可得[（2b+2）﹣0]2+（b﹣4）2=[（2b+2）﹣4]2+（b﹣6）2，
解得b=1，可得圆心为（4，1），半径为=5，
故所求的圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2=25，
故答案为：（x﹣4）2+（y﹣1）2=25．
10．已知函数f（x）=，若f（f（﹣2））＞f（k），则实数k的取
值范围为＜k＜4 ．
【考点】分段函数的应用．
【分析】求出f（f（﹣2））的值，根据分段函数的表达式，解不等式即可得到结论．【解答】解：f（﹣2）=，f（4）=（4﹣1）2=32=9，
则不等式等价为f（k）＜9，
若k＜0，由，解得log，
若k≥0，由（k﹣1）2＜9，解得﹣2＜k＜4，此时0≤k＜4，
综上：＜k＜4，
故答案为：＜k＜4
11．已知经过点A（﹣3，﹣2）的直线与抛物线C：x2=8y在第二象限相切于点B，记抛物线C的焦点为F，则直线BF的斜率是﹣．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设B（m，）（m＜0），求得函数的导数，可得切线的斜率，再由两点的斜率
公式，解方程可得m，即有B的坐标，运用两点的斜率公式计算即可得到所求值．
【解答】解：设B（m，）（m＜0），
由y=的导数为y′=，
可得切线的斜率为，
即有=，化为m2+6m﹣16=0，
解得m=﹣8（2舍去），
可得B（﹣8，8），又F（0，2），
则直线BF的斜率是=﹣．
故答案为：﹣．
12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=，sinC=2cosB，且
a=4，则△ABC的面积是8 ．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】利用两角和的正弦函数公式化简sinC=2cosB即可得出sinB，cosB，从而得出sinC，利用正弦定理求出b，代入面积公式即可得出三角形的面积．
【解答】解：∵cosA=，∴sinA=，
∵sinC=sin（A+B）=2cosB，∴sinAcosB+cosAsinB=2cosB，
∴cosB+sinB=2cosB，即sinB=2cosB，∴tanB=2．
∴sinB=，cosB=，∴sinC=2cosB=．
由正弦定理得：，即，∴b=2．
∴S△ABC=absinC==8．
故答案为：8．
13．已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n（n∈N*），若存在正整数m，n，满足a m2﹣4=4
（S n+10），则m+n的值是23 ．
【考点】数列的求和．
【分析】由已知数列的前n项和球星数列的首项和公差，然后将a m2﹣4=4（S n+10）整理成关于m，n的等式，在正整数的范围内求值．
【解答】解：数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，所以数列为等差数列，首项为0，公差为2，所以a m2﹣4=4（S n+10），化简为（m﹣1）2=n（n﹣1）+11，m，n为正整数，
经验证，当m=12，n=11时，等式成立，故m+n=23．
故答案为：23．
14．若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是20 ．
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
【分析】用换元法，设=x， =y，则x≥0，y≥0；求出b与a的解析式，由
a=+2得出y与x的关系式，再根据其几何意义求出a的最大值．
【解答】解：设=x， =y，且x≥0，y≥0；
∴b=x2，4a﹣b=y2，即a==；
∴a=+2可化为=y+2x，
即（x﹣4）2+（y﹣2）2=20，其中x≥0，y≥0；
又（x﹣4）2+（y﹣2）2=20表示以（4，2）为圆心，以2为半径的圆的一部分；
∴a==表示圆上点到原点距离平方的，如图所示；
∴a的最大值是×（2r）2=r2=20
故答案为：20．
二.解答题
15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．
（1）求证：A1B∥平面AFC；
（2）求证：平面A1B1CD⊥平面AFC．
【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．
【分析】（1）连接BD交AC于点O，连接FO，要证A1B∥平面AFC，只需证明直线A1B平行平面AFC内的直线FO即可；
（2）要证平面A1B1CD⊥平面AFC，只需证明平面A1B1CD内的直线B1D垂直平面AFC即可．【解答】证明：（1）连接BD交AC于点O，连接FO，
则点O是BD的中点．
∵点F为A1D的中点，∴A1B∥FO．
又A1B∉平面AFC，FO⊂平面AFC，
∴A1B∥平面AFC．
（2）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
连接B1D．∵AC⊥BD，AC⊥BB1，
∴AC⊥平面B1BD，AC⊥B1D．
又∵CD⊥平面A1ADD1，AF⊂平面A1ADD1，
∴CD⊥AF．又∵AF⊥A1D，
∴AF⊥平面A1B1CD．
∵AC⊥B1D，∴B1D⊥平面AFC．
而B1D⊂平面A1B1CD，
∴平面A1B1CD⊥平面AFC．
16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个对称轴之间的距离为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若sinα﹣f（α）=，求的值．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；同角三角函数基本关系的运用．
【分析】（1）由周期求得ω=1，根据函数f（x）为偶函数，求得φ=，从而求得f
（x）的解析式．
（2）由sinα﹣f（α）=，求得2sinαcosα=，再利用两角差的正弦公式、二倍角
公式化简要求的式子为2sinαcosα，从而得出结论．
【解答】解：（1）由题意函数图象上相邻的两个对称轴之间的距离为π，可得函数的周期为2π=，求得ω=1．
再根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，可得φ=kπ+，k ∈z，
∴φ=，f（x）=sin（x+）=cosx．
（2）∵sinα﹣f（α）=，即sinα﹣cosα=．
平方可得2sinαcosα=，
∴=
==2sinαcosα=．
17．已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，满足S5﹣2a2=25，且a1，a4，a13恰为等比数列{b n}的前三项
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设T n是数列{}的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1﹣2T k=成立，若
存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（II）利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），
∴，
解得a1=3，d=2，
∵b1=a1=3，b2=a4=9，
∴．
（Ⅱ）由（I）可知：a n=3+2（n﹣1）=2n+1．
，
∴=，
∴，单调递减，得，
而，
所以不存在k∈N*，使得等式成立．
18．如图，某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备，该组合体总高度为8米，圆柱的底面半径为4米，圆柱的高不小于圆柱的底面半径．已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米2百元，制作圆锥侧面的造价为每平米4百元，设制作该存储设备的总费用为y百元．
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设OO1=h（米），将y表示成h的函数关系式；
②设∠SDO1=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你选用其中的一个函数关系式，求制作该存储设备总费用的最小值．
【考点】不等式的实际应用．
【分析】（1）分别用h，θ表示出圆锥的侧面积，圆柱的侧面积和底面积，得出y关于h （或θ）的关系式；
（2）求导数，判断函数的单调性，利用单调性求出最小值．
【解答】解：（1）①当OO1=h时，SO1=8﹣h，SC==，
S圆柱底=π×42=16π，S圆柱侧=2π×4×h=8πh，S圆锥侧=π×4×．
∴y=2（S圆柱底+S圆柱侧）+4S圆锥侧=32π+16πh+16π（h≥4）．
②若∠SDO1=θ，则SO1=4tanθ，SD=．∴OO1=8﹣4tanθ．
∵OO1≥4，∴0＜tanθ≤1．∴0．
∴S圆柱底=π×42=16π，S圆柱侧=2π×4×（8﹣4tanθ）=64π﹣32πtanθ，S圆锥侧=π×4×=．
∴y=2（S圆柱底+S圆柱侧）+4S圆锥侧=32π+128π﹣64πtanθ+=160π+64π
（）．
（2）选用y=160π+64π（），则y′（θ）=64π＜0，
∴y（θ）在（0，]上是减函数，
∴当时．y取得最小值y（）=160π+64π×=96π+64π．
∴制作该存储设备总费用的最小值为96π+64π．
19．如图，已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过过点P（2，
1）．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率
分别为k1，k2，且k1k2=﹣．
①求x12+x22的值；
②设点B关于x轴的对称点为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和P的坐标满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得椭圆方程；
（2）①运用直线的斜率公式，可得k1k2==﹣，两边平方，再由点A，B的坐标满足椭圆方程，化简整理即可得到所求值；
②由题意可得C（x2，﹣y2），运用椭圆方程可得y12+y22=，配方可得（y1+y2）2=
（3+4y1y2），（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2=6+8y1y2，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求值．
【解答】解：（1）由题意可得e==， +=1，a2﹣b2=c2，
解得a=，b=，
可得椭圆标准方程为+=1；
（2）①由题意可得k1k2==﹣，
即为x12x22=16y12y22，
又点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，
可得4y12=6﹣x12，4y22=6﹣x22，
即有x12x22=（6﹣x12）（6﹣x22），
化简可得x12+x22=6；
②由题意可得C（x2，﹣y2），
由4y12=6﹣x12，4y22=6﹣x22，
可得y12+y22==，
由x12+x22=（x1﹣x2）2+2x1x2=6，
可得（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2，
由y12+y22=（y1+y2）2﹣2y1y2=，
可得（y1+y2）2=+2y1y2=（3+4y1y2），
由=﹣，即x1x2=﹣4y1y2，
可得（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2=6+8y1y2，
则直线AC的斜率为k AC==±=±．
20．已知函数f（x）=e x﹣cx﹣c（c为常数，e是自然对数的底数），f′（x）是函数y=f （x）的导函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当c＞1时，试求证：
①对任意的x＞0，不等式f（lnc+x）＞f（lnc﹣x）恒成立；
②函数y=f（x）有两个相异的零点．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）求得f（x）的导数，讨论c的范围：当c≤0时，当c＞0时，解不等式即可得到所求单调区间；
（2）①作差可得，f（lnc+x）﹣f（lnc﹣x）=c（e x﹣e﹣x﹣2x），设g（x）=e x﹣e﹣x﹣2x，x＞0，求出导数g′（x），运用基本不等式判断单调性，即可得证；
②求出f（x）的导数，求得单调区间和极小值，且为最小值，判断小于0，即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=e x﹣cx﹣c的导数为f′（x）=e x﹣c，
当c≤0时，f′（x）＞0恒成立，可得f（x）的增区间为R；
当c＞0时，由f′（x）＞0，可得x＞lnc；由′（x）＜0，可得x＜lnc．
可得f（x）的增区间为（lnc，+∞）；减区间为（﹣∞，lnc）；
（2）证明：①f（lnc+x）﹣f（lnc﹣x）
=e lnc+x﹣c（lnc+x）﹣c﹣e lnc﹣x+c（lnc﹣x）+c=c（e x﹣e﹣x﹣2x），
设g（x）=e x﹣e﹣x﹣2x，x＞0，g′（x）=e x+e﹣x﹣2，
由x＞0可得e x+e﹣x﹣2＞2﹣2=0，
即g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，可得g（x）＞g（0）=0，
又c＞1，则c（e x﹣e﹣x﹣2x）＞0，
可得不等式f（lnc+x）＞f（lnc﹣x）恒成立；
②函数f（x）=e x﹣cx﹣c的导数为f′（x）=e x﹣c，
c＞1时，f（x）的增区间为（lnc，+∞）；减区间为（﹣∞，lnc），
可得x=lnc处f（x）取得极小值，且为最小值，
由f（lnc）=e lnc﹣clnc﹣c=c﹣clnc﹣c=﹣clnc＜0，
可得f（x）=0有两个不等的实根．
则函数y=f（x）有两个相异的零点．。