八年级春季班-11-特殊的平行四边形-教师版

初二数学春季班（教师版）

平行四边形在边和角上的特殊性，分别得到菱形和矩形，矩形和菱形在边和角上的特殊性得到正方形．矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．从对称性考虑，平行四边形只是中心对称图形，三种特殊平行四边形都既是中心对称图形又是轴对称图形．计算面积时，菱形和正方形都还能用对角线长的乘积的一半来运算．尤其要掌握当矩形的对角线夹角是60°时，两对角线和较短的边构成的三角形是等边三角形，即较短的边长是对角线长的一半．当菱形两边的较小夹角是60°时，它是由两个等边三角形合成的，可由等边三角形的特殊性来研究．

知识点1：矩形

1. 定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形．

注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法．

2. 性质：

矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质．

特殊的平行四边

内容分析

知识结构

模块一：矩形

知识精讲

(1) 矩形的四个角都是直角；

(2) 矩形的两条对角线相等．

注意：

(1) 矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分．

(2) 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线)．

对称轴的交点就是对角线的交点(即对称中心)．

3. 判定：

矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．

矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．

例题解析

【例1】下列命题中真命题是（）

A．对角线互相垂直的四边形是矩形B．对角线相等的四边形是矩形；

C．四条边都相等的四边形是矩形；D．四个内角都相等的四边形是矩形；【难度】★

【答案】D

【解析】证明矩形的方法有3种：对角线相等的平行四边形是矩形；有一个内角为90°的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．A、B、C都不能证明矩形．【总结】考察矩形的证明方法．

【例2】已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是（）

A．当AB=BC时，四边形ABCD是矩形

⊥时，四边形ABCD是矩形

B．当AC BD

C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形

∠=∠时，四边形ABCD是矩形

D．当ABD CBD

【难度】★

【答案】C

【解析】C答案中，当OA=OB时，可知四边形ABCD的对角线相等，则可得平行四边形ABCD 是矩形．

【总结】考察矩形的证明方法．

【例3】 （1）矩形的两条对角线的夹角为60o ，则对角线与较短边之比是 _________； （2）已知在矩形ABCD 中，AB =2BC ，在CD 上取一点E ，使AE =AB ，则∠EBC =_________． 【难度】★

【答案】（1）2:1；（2）15°．

【解析】（1）矩形的两条对角线的夹角为60o ，可知矩形的两条对角线的一半与较短边可构 成等边三角形，所以对角线与较短边之比是2:1；

（2）∵AB AE =，AD BC =，AB =2BC ， ∴2AE AD =，∴∠AED =30°． ∵AB ∥CD ，∴∠BAE=∠AED =30° ∵AB=AE ，∴∠EBA =75°，∴∠EBC =15°

【总结】考查矩形的性质运用．特别注意几何图形中边角元素之间的转化．

【例4】 矩形的一角平分线分矩形一边为1厘米和3厘米两部分，则这个矩形的面积为

__________平方厘米．

【难度】★★ 【答案】4或12．

【解析】由题意可知，矩形的一边为4厘米，另一边长为1厘米或3厘米，所以矩形的面积 为4或12平方厘米． 【总结】考查矩形性质的应用．

【例5】 如图所示，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，BE AC ⊥于点E ，CF BD ⊥

于点F ，求证：BE =CF ． 【难度】★★ 【答案】见解析．

【解析】∵矩形ABCD ，∴OC OB =．

∵OC OB =，CFO BEO ∠=∠，COF BOE ∠=∠ ∴COF BOE ≌△△，∴BE =CF 【总结】考察矩形的性质的运用．

A

B C D

E

F

O

【例6】 如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =4，P 是AD 上不与A 、D 重合的一动点，

PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，E 、F 为垂足，则PE +PF 的值为 ． 【难度】★★

【答案】12

5

．

【解析】过点D 作DH ⊥AC 于点H ，连接PO

∵矩形ABCD 中，AB =3，AD =4， ∴AC=5，AO=DO

∵DH ⊥AC ， ∴12

5DH =．

∵ADO DPO APO S S S △△△=+，

∴111

222AO PE DO PF AO DH ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ ∴12

5

PE PF DH +==

【总结】考察矩形的性质运用，注意利用面积求出线段长．

【例7】 已知：若从矩形ABCD 的顶点C 作BD 的垂线交BD 于E ，交∠BAD 的平分线于F ． 求证：△CAF 是等腰三角形． 【难度】★★ 【答案】见解析．

【解析】过A 作AG ⊥BD ，垂足为G

∵AG ⊥BD ，∴∠BAG +∠GAD =90° ∵∠ADG +∠GAD =90°，∴∠BAG =∠ADG ∵∠DAC =∠ADG ，∴∠DAC =∠BAG ∵AF 平分∠BAD ，

∴∠BAG ＋∠F AG =∠DAC ＋∠CAF ∵∠DAC =∠BAG ，∴∠F AG =∠CAF

∵AG ⊥BD ，CE ⊥BD ，∴AG ∥EC ，∴∠F =∠F AG ∵∠F AG =∠CAF ，∴∠F =∠CAF ∴CA =CF ，∴△CAF 是等腰三角形

【总结】考查矩形的性质及等腰三角形判定的综合运用．

H

G