05第五讲OLS的性质与拟合优度的测量

小结
• • • • • 1.掌握OLS方程的五个性质及其证明。 2.掌握TSS= RSS + ESS该式成立的证明。 3.掌握估计方程及回归系数的含义。 4..掌握R-squared代表的含义。 5.掌握S.D.dependent var，n-1,TSS,RSS,ESS之间 的数量关系。
注意：分清 4 个式子的关系。 (1) 真实的统计模型，Yt = 0 + 1 Xt + ut
ˆ + ˆ Xt + u ˆt (2) 估计的统计模型， Yt = 0 1
(3) 真实的回归直线，E(Yt) = 0 +1 Xt
ˆ + ˆ Xt ˆ = (4) 估计的回归直线， Y t 0 1
（第2版教材第17页） ˆ OLS估计结果：Y 10 . 7662 0 . 0051 X i i （第3版教材第15页）
拟合优度的测量
拟合优度是指回归直线对观测值的拟合程度。
(Yt - Y
ˆ - Y ) 2 + (Yt - Y ˆ )2 = ( Y ˆ -Y ) 2 + ( u ˆ t )2 ) 2 = (Y t t t

其中
ˆ (Xt - X ) (Yt - Yˆt ) ( Yˆt - Y ) = (Yt - Yˆt ) 1
ˆ (Yt - Y ˆ (Yt - Y ˆ u ˆ ) Xt - X ˆ )= ˆ t Xt = 0 = t t 1 1 1
从上图看出，变量 y 的变异量可以分解为两部分 ，一部分是可 用回归线解释的部分、一部分是不能用回归线解释的部分，而且相 对来说，不被回归线解释的部分越小，散点越是靠近回归线，回归 线越是能够反映x和y的线性关系，我们就说这个回归线越显著。
OLS回归函数的性质
ˆt = 0 (1) 残差和等于零， u
ˆ - ˆ Xt) (-1) = 0 由正规方程 2 (Yt - 0 1
得
ˆ - ˆ Xt) = (Yt - Y ˆ ) = (u ˆt ) = 0 (Yt - t 0 1 ˆ - ˆ Xt) = 0 两侧同除样本容量 T，得 (Yt - 0 1
只需证明
ˆ u ˆ u ˆt = Y ˆt = Y ( Yˆt - Y ) u t ˆt - Y u t ˆt ˆ + ˆ Xt) = ˆ u ˆ u ˆt ( ˆt + ˆ t Xt = 0 = u 0 1 0 1
例题2.1 人均鲜蛋需求量Y与人均可支配收入X关系
Yt：千克 Xt：元 (file: li-2-1)
度量拟合优度的统计量：可决系数（确定系数）
R =
2
RSS 2 (Yt Y ) TSS ˆ Y )2 (Y t
R2的取值范围是 [0，1]。
TSS= RSS + ESS
对于一组数据，TSS是不变的，所以RSS↑（↓），ESS↓（↑）。
TSS: 总平方和（total sum of square ）， RSS：回归平方和（regression sum of squares）， ESS：残差平方和（error sum of squares (sum of squared errors)），
OLS回归函数的性质
ˆ t , Xt) = 0 (4) Cov( u ˆ t = Xt u ˆt - X ( Xt - X ) u ˆt = X u ˆt u
只需证明
ˆ - ˆ Xt) = 0。 ˆ - = Xt ( Y t 0 1
上式为正规方程之一。
ˆ )=0 ˆt ,Y (5) Cov( u t
例题2.1 人均鲜蛋需求量Y与人均可支配收入X关系
(file: li-2-1)
可决系数:
2 2 S . D . ( 11 1 ) ESS RSS TSS ESS 1 . 8450 10 11 . 2033 2 R 0 . 6709 2 2 TSS TSS S . D . ( 11 1 ) 1 . 8450 10
经济类本科生适用
计 量 经 济 学 基 础
（第五讲） 主讲：董树功
天津外国语大学滨海外事学院经济系
一元线性回归模型
模型的建立及其假定条件 最小二乘估计（OLS） OLS回归函数的性质 拟合优度的测量 ˆ 回归参数的显著性检验与置信区间
1
yF 的点预测与区间预测 案例分析 相关系数 EViews操作
ˆ + ˆ Xt 过（ X , Y ）点。 ˆ = (2) 估计的回归直线 Y t 0 1
正规方程
ˆ + ˆ X Y = 0 1
得证。
ˆ =Y 。 (3) yt 的拟合值的平均数等于其样本观测值的平均数， Y t ˆ + ˆ Xt) = ˆ + ˆ X =Y ˆ = 1 ( ˆ = 1 Y 得证。 Y t 0 1 0 1 t T T
TSS= RSS + ESS 总平方和 = 回归平方和 + 残差平方和
2 2 ˆ ˆ Y Y 证明 (Yt - ) = [ (Yt - Y t ) + ( Y t - )]
ˆ )2 + ( Y ˆ - Y )2 + 2 (Yt - Y ˆ ) (Y ˆ -Y ) = (Yt - Y t t t t