湖北省宜昌金东方高级中学2016-2017学年高二数学上学期期中试题 理

宜昌金东方高级中学2016年秋季学期期中考试
高二数学试题（理）
本试题卷共4页，三大题22小题。

全卷满分150分，考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
一、选择题：（ 本大题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题有四个选项，仅有一个选项正确，请把正确选择支填在答题卡上.）
1. 设a 、b 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中不正确的一个是 A ．若,a a αβ⊥⊥则α∥β
B ．若,a b ββ⊥⊥，则a ∥b
C ．若,b a ββ⊥⊆则a b ⊥
D ．若a ∥,b ββ⊆，则a ∥b
2. 某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是
(C)(D)
3. A ．20x y -+= B ．20x y +-= C ．20x y --= D ．20x y ++= 4．已知函数x b x a x x f 223
)1(3
1)(+--=，其中}4,3,2,1{∈a ，}3,2,1{∈b ，则函数)(x f 在R 上是增函数的概率为 A ．
4
1
B ．
2
1
C ．
34
D ．
3
2
5. 某几何体的三视图（单位：cm ）如右图所示，其中侧视图是一个 边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是
A. 32cm 3
cm C. 3
cm D. 33cm
6. 过原点且倾斜角为60︒的直线被圆学22
40x y y +-=所截得的弦长为
A ．2 C D ． 7. 若函数()21=f x x ax x ++
在1,+2⎛⎫
∞ ⎪⎝⎭
上是增函数，则a 的取值范围是 A ．[-1,0] B ．[1,)-+∞ C ．[0,3] D ．[3,)+∞
8. 如图所示的程序框图的运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是
A ．6>k
B ． 7>k
C ．8>k
D ．9>k
9. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()(1)5,()g x f x g x '=++为()g x 的导函数，对任意
x R ∈，总有()2g x x '>，则()24g x x <+的解集为
A ．(),1-∞-
B ．(),1-∞
C ．R
D ．()1,-+∞
10. 函数()2ln(1)1g x x x a =-++-在区间[0,2]上恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为 A ．(22ln 2,1)- B ．(22ln 2,1]- C ．(22ln 2,32ln3)-- D ．(22ln 2,32ln3]-- 11. 如右图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线f(x)=sinx(x ∈(0，π))及直线x=a(a ∈(0，π))与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为16
3
，则a 的值为 A ．
π127 B ．π32 C ．π43 D ．π6
5 12. 已知函数f (x )＝e x
＋x .对于曲线y ＝f (x )上横坐标成等差数列的三个点A 、B 、C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形；②△ABC 可能是直角三角形；③△ABC 可能是等腰三角形；④△ABC 不可能是等腰三角形．其中，正确的判断是
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
二、填空题：（ 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请把答案填在答题卡相应题的横线上.） 13. 若函数21
()ln 12
f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围_______________.
14. 某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 15. 若⊙22
1:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的
切线互相垂直，则线段AB 的长度是
16. 在实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质：①对任意,a b R ∈，a b b a *=*；②对任意
,0a R a a ∈*=；③对任意,a b R ∈，()()()()2a b c c ab a c b c c **=*+*+*-。

则函数
1
()(0)
f x x x x
=*>的最小值为 。

三 、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （10分）某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设x 、y 分别表示化学、物理成绩. 例如：表中化学成绩为B 等级的共有20+18+4=42人.已知x 与y 均为B 等级的概率为0.18.
18.（12分）中国∙黄石第三届国际矿冶文化旅游节在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm ）若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。

（1）根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学院志愿者身高的中位数；
（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
19.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线2
61y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上 （1）求圆C 的方程；
（2）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值.
20. （12分）如图，在四棱锥BCDE A -中，平面⊥ABC 平面
BCDE ,90CDE BED ∠=∠=,2,1,AB CD DE BE AC =====.
（1）证明：⊥DE 平面ACD ; （2）求二面角E AD B --的大小
21. （12分）已知函数()ln k
f x e x x
=+
（其中e 是自然对数的底数，k 为正数） （1）若()f x 在0x 处取得极值，且0x 是()f x 的一个零点，求k 的值； （2）若(1,)k e ∈，求()f x 在区间1[,1]e
上的最大值.
22. （12分）已知函数22
1()ln ,(),,2
f x x mx
g x mx x m R =-=+∈令()()()F x f x g x =+. （1）当1
2
m =
时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数．．m 的最小值；
（3）若2m =-，正实数12,x x 满足1212()()0F x F x x x ++=，证明：121
.2
x x +≥
17、解：（Ⅰ）依题意，18.0=n
，得100=n （Ⅱ）由
3.0100
97=++a
，得14=a .
∵100654182097=++++++++b a ，∴17=b
18. 解：（1）根据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为：
5.1682
169
168=+. （2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，
∴按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为85220⨯
=人，“非高个子”为12
5320
⨯=人；
则至少有1人为高个子的概率P ＝1－23257
10
C C =
19、（Ⅰ）曲线2
61y x x =-+与坐标轴的交点为（0,1）（3）0,22± 故可设圆的圆心坐标为（3，t ）则有()
()221-t 3
2
2
2
=
+
+
t
2
解得t=1,则圆的半径为()
3132
2
=+-t .
所以圆的方程为()()22
9x 3y 1+=--.
（Ⅱ）设A(),1
1
y x B (),2
2
y x 其坐标满足方程组
0x y a -+=
()()9132
2
=+--y x
消去y 得到方程012)82(2
2
2
=+-+-+a x a a x
由已知可得判别式△=56-16a-4
a
2
>0
由韦达定理可得a x x -=+421，2
122
21+-=
a a
x x ①
由OA OB ⊥可得
.02
12
1
=+y
y x x 又11
a y x =+，a x
y +=
2
2
.所以
20)(2
2121=+++a x x x x a ②
由①②可得a=-1,满足△>0，故a=-1
20、（I ）在直角梯形BCDE 中，由1DE BE ==，2CD =
得，
BD BC ==
由2A C ==，
则2
2
2
AB AC BC =+，即AC BC ⊥，又平面⊥ABC 平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE ，所以AC DE ⊥，又DE DC ⊥，从而DE ⊥平面ACD ； （II ）方法一：作BF
AD ⊥，与AD 交于点F ，过点F 作FG DE ，与AE 交于点G ，连结BG ，
由（I ）知，DE AD ⊥，则FG AD ⊥，，所以BFG ∠是二面角E AD B --的平面角，在直角梯形BCDE 中，由2
2
2
CD BD BC =+，得BD BC ⊥，又平面⊥ABC 平面BCDE ，得BD ⊥平面
ABC ，从而，BD AB ⊥，由于AC ⊥平面BCDE ，得：AC CD ⊥，在R t A C D 中，由2CD =
，AC =
，得AD =
4
6
8
10
12
14
16
E
A
在Rt AED 中，1DE
=，AD =
得AE =在R t A B D
中，BD =2AB =，AD =得BF =
23AF AD =，从而2
3
GF =，在,ABE ABG 中，利用余弦定理分别可得
2cos ,143BAE BG ∠==，在BFG
中，222cos 22
GF BF BG BFG BF GF +-∠==⋅，所以
6
BFG π
∠=
，即二面角E AD B --的大小是
6
π
． 方法二：以D 为原点，分别以射线,DE DC 为,x y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -如图所示，由题意可知各点坐标如下：()()(
)(()0,0,0,1,0,0,0,2,0,,1,1,0D E C A B ，设平面
ADE 的法向量为()111,,m x y z =，平面ABD 的法向量为()222,,n x y z =
，可算得
(0,2,AD =-，(
)(1,1,0,1,2,DB AE ==-，由00m A D m A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
得，11111020
20
y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，
可取(0,1,m =，由0
n AD n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
得，22220200y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，可取(1,1,2n =，于是
3cos ,m n m n m n
⋅〈〉=
=
，由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角E AD B --的大小是6
π
． 4
6
8
10
12
14
1618
21、（1）由已知得0()0f x '=，即
020
0=-x k x e 0,k x x ∴=又0()0f x =即ln 0,1k
e e k e +=∴=
（2）22()
()k
e x e k e
f x x x x -'=-=，11,1k k e e e <∴≤≤≤，由此得1(,)k x e e
∈时，()f x 单调递减；(,1)k x e ∈时()f x 单调递增，故max 1()(),(1)f x f f e ⎧⎫
∈⎨⎬⎩⎭
又1(),(1)f ek e f k e =-=，当,ek e k ->即
1e k e e <<-时max 1
()()f x f ek e e
==-
当ek e k -≤即11
e
k e <<-时，max ()(1)f x f k ==
22、解：⑴2
1(),0,2
f x lnx x x =->211()(0)x f x x x x x -'=-=> ……………………2分
由()0,f x '>得210,x ->又0,x >所以01x <<．所以()f x 的单增区间为(0,1). ………4分 （2）方法一：令21
()()(1)(1)1,2
G x F x mx lnx mx m x =--=-+-+
所以21(1)1
()(1)mx m x G x mx m x x
-+-+'=-+-=．
当0m ≤时，因为0x >，所以()0G x '>．所以()G x 在(0,)+∞上是递增函数， 又因为213
(1)11(1)120,22
G ln m m m =-⨯+-+=-+>
所以关于x 的不等式()1G x mx ≤-不能恒成立． ………………………6分
当0m >时，2
1
()(1)(1)1
()m x x mx m x m G x x
x
-
+-+-+'==-
． 令()0,G x '=得1x m =
，所以当1(0,)x m ∈时，()0;G x '>当1
(,)x m
∈+∞时，()0G x '<． 因此函数()G x 在1(0,)x m ∈是增函数，在1
(,)x m
∈+∞是减函数．
故函数()G x 的最大值为2111111
()()(1)1ln .22G ln m m m m m m m m
=-⨯+-⨯+=- …………8分
令1()ln ,2h m m m =
-因为11
(1)0,(2)20,24
h h ln =>=-< 又因为()h m 在(0,)m ∈+∞上是减函数，所以当2m ≥时，()0h m <．
所以整数m 的最小值为2． ……………10分 方法二：⑵由()1F x mx ≤-恒成立，得21
12
lnx mx x mx -+≤-在(0,)+∞上恒成立．
问题等价于2
1
12
lnx x m x x ++≥
+在(0,)+∞上恒成立．
令2
1
()12
lnx x h x x x ++=
+，只要max ()m h x ≥． ……………………6分
因为221
(1)()
2(),1()2
x x lnx h x x x +--'=
+令()0,h x '=得102x lnx --=．
设1()2x x lnx ϕ=--，因为11
()02x x ϕ'=--<，所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递减，
不妨设1
02
x lnx --=的根为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0;h x '>当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '<．
所以()h x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．
所以0
00max
020*********()()11(1)22
x lnx x h x h x x x x x x +
++====++． …………………8分 因为111
()20,(1)0242ln ϕϕ=->=-<
所以01 1.2x <<此时max 0
1
12,()(1,2).g x x <<∈所以2,m ≥即整数m 的最小值为2 …… 10分
（3）当2m =-时，2(),0F x lnx x x x =++>
由1212()()0,F x F x x x ++=即22
111222120lnx x x lnx x x x x ++++++=
从而212121212()()()x x x x x x ln x x +++=⋅-⋅ ……………………13分 令12,t x x =⋅则由()ln t t t ϕ=-得，1
()t t t
ϕ-'=
可知()t ϕ'在区间（0，1）上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增。

所以()(1)1,t ϕϕ≥= 所以21212()()1,x x x x +++≥
即12x x +≥成立. ………………………14分。