河北省邯郸市大名一中2020届高三数学11月月考试题理

河北省邯郸市大名一中2020届高三数学11月月考试题 理
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{
}
2
40A x x x =∈-≤N ,{
}
2
20R B x x x =-->ð,则=B A ( )
A.{}43210，，，，
B.{}3210，，，
C.{}210，，
D.{
}21， 2.已知复数z 满足z
z-i i
=-,其中i 为虚数单位,则z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.2"3"x >是2"log 1"x >的( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
4.
5.已知8.02=a ,0.3
12b -⎛⎫= ⎪⎝⎭
,5ln 2
1
=
c 则c b a ,,的大小关系为 ( ) A.c a b ＜＜
B.a b c ＜＜
C.b a c ＜＜
D.c b a ＜＜
6.函数3
()x x
x f x e e
-=-的大致图象为( )
7.已知函数()()2
2
344,
34x x f x lo x g x -⎧-<⎪=⎨+⎪⎩，≥，，若()5f m =,则()30f m -= ( )
A.107
3
-
B.
107
3
C. 107
27
-
D.
107
27
8.在ABC △中,记=AB a ,=AC b ,2,AB
=ABC=
4
π
∠,AD 是边BC 的高线
,O 是线段AD 的中点,则AO = ( )
A.
b a 3
1
21+ B.b a 2
1
31
+
C.b a 4
1
31+
D.b a 6
1
31+
9.
10.已知在平面直角坐标系
中,(1,0),(0,1),(3,0),(0,0),A B C P -,1,PQ PA PB λμλμ=++=且||1CD =,
||PQ PD -的最小值是 ( )
A.
2
1
D.
11
12.设函数2
,3()12,3
x x f x x e x ⎧>⎪=-⎨⎪-<⎩,若函数2
()()g x f x mx =+有两个极值点,则实数m 的取值
范围是( )
A.3(,)26e e
B.3(,)26e e -
C.3(,)62e e -
D.3(,)62
e e
--
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.
14.已知向量||||2==a b ,若3+=-a b a b ,则2+=a b _____________.
15.若直线y kx b =+既是曲线ln 2y x =+的切线,又是曲线ln 3y x =+（）的切线,则b=_____________.
16.在ABC △中,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边,D 是AB 上的三等分点(靠近点A ),且
1CD =,()()()sin sin sin a b A c b C B -=+-,则2a b +的最大值是____________
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答. 17
18.(12分)
在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且2222
.b c a b cosA abcosB ＋－＝＋
(Ⅰ)求角A 的大小；
(Ⅱ)已知ABC ∆的外接圆半径R 求ABC ∆的周长l 的取值范围.
20（本小题共12分）
21（本小题共12分）
已知函数()()x f xe x R x =∈，e 为自然对数的底数． （Ⅰ）求证：当1x >时，
()
12ln 11
f x x x x ->---；
（Ⅱ）若函数()2
1()()12
g x f x a x =-
+有两个零点，求实数a 的取值范围．
数学(理科)答案详解
一、单项选择(共60分,12小题)
1.C 【解题思路】因为集合{}
{}4,3,2,1,0042
=≤-∈=x x x A N ,集合
{}
{}21022≤≤-=≤--=x x x x x B ,所以{}210，，=B A .故选C.
2.B 【解题思路】由题意z
z-i i
=-,2z iz i =-+,(1)1i z +=-, ∴11(1)111z 1(1)(1)222----+=
===-+++-i i i i i i ,在复平面对应的点为11
(,)22
-, 故z 在复平面内对应的点位于第二象限,故选B.
3.C 【解题思路】由23x >
可得x x ><
设集合A=(,(3,)-∞+∞.
由2log 1x >可得2x >,设集合B=(2,)+∞,显然集合B 是A 的真子集,故2"3"x >是
2"log 1"x >的必要不充分条件.故选C.
4 . A
5.B 【解题思路】∵a b ==⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=-8.03.03
.02221＜,
∴a b ＜＜1.又∵1ln 5ln 5ln 2
1
===
e c ＜, ∴a b c ＜＜.故选B.
6.D 【解题思路】由33
()()()x x
x x x x f x f x e e e e
----===--可知,()f x 为偶函数,排除B 、C; 因为311(1)1
(1)11f e e e e
-===<--
,所以排除A,故选D. 7.C 【解题思路】24,
()5345-<⎧=⇔⎨-=⎩m m f m 或()2
4,35,m log m ≥+=⎧⎨⎩
解得4,m 4,429,
≥(舍去)或<⎧⎧⎨
⎨==⎩⎩m m m 所以29m =,故()()3
1073013427f m f ---=-=-=.
故选C.
8.D 【
解题思路】由题意易得
由得1
BD=BC 3
,
1111111111()()[()]+2223233636
AO AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =
=+=+=+-==a +b
9.
10.C 【解题思路】由,1PQ PA PB λμλμ=++=且知,Q 在AB 所在的直线上,又
:1=+AB l y x ，且||||PQ PD DQ -=,即D 到Q 的距离的最小值为||-PQ PD 的最小值，又
D 是以(3,0)C 为圆心,1为半径的圆上的点,那么点D 到点Q 的距离的最小值,就可以看成圆
C 上的点到直线AB l 距离的最小值,即圆心到直线AB l 的距离d 减去半径.又
d =
=所以min
||1PQ PD -=,故选C.
11.
12.A 【解题思路】当3>x 时,21
2
)(mx x x g +-=,所以mx x x g 2)1(2)('2
+--=.令0)('=x g ,得2)1(1-=
x x m ,设()2)1(1
-==x x x t y ，所以()x t y =在),3(+∞上单调递减,所以当
1210<
<m 时,有一个极值点;当0≤m 或12
1
≥m 时,无极值点;当3<x 时,2
2)(mx e x g x
+-=,所以mx e x g x
2)('+-=.令0)('=x g ,因为0=x 不是极值点,所以
x e m x =2,记x e x h x =)(.因为2
)
1()('x
x e x h x -=,所以)(x h y =在)0,(-∞和)1,0(上单调递减,在)3,1(上单调递增,所以当0<m 时,有一个极值点;当2
0e
m ≤
≤时,无极值点;当623e m e <<时,有两个极值点.综上所述,实数m 的取值范围是)6
,2(3
e
e ,故选A ．
14.2【解题思路】由2==a b ,3+=-a b a b 得22
(3)()+=-a b a b ,解得4⋅=-a b ,所
以22+====a b
15.3
1+ln
2
【解题思路】设直线:=+l y kx b ,l 与曲线ln 2y x =+相切于点11,ln (2)x x ＋,则l 的方程为111
1
ln )2=
(y x x x x ---,设l 与曲线(3)y ln x =＋相切于点22ln )3(()x x ,＋，则l 的方程为2221l ()()n 33y x x x x -+-+＝，所以12212
21131ln ln(3)3，，
⎧
=⎪+⎪⎨
⎪+=-++⎪+⎩x x x x x x 解得132x =
,232x =-,所以2,3k =设l 与曲线ln 2y x =+相切于点33
(,ln 2)22
+,即233ln 2322b ⨯+=+,即3 1ln 2
b +＝.
16.解题思路】由()()()B C b c A b a sin sin sin -+=-及正弦定理得
()()()b c b c a b a -+=-,整理得C ab ab c b a cos 2222==-+,所以2
1cos =C .因为
π＜＜C 0,所以3
π
=
C ,因为点
D 是边AB 上靠近点A 的三等分点,所以
21
33
=+CD CA CB ,
两边同时平方得C ab a b cos 94
9194122++=,整理得9242
2=++ab b a ,即
()9222922
2+⎪⎭
⎫
⎝⎛+≤⨯+=+b a b a b a ,当且仅当32==b a 时取等号,解得322≤+b a ,
所以b a 2+的最大值是32. 17
18.解:(Ⅰ)因为2222,b c a b cosA abcosB -＋＝＋
所以222cos cos 22b c a b A a B bc c
+-+=
, 所以osA bcosA acosB ＝＋ (2分) 由正弦定理得
2.()sinCcosA sinBcosA sinAcosB sin A B sinC ＝＋＝＋＝ (4分)
因为0sinC ≠，所以1
2
cosA ＝. 又因为0A π<<,所以A=3
π
. (6分)
(Ⅱ)因为
2sin a
R A
＝，
所以233
＝＝＝π
a RsinA . (8分)
由余弦定理可得2222＝＋-a b c bccosA , 即bc c b -+=229,
所以2
2
2
2
23
93()()4
)(＝＋＝＋＋＋，--≥-
b c bc b c bc b c b c (10分) 解得6b c ≤＋，又3b c >＋，故69.l <≤ (12分) 19
20
21.（1）设1(1)
()ln 21ln 211
x f x h x x x e x x x --=+-+=+-+-(1)x >………………（1分） ∴1
1
()2x h x e
x -'=+-， ∴1
21
()x h x e
x
-''=-
…………………（2分） ∵1x > ∴1
1x e ->，2101x <
< ∴
1
2
1()0x h x e x -''=-> ∴()h x '在(1,)+∞上单调递增，…………………（3分） 又(1)0h '=
∴1x >时， ()(1)0h x h ''>= ∴1
()ln 21x h x e
x x -=+-+在(1,)+∞上单调递增，…………………（4分）
又(1)0h =
∴1x >时， ()(1)0h x h >=
故当1x >时，
()
12ln 11
f x x x x ->---；…………………（5分） （2）∵()21()12
x
g x xe a x =-
+
∴()()()()()111x x g x x e a x x e a '=+-+=+-，
①当0a =时，易知函数()g x 只有一个零点，不符合题意；…………………（6分） ②当0a <时，在(),1-∞-上，()0g x '<，()g x 单调递减；在()1,-+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增；又()110g e
-=-<，且()120g e a =->， 不妨取4b <-且ln()b a <-时，ln()22111()(1)(2)0222
a g
b be a b a b b ->-+=-++> 【或者考虑：当x →-∞，()g x →+∞】…………………（8分）
所以函数()g x 有两个零点．
③当0a >时，由()()()10x g x x e a '=+-=得1x =-或ln x a =
（i ）当ln 1a =-即1a e =
时，在(),-∞+∞上， ()0g x '≥成立，故()g x 在(),-∞+∞上单调递增，
所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．…………………（9分）
（ii ）当ln 1a <-即10a e <<
时，在(),ln a -∞和()1,-+∞上， ()0g x '>，()g x 单调递增；
在()ln ,1a -上()0g x '<，()g x 单调递减；
又()110g e -=-<，且()()()
2211ln ln ln 1ln 1022g a a a a a a a =-+=-+<， 所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．…………………（10分）
（iii ）当ln 1a >-即1a e
>时，在(),1-∞-和()ln ,a +∞上()0g x '>，()g x 单调递增；在()1,ln a -上()0g x '<，()g x 单调递减；又()110g e
-=-<，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．…………………（11分）
综上所述：实数a 的取值范围是(,0)-∞．…………………（12分）。