浙教版九上1.3二次函数的性质

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
根据图形填表：
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
开口方向
向上
向下
顶点坐标 对称轴 增减性 最值


b 2a
,
4ac 4a
b2

直 线x b 2a
当x


b 2a
时
,
y随着x的增大而减小.
当x b 时 , y随着x的增大而增大.
-1
当x ≥-2 时,y随着x的增大而增大. 直线x=-2 -2
(2)抛物线 y 1 x2 x 2，当自变
-3
4
-4
量X增大时，函数值y将怎样变化？
-5
先增大，后减小.
1 2 3 4 5X
y 1 x2 x 2 4
当x ≤2 时,y随着x的增大而增大 思考：二次函数的增
对称轴
直线x b
增大而增大；
2a
y达到最大值：
4ac b2 y
顶点坐标 当
4a
时，y随x的


b 2a
,
4ac 4a
b2

增大而减小.
无最小值.
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴
位置
y=ax2+bx+c(a>0)


b 2a
,
4ac 4a
b2

直 线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向 增减性 最值
向上
当x b 时
2a 当x b 时
2a
当x ≥2 时,y随着x的增大而减小. 减性由什么确定的？
新知探索
根据右边已画好的函数图象填空： (1)抛物线 y 1 x2 2x 1 的
2
顶点是图象的最 低 点。
Y
5
4 y 1 x2 2x 1
3
2
2
该函数有没有最大值和最小值？
1
当x=_-_2__时,y有最_小__值=__-_1___ -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 X -1
2a


b 2a
,
4ac 4a
b2

直 线x b 2a
当x


b 2a
时
,y随着x的增大而增大.
当x b 时, y随着x的增大而减小.
2a
当x b 时, y有最大值 4ac b2
2a
4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
条件
图象
增减性
当 x ＜ -1或x ＞3 时，y ＞ 0.
等等
y 2x 1
2x 1 x2 6x 4
y 2x1

y


x2

6x

4
y x2 6x 4
数形结合 转化思想
y1 2x 1
当x为何值时，y1＞ y2 ？ X＜1或X＞3
y2 x2 6x 4
(-1,0) o
(3,0) x
（4）对称轴：直线x = 1 （5）顶点坐标（1，-4）
(0,-3)
（6）当x = 1时， y有最小值 4
（7）当x≥1，y 随 x 增大而增大； （8）当x = -1 或 3 时，y = 0 ；
当x≤1 ，y 随 x 增大而减小.
当-1 ＜x ＜3 时，y ＜ 0 ；
最大(小)值
Y
当
时，y随x的 当 x b 时，
2a
对称轴
直线x b
增大而减小；
y达到最小值：
a>0
2a
o
X 顶点坐标 当
时，y随x的
y 4ac b2 4a


b 2a
,
4ac 4a
b2

增大而增大.
无最大值.
Y
当
时，y随x的
当x
b 时， 2a
a<0
o
X
y
o
x
数形结合
已知二次函数 y ax2 bx c 图象，尽可能多的
说出一些结论.
（1）a >0，b < 0， c ＜ 0.
y x 1
（2） b2 4ac 0
(3) 函数解析式： y (x 1)(x 3)
即 y x2 2x 3
或 y (x 1)2 4
, y随着x的增大而减小.
当x

2ab
时,最大值 为4ac
b2
2a
4a
新知运用
1、判断二次函数图象y=x2-3x+2与x轴是否有交点,若 有请求出交点的坐标.
2、已知函数
y


1 2
x2

7
x

15 2
⑴求出函数图象的顶点坐标、对称轴、以及图象与坐
标轴的交点坐标.
(2)你能画出这个函数的大致图象吗?
• 当b2-4ac＞0时，有2个交点； • 当b2-4ac=0时，只有1个交点； • 当b2-4ac ＜ 0时，没有交点。
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 象如图所示， 则a、b、c的符号为__________.
y
o
x
练一练：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、 b2-4ac的符号：
函数
y


1 2
x2

7x

15 2
的大致图象画法如图：
(-7,32) y
“五点法” 画抛物线
(-14,7.5)
(-15,0)
-7
y 1 x2 7x 15
2
2
(0,7.5) 0 (1,0) x
二次函数图象与坐标轴的交点
• 与y轴的交点: 一个,坐标为(0，c) • 与x轴的交点:
对称轴是 直线x=2 .
新知探索
根据右边已画好的函数图象回答问题： (1)抛物线 y 1 x2 2x 1 ，当自变
2
量X增大时，函数值y将怎样变化？ 先减小，后增大.
Y
5
4 y 1 x2 2x 1
3
2
2
1 直线x=2
当x ≤-2 时,y随着x的增大而减小 -5
-4
-3
-2
-1 O
(2)抛物线 y 1 x2 x 2 的
4
顶点是图象的最 高 点。
-2 -3 -4
-5 y 1 x2 x 2 4
该函数有没有最大值和最小值？ 当x=__2__时,y有最_大__值=__-_1___
思考：函数最大值或
最小值由什么确定的？
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
课前热身
根据要求填空：
(1)抛物线
对称轴是
直线x b 2a
的顶点坐标是


b 2a
,
4ac 4ab2源自,.(2)抛物线 y 1 x2 2x 1 的顶点坐标是 (-2,-1) , 2
对称轴是 直线x=-2 .
(3)抛物线 y 1 x2 x 2的顶点坐标是 (2, -1) , 4
,y随着x的增大而减小. , y随着x的增大而增大.
当x b 时,最 小 值 为4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)


b 2a
,
4ac 4a
b2

直 线x b
2a
由a,b和c的符号确定
向下
当x b 时 ,y随着x的增大而增大.
2a 当x b 时