2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟数学试卷(4月)(三)-学生用卷

2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟数学试卷
（4月）（三）-学生用卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、【来源】 2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟（4月）（三）第1题5分已知集合A={x|x⩽3}，B={x|x2⩽16}，则A∪B=（）．
A. [−4,4]
B. [−4,3]
C. (−∞,4]
D. (−∞,3]
2、【来源】 2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟（4月）（三）第2题5分
若命题p：∃x0∈[0,π
2]，1
2
x0⩾sin⁡x0，则¬p为（）．
A. ∀x∈[0,π
2]，1
2
x⩾sin⁡x
B. ∃x0∈[0,π
2]，1
2
x0<sin⁡x0
C. ∀x∈[0,π
2]，1
2
x<sin⁡x
D. ∃x0∉[0,π
2]，1
2
x0⩾sin⁡x0
3、【来源】 2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟（4月）（三）第3题5分
若等比数列{a n}满足a1+a2+a3=3
2，且a1a2a3=1
8
，则a3+a4+a5+a6=（）．
A. 3
2B. 2 C. 5
2
D. 3
4、【来源】 2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟（4月）（三）第4题5分已知a→，b→，c→是平面上的三个向量，且a→，b→不共线，若c→满足(b→⋅c→)a→=(c→⋅a→)b→，则（）．
A. c→=0
B. |c→|=1
C. c →=a →
+b →
D. c →=a →−b →
5、【来源】 2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟（4月）（三）第5题5分 若函数f(x)的定义域为R ，且函数f(x)+2x 是偶函数，函数f(x)+x 2是奇函数，则f(1)=（ ）． A. −3
B. −1
C. 1
D. 3
6、【来源】 2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟（4月）（三）第6题5分 设a =log 6⁡3，b =ln⁡π，c =142
3
则（ ）．
A. a <c <b
B. b <a <c
C. c <b <a
D. c <a <b
7、【来源】 2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟（4月）（三）第7题5分 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．这个原理能够帮助人们计算3D 打印时的材料耗费问题．3D 打印属于快速成形技术的一种，是将粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层喷涂，逐渐堆叠累积的方式来构造物体的技术，可以用来制造结构复杂的物件．根据祖暅原理，对于3D 打印制造的零件，如果能找到另一个与其高相等，并在所有等高处的水平截面的面积均相等的几何体，就可以通过计算该几何体的体积得到打印的零件的体积．现在要用3D 打印技术制造一个零件，其高为
ℎ的水平截面的面积为S(ℎ)=π(4−ℎ2)（0⩽ℎ⩽2），则该零件的体积为（ ）．
A. 4π
3 B. 8π3 C. 16π
3 D.
32π3
8、【来源】 2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟（4月）（三）第8题5分
函数f(x)=2sin⁡(ωx+φ)（ω>0,−π
2
<φ<π
2
）的部分图象如图中实线所示，点C是曲线y=
f(x)的一个对称中心，以C为圆心的圆与y=f(x)相交于M，N两点，且M在y轴上，则函数f(x)图象的一条对称轴为（）．
A. x=−5π
6
B. x=−11π
12
C. x=11π
12
D. x=11π
6
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、【来源】 2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟（4月）（三）第9题5分为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其全部低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法正确的是（）．
A. 该市总有15000户低收入家庭
B. 在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户
C. 失无业人员和协保人员一共占据了低收入家庭一半以上
D. 小于18岁的幼童占据了老弱病残一类的一半以下
10、【来源】 2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟（4月）（三）第10题5分
已知复数z=1+1+i 2021
1−i
（i为虚数单位），则下列说法正确的是（）．
A. z的实部为1
B. z的虚部为−1
C. |z|=√2
D. z=1+i
11、【来源】 2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟（4月）（三）第11题5
分
已知抛物线E:x2=4y与圆C:x2+(y−1)2=16的公共点为A，B，点P为圆C的劣弧AB⌢上不同于A，B的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线l交抛物线E于点N，则下列四个命题中正确的是
（）．
A. |AB|=2√3
B. 点P纵坐标的取值范围是(3,5]
C. 点N到圆心C距离的最小值为1
D. 若1不经过原点，则△CPN周长的取值范围是(8,10)
12、【来源】 2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟（4月）（三）第12题5
分
已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，点M是棱A1D1的中点，点P在面ABCD内（包含边界），且MP=2√5，则（）．
A. 点P的轨迹的长度为2π
B. 存在P，使得MP⊥A1C
C. 直线MP与平面BDD1B1所成角的正弦值的最大值为√5
5
D. 沿线段MP的轨迹将正方体ABCD−A1B1C1D1切割成两部分，挖去体积较小部分，剩余部分几何体的表面积为88+2(√5−1)π
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、【来源】 2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟（4月）（三）第13题5分
已知一场足球比赛中，队员甲进球的概率为0.4，队员乙进球的概率为0.3，这两名队员是否进球相互独立，则同一场比赛中他们两人至少有一人进球的概率为．
14、【来源】 2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟（4月）（三）第14题5分
已知正实数x，y满足x−2y=1，则8
x
+y的最小值为．
15、【来源】 2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟（4月）（三）第15题5分
椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点，焦点是光线的聚集点．如图1，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图2，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆C与双曲线C′构成，一条光线从F1发出，依次经过C′与C的反射，又回到F1，历时m秒；若将装置中的C′去掉，则该光线从F1发出，经过C两次反射后又回到F1，历
时n秒，若C与C′的离心率之比为1
2，则
m
n
=．
16、【来源】 2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟（4月）（三）第16题5分
若函数f(x)=log a ⁡
(ax 2−4x +5)(a >0,a ≠1)在(1,2)上单调递增，则a 的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、【来源】 2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟（4月）（三）第17题10分
如图，四边形ABCD 中，AB//CD ，AB =2√6，CD =√6，cos⁡A =√6
3
，cos⁡∠ADB =1
3
．
(1) 求cos⁡∠BDC ． (2) 求BC ．
18、【来源】 2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟（4月）（三）第18题12分
如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为AA 1的中点．
(1) 若点N 满足2ND 1→=D 1D →
．求证：N ∈平面MBC 1． (2) 求平面MBC 1 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．
19、【来源】 2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟（4月）（三）第19题12分
已知数列{a n }满足a 1+3a 2+5a 3+⋯+(2n −1)a n =n ，n ⩾1． (1) 求数列{a n }的通项公式．
(2) 在①b n =(a n ⋅a n+1)2
⋅8n ，②b n =2n
a n
，③b n =
(−1)n
a n
三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．
若 ，求数列{b n }的前n 项和T n ．
20、【来源】 2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟（4月）（三）第20题12分
某公司欲对其开发的一款产品进行改造升级，根据市场调研与模拟，得到改造升级投入x （亿元）与改造升级直接收益y （亿元）的数据统计如下：
当0<x ⩽17时，建立了y 与x 的两个回归模型： 模型①y ^
=4.1x +11.8；模型②y ^
=21.3√x −14.4． 当x >17时，确定y 与x 的线性回归方程为③y ^
=−0.7x +a ．
(1) 根据下列表格中的数据，比较当0<x ⩽17时模型①、②的相关指数R 2的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测改造升级的投入为17亿元时的直接收益．
（附：刻画回归效果的相关指数R 2=1−
∑n i=1
(y i −y ^
i )2∑n i=1
(y i −y)2
，√17≈4.1．）
(2) 为鼓励技术创新，当改造升级的投入不少于20亿元时，当地政府给予公司补贴5亿元，以回归模型②和方程③为预测依据，比较改造升级投入17亿元与20亿元时，公司实际收益的大小． （附：用最小二乘法求线性回归方程y ^
=b ^
x +a 的系数公式b ^
=
∑n i=1
x i y i −nx⋅y
∑n i=1
x i 2
−nx
2=
n i=1
i −x)(y i −y)∑n (x −x)2
，
a =y −
b ^
x ）
21、【来源】 2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟（4月）（三）第21题12分
已知点M (−1,m )(m >0)，不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C:
x 2
4
+
y 23
=1相交于A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)
两点．
(1) 若M 为线段AB 的中点，证明：y 2−y 1
x
2−x 1
>1
2．
(2) 设C 的左焦点为F ，若M 在∠AFB 的角平分线所在直线上，且l 被圆x 2+y 2=4截得的弦长为
2√3，求l 的方程．
22、【来源】 2021年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三下学期高考模拟（4月）（三）第22题12分
已知函数f (x )=ln⁡
(x +1)，g (x )=e x−1 (1) 若直线l ：y =kx +b 既是曲线y =f (x )的切线，也是曲线y =g (x )的切线，求直线l 的方程． (2) 证明：xln⁡x <e x −x 2−1（参考数据：0.69<ln2<0.7）
1 、【答案】 C;
2 、【答案】 C;
3 、【答案】 B;
4 、【答案】 A;
5 、【答案】 A;
6 、【答案】 D;
7 、【答案】 C;
8 、【答案】 B;
9 、【答案】 A;B;
10 、【答案】 A;C;
11 、【答案】 B;C;D;
12 、【答案】 A;C;D;
13 、【答案】0.58;
;
14 、【答案】7
2
;
15 、【答案】1
4
,1)∪[2,+∞);
16 、【答案】[3
4
17 、【答案】 (1) √6
．
9
;
(2) √11．
;
18 、【答案】 (1) 证明见解析．
;
(2) 2
．
3
;
19 、【答案】 (1) a n=1
，n∈N∗．
2n−1
;
(2) 见解析．
;
20 、【答案】 (1) 见解析．
;
(2) 见解析．
;
21 、【答案】 (1) 证明见解析．;
(2) x±√15y−4=0．
;
22 、【答案】 (1) y=x或y=1
e x+1
e
．
;
(2) 证明见解析．;。