《随机过程及其在金融领域中的应用》习题四答案

3
e 2
解法二：
平均每小时有30人到达
= 30 =0.5人/分钟
60
根据齐次 Poisson 过程的到达时间间隔Xn, n 1, 2, 是独立同分布于均值
为 1 的指数分布的，故可有：
相继到达的顾客的时间间隔大于 2 分钟的概率为： P Xn 2 et e1
PNt n
n

k

PNs

k PNts PNt n
nk
sk es
k!
t snk n k!

t n et
ets
s k nk t s nk
tk tnk
n!
k !n k !

不妨设 t s 则
E
M 2 T
1 T2
T 0
T 0
E

Nt
Ns
dsdt

1 T2
T 0
T 0
t 2ts dsdt
1
T2
T 0

Tt

1 2

2T
2t

dt

T 2

2T 2 4
Var M T E M 2 T E M T 2 T 2
0!
1!
2!
e2 2e2 2e2 5e2
P N1 1, N2 3 P N1 1, N21 3 1 P N1 1 P N1 2 2e2 2e2 4e4
P
N1

2
N1
1

P
N1 2, N1
P N0,s1 0, Ns1,s1h 1, Ns1h,s2 0, Ns2 ,s2 h 1, Ns2 h,s3 0, Ns3 ,s3 h 1
es1 he e h s2 s1h he e h s3 s2 h heh
由夹逼准则知，此极限为 0. （4）
E
M
T


E

1 T
T
0
Nt dt


1 T
T
0
E

Nt
dt

1 T
T
0
tdt

T 2
E
M 2 T

E

1 T2
T
0 Ntdt
T 0
Nsds


E

1 T2
T 0
T 0
Nt
Nsdsdt
S2

s2

h,
S3

s3 h3
h

P S1

s1,
S2

s2 ,
S3

s3

lim P s1 S1 s1 h, s2 S2 s2 h, s3 S3 s3 h
h0
h3
其中
P s1 S1 s1 h, s2 S2 s2 h, s3 S3 s3 h
PT t 1 PT t
由于T 为 n 个过程中至少发生一件事情的时刻，故当T t ，即在0,t 时刻内
没有事件发生。
P T t P N1 t 0, , Nn t 0
n P Nk t 0 et n etn k 1
答：
150 0.3个 / 页
500
P Nt4 Nt 0 P N4 0 e4 e1.2
6、令Ni t,t 0i 1, , n 为独立同强度 的泊松过程，记T 为在全部 n 个过
程中至少发生了一件事的时刻，求T 的概率分布。 答：
PY t 1 PN1 t N2 t 1 PN2 t N1 t 1

PN1 t i PN2 t i 1 i0
PN1 t 0 PN2 t 1

P N1 1
1

P N1 P N1
2 1

1 P N1 1 P N1
2 1

1
P N1
1
0 P N1 P N1 0
1

1 3e2 1 e2
（3） 解法一： 顾客到达事件间隔服从参数为 的指数分布：
P T t 1 etn t 0
7、假设汽车按强度为 的泊松过程进入一条单向行驶的无限长的高速公路，进 入的第 i 辆车以速度Vi 行驶。假定诸Vi 是独立的正随机变量，有共同分布 F 。试
计算在时刻 t 位于区间 a,b 内的汽车数的均值，假定一辆车超过另一辆车时，不
fZ t ex , x 0 30 fZ t 30e30x, x 0
①
P

Z

2 60



1 30
30
e30 x dx

30 e30x 30
1 30

1
0 e1
e1
②
P
Z

2 60
（1）解法一：
设X t N1 t N2 t ,t 0,当s t时
PX t X s k PN1 t N2 t N1 s N2 s k
PN1 t N1 s N2 t N2 s k
E

M
T

及Var
M
T

答：
（1）
由 P47，Poisson 过程自相关函数结果知：
E Nt Nts min t,t s 2t t s t 2t t s
（2）
P
Ns

Nt


P Nt

Ns

0

P Nts

0

（3）设顾客到达某商店是泊松事件，平均每小时以 30 人的速度到达。求下列事
件的概率：相继到达的两顾客的时间间隔为大于 2 分钟、小于 2 分钟、在 1 分钟
到 3 分钟之间。
答：
（1）证明：
P
Ns k Nt n

P Ns k, Nt PNt n
n

P Ns
k, Nts
ts k
i0
i! k i !
ts
ek 12 ts k!
k i0
i!
k! k i
! 1i2k i

t s k e12 ts k!
1 2
k 1 2
k
t s e12 ts
t s k ets k!
M 为一个有限数，而当 t s 时， t s 为一个无穷小量
M
lim

ts
k
ets 0
ts k0
k!
0 lim P ts
Nts
M
lim

ts k0
k
t s ets 0 k!
iuN1 t
iuN2 t
1t eiu 1 2t eiu 1
1teiu 2teiu 1 2 t
故不为 Poisson 过程。
4、计算前三个事件到来的时刻 S1, S2, S3 的联合密度。
答：
f s1, s2, s3

lim
h0
P S1

s1

h,
3、设 N1 t ,t 0与N2 t ,t 0 是两个相互独立的泊松过程，且强度分别为
1和2 。证明：
（1）N1 t N2 t ,t 0 是强度为 1+2 的泊松过程； （2）N1 t N2 t ,t 0不是泊松过程。
证明：
n!
sk t snk

tn
k
!
n! n
k
!


n k


s t
k
1
s t
nk
（2）
P N1 2 P N1 0 N1 1 N1 2
10 e 1 11 e 1 12 e 1 2
2、Nt ,t 0 是强度为 的泊松过程。
（1）对 s 0 ，计算 E Nt Nts
（2）对任意 0 s t ，有 P Ns Nt 1
（3）对任意 0

s

t,

0
，有
lim
ts
P

Nt

Ns




0
（4）令
M
T


1 T
T
0
Nt
dt
，试求
k 0

t sk
k!
ets
1
（3）
0,P Nt Ns P Nts 0
对 ,M 为非负整数，使得 M
P
Nts
M
P
k 0
Nts k
M
k 0
N1N2 u E eiuN1tN2t E eiuN1t E eiuN2t e12 t eiu 1
由特征函数的唯一性知，其为强度是 1 2 的 Poisson 过程。
（2）解法一：
设Y t N1 t N2 t ,t 0,则
h e e 3 h s3
故原式变为：
f
s1, s2 , s3
lim h0
h e e 3 h s3 h3
e3 s3
其中 0 s1 s2 s3
5、一部 500 页的书总计有 150 个印刷错误，试用泊松过程近似求出连续 4 页无 错误的概率。


1
30 30 e30xdx
30
1
e30x 30 1
0
30 0
e1 1
1 e1
③
P
1

60

Z

3 60


1
20 1
30
60
e30 x dx

30 e30x 30
1
20 1
60

1
3 e 2
1
e 2

1
e2
第四章 习题 4
1、对泊松过程Nt ,t 0
（1）证明：当 s t 时， P
Ns k Nt n

n

k


s t
k
1
s t
nk
,k

0,1,
,n
（2）当 2 时，试求： P N1 2; P N1 1, N2 3; P N1 2 N1 1
1t
0
e1t
0!
2t 1!
1
e2t
2t
e e 1t 2t
0
N1 t N2 t ,t 0 不是泊松过程。
解法二：
依照上述步骤求得 N1 t N2 t 的特征函数为：
E e E e E e e e e iuN1tN2t
相继到达的顾客的时间间隔小于 2 分钟的概率为：
P Xn 2 1 et 1 e1
相继到达的顾客的时间间隔在 1 分钟到 3 分钟之间的概率为：
P 1 Xn 3 P Xn 3 P Xn 1 1 e1.5 1 e0.5 e0.5 e1.5
k!
N1 t N2 t ,t 0是强度为 1+2 的泊松过程。
解法二：
对于 N1 t 和 N2 t ，可以分别求出它们的特征函数为：
N1 u e 1t eiu 1 ,N2 u e2t eiu 1
由于 N1 t 和 N2 t 相互独立，对于 N1 t N2 t ，故其特征函数为：
占用任何时间。
答：
设起始时间为
s
，则速度Va

t
P
N1 t s N2 t s k

k
1
i
t s e1ts
2
k i
t s e2ts
i0
i!
k i!

k
i k i
e 12 ts 1 2