正态分布习题
正态分布习题与详解(非常有用-必考点)
1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228. 2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 Φ（0.2）=0.5793, Φ（1.2）=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-0.57930.884810.4642=+-=4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398, Φ（1.96）=0.975] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200a a aP a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，()0.975200a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200aa ≥⇒≥1设随机变量(3,1),若,,则P(2<X<4)= ( A)( B)l —pC ．l-2pD ．【答案】 C 因为,所以P(2<X<4)=,选 C ．2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( )A.49 B ．－19 C.23 D.59 [答案] D[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59. 4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，∴x ＝3.5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A.255256B.9256C.247256D.764 [答案] C[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np (1－p )＝2， 解之得，p ＝12，n ＝8，∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭⎫128， P (ξ＝1)＝C 81×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1) ＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭⎫125＝247256.5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题“”的否定是:“”;②若,则的最大值为4;③定义在R 上的奇函数满足,则的值为0;④已知随机变量服从正态分布,则;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④ ①命题“”的否定是:“”;所以①正确.②若,则,即.所以,即,解得,则的最小值为4;所以②错误.③定义在R上的奇函数满足,则,且,即函数的周期是4.所以;所以③正确.④已知随机变量服从正态分布,则,所以;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间上任取两数m和n,则关于x的方程有两不相等实根的概率为___________.【答案】由题意知要使方程有两不相等实根,则,即.作出对应的可行域,如图直线,,当时,,所以,所以方程有两不相等实根的概率为.8、下列命题:` (1);(2)不等式恒成立,则;(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则(4)已知则.其中正确命题的序号为____________.【答案】(2)(3) (1),所以(1)错误.(2)不等式的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以(2)正确.(3)正确.(4),所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为（）A．26 B．25 C．23 D．18【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为,选D．3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在内的频数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 样本数据在之外的频率为,所以样本数据在内的频率为,所以样本数据在的频数为,选 C ．4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为,选B ．5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.【答案】25从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105=.。
课时作业12：§2.4 正态分布
§2.4 正态分布一、选择题1．关于正态分布N (μ，σ2)，下列说法正确的是( )A ．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B ．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C ．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件D ．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件2．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (2，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.4，则ξ在(－∞，4)内取值的概率为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.8D ．0.93．随机变量ξ～N (2,10)，若ξ落在区间(－∞，k )和(k ，＋∞)的概率相等，则k 等于( )A ．1B ．10C ．2 D.104．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2D ．μ1＞μ2，σ1＞σ25．设随机变量ξ～N (0,1)，若P (ξ＞1)＝p ，则P (－1＜ξ＜0)＝( )A ．12＋p B ．1－p C ．1－2p D ．12－p 二、填空题6．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ＞c ＋1)＝P (ξ＜c －1)，则c 的值为________．7．已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X ＞2)＝________.8．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X 服从正态分布N (60,102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．三、解答题9．设X～N(5,1)，求P(6＜X≤7)．10．某年级的一次信息技术成绩近似服从正态分布N(70,100)，如果规定低于60分为不及格，不低于90分为优秀，那么成绩不及格的学生约占多少？成绩优秀的学生约占多少？(参考数据：P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4)．11．假设某省今年高考考生成绩ξ服从正态分布N(500,1002)，现有考生25 000名，计划招生10 000名，试估计录取分数线．参考答案1．【解析】∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974，∴P (X ＞μ＋3σ或X ＜μ－3σ)＝1－P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026.∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．【答案】 D2．【解析】 ∵μ＝2，∴P (0<ξ<2)＝P (2<ξ<4)＝0.4，∴P (0<ξ<4)＝0.8.∴P (ξ<0)＝12(1－0.8)＝0.1，∴P (ξ<4)＝0.9. 【答案】 D3．【解析】 ∵区间(－∞，k )和(k ，＋∞)关于x ＝k 对称．∴x ＝k 为正态曲线的对称轴，∴k ＝2.【答案】 C4．【解析】 σ越小，曲线越“瘦高”，故σ1＜σ2，μ为对称轴的位置，由图易知μ1＜μ2.【答案】 A5．【解析】 如图，P (ξ＞1)表示x 轴、x ＞1与正态密度曲线围成区域的面积，由正态密度曲线的对称性知：x 轴、x ＜－1与正态密度曲线围成区域的面积也为p ，所以P (－1＜ξ＜0)＝1－2p 2＝12－p .【答案】 D6．【解析】 c ＋1与c －1关于ξ＝2对称，(c ＋1)＋(c －1)2＝2，∴c ＝2. 【答案】 27．【解析】 P (X ＞2)＝12[1－2P (－2≤X ≤0)]＝0.5－0.4＝0.1. 【答案】 0.18．【解析】 依题意，P (60－20＜x ≤60＋20)＝0.9544，P (X ＞80)＝12(1－0.9544)＝0.0228， 故成绩高于80分的考生人数为10000×0.0228＝228(人)．所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．【答案】 2299．解 由已知得P (4＜X ≤6)＝0.682 6，P (3＜X ≤7)＝0.954 4.又∵正态曲线关于直线x ＝u ＝5对称∴P (3＜X ≤4)＋P (6＜X ≤7)＝0.954 4－0.682 6＝0.271 8.由对称性知P (3＜X ≤4)＝P (6＜X ≤7)．所以P (6＜X ≤7)＝0.271 82＝0.135 9. 10．解 由题意得：μ＝70，σ＝10，P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.9544.(1)P (ξ＜60)＝12－12P (60＜ξ≤80) ＝12－12×0.682 6 ＝0.158 7.(2)P (ξ≥90)＝12－12P (50＜ξ≤90) ＝12－12×0.954 4 ＝0.022 8.答：成绩不及格的学生约占15.87%，成绩优秀的学生约占2.28%.11．解 这是一个实际问题，由题知其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”问题．设分数线为a ，那么分数超过a 的概率应为录取率，即P (ξ≥a )＝10 00025 000＝0.4， 因为ξ～N (500,1002)，所以P (ξ≥a )＝P (ξ－500100≥a －500100) ＝1－P (ξ－500100＜a －500100)＝1－Φ(a －500100)． 于是有Φ(a －500100)＝1－P (ξ≥a )＝1－0.4＝0.6. 从标准正态分布表中查得Φ(0.25)＝0.598 7≈0.6，故a －500100≈0.25，即a ≈525. 由此可以估计录取分数线约为525分.。
正态分布高中练习题及讲解
正态分布高中练习题及讲解1. 题目一：某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 16)，求长度在48到52之间的零件所占的比例。
2. 题目二：假设某大学新生的数学成绩服从正态分布N(70, 25)，求数学成绩超过80分的学生所占的比例。
3. 题目三：某市居民的身高数据服从正态分布N(170, 10)，如果随机选择一名居民，求其身高超过180cm的概率。
4. 题目四：某公司员工的工作时间服从正态分布N(8, 2)，计算工作时间超过9小时的员工所占的比例。
5. 题目五：某品牌手机的电池寿命服从正态分布N(300, 50)，求电池寿命超过350小时的概率。
讲解：正态分布是统计学中最常见的分布之一，其图形呈钟形，对称于均值。
正态分布的数学表达式为N(μ, σ²)，其中μ是均值，σ²是方差。
正态分布的特点是：- 均值μ决定了分布的中心位置。
- 方差σ²决定了分布的宽度，方差越大，分布越宽，反之亦然。
- 68%的数据位于距均值一个标准差(σ)的范围内。
- 95%的数据位于距均值两个标准差的范围内。
- 99.7%的数据位于距均值三个标准差的范围内。
要解决上述题目，我们可以使用正态分布的性质和Z分数来计算概率。
解题步骤：1. 将数据转换为Z分数，Z = (X - μ) / σ。
2. 查找Z分数对应的概率，通常可以使用标准正态分布表或计算器。
例如，对于题目一，我们首先计算48和52对应的Z分数：- Z1 = (48 - 50) / 4 = -0.5- Z2 = (52 - 50) / 4 = 0.5然后，查找Z分数表或使用计算器得到Z1和Z2对应的概率，最后计算两者之差。
对于题目二至题目五，解题步骤类似，只需将题目中的数据代入相应的公式中计算即可。
通过这些练习，学生可以更好地理解正态分布的概念，掌握如何使用Z 分数来解决实际问题。
同时，这些练习也有助于提高学生的计算能力和逻辑思维能力。
正态分布练习题(含部分答案)
正态分布练习题1正态分布1.1正态函数及曲线特点1.（对称性）：已知随机变量ξN (2,32)。
若P (ξ>C +1)=P (ξ<C −1)，则C =3.2.（单峰与最值）若正态分布曲线是偶函数，且最大值为14√2π，则总体的均值和方差分别为0和16。
1.2三个重要区间的概率应用(特殊区间段的计算公式)P 1=P (µ−σ<X ≤µ+σ)=0.6826;P 2=P (µ−2σ<X ≤µ+2σ)=0.9544;P 3=P (µ−3σ<X ≤µ+3σ)=0.9974.类型1:(µ,µ+nσ]型,(n =1,2,3):P (µ<X ≤µ+nσ)=12P n ,(n =1,2,3);如：P (µ<X ≤µ+2σ)=12P 2=12×0.9544=0.4772.类似也可求解(µ−nσ,µ]型,(n =1,2,3).类型2:(µ±nσ,+∞)型,(n =0,1,2,3):P (µ±nσ<X <+∞)=12×[1∓P n ],(n =0,1,2,3);如：P (µ−2σ<X <+∞)=12×[1+P 2]=12×[1+0.9544]=0.9772.类似也可求解(−∞,µ±nσ)型,(n =0,1,2,3).类型3:(µ+kσ,µ+tσ)型,−3≤k <t ≤3:case 1:kt ≤0时P (µ+kσ<X ≤µ+tσ)=12×[P t +P |k |]case 2:kt ≥0时P (µ+kσ<X ≤µ+tσ)=12×[P M +P m ],M =max {|k |,|t |},m =min {|k |,|t |}.总结,以上各类型需要与正态曲线的图形有机结合在一起,把概率问题转化为对应区间上图形的面积问题.1练习:1.若X N(µ,1)，求P(µ−3<X≤µ−2)=0.0215.2.若X N(5,1)，求P(6<X≤7)=0.1359.3.若X N(1,1)，求P(3<X≤4)=0.0215.4.若X N(0,1)，求P(−3<X<−∞)=0.9987.1.3应用问题1.某糖厂用自动打包机打包，包质量（单位：kg）目标以正态分布X N(100,1.22).（1）求质量在(98.8,101.2]内的糖包后的概率；（2）若一公司从该糖厂进货1500包，试估计在(98.8,101.2]内的糖包的数量。
课时作业19：2.4 正态分布
§2.4正态分布一、选择题1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝φμ，σ(x)＝18π2(10)8ex--，则这个正态总体的均值与标准差分别是()A．10与8 B．10与2C．8与10 D．2与10考点正态分布的概念及性质题点求正态分布的均值或方差答案 B解析由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)等于() A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84考点正态分布的概念及性质题点正态分布下的概率计算答案 A解析∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，∵P(ξ≤4)＝0.84，∴P(ξ≥4)＝1－0.84＝0.16，∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.16.3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6]内的概率为()(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%考点正态分布的概念及性质题点正态分布下的概率计算答案 B解析 由正态分布的概率公式，知P (－3<ξ≤3)＝0.682 6，P (－6<ξ≤6)＝0.954 4，故P (3<ξ≤6)＝P (－6<ξ≤6)－P (－3<ξ≤3)2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%，故选B. 4.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4)A ．2 386B ．2 718C ．4 772D ．3 413考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用答案 D解析 由X ～N (0,1)知，P (－1＜X ≤1)＝0.682 6，∴P (0≤X ≤1)＝12×0.682 6＝0.341 3，故S ≈0.341 3. ∴落在阴影部分的点的个数x 的估计值为x 10 000＝S 1，∴x ＝10 000×0.341 3＝3 413，故选D. 5．设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )>P (Y ≤t )D ．对任意正数t ，P (X ≥t )>P (Y ≥t )考点 正态分布密度函数的概念题点 正态曲线答案 C解析 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错；当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)<P(Y≥t)，故C正确，D错．6．如果正态总体的数据落在(－3，－1)内的概率和落在(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的均值是()A．0 B．1 C．2 D．3考点正态分布的概念及性质题点求正态分布的均值或方差答案 B解析正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，区间(－3，－1)和(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的概率意义就是均值，而区间(－3，－1)和(3,5)关于x＝1对称，所以正态总体的均值是1.7．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在区间( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115]考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用答案 C解析 ∵X ～N (110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4.由于一共有60人参加考试，故可估计成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.682 6≈41,60×0.954 4≈57,60×0.997 4≈60.8．在某市2018年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N (98,100)．已知参加本次考试的全市理科学生约有9 450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第( )A ．1 500名B ．1 700名C ．4 500名D ．8 000名 考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用答案 A解析 因为理科生的数学成绩X 服从正态分布N (98,100)，所以P (X ≥108)＝12[1－P (88<X ≤108)]＝12[1－P (μ－σ<X ≤μ＋σ)]＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7，所以0.158 7×9 450≈1 500，故该学生的数学成绩大约排在全市第1 500名．二、填空题9．已知随机变量X 服从正态分布N (a,4)，且P (X ≤1)＝0.5，则实数a 的值为 ． 考点 正态分布的概念及性质题点 求正态分布的均值或方差答案 1解析 ∵X 服从正态分布N (a,4)，∴正态曲线关于直线x ＝a 对称，又P (X ≤1)＝0.5，故a ＝1.10．设随机变量X ～N (4，σ2)，且P (4<X <8)＝0.3，则P (X <0)＝ .考点 正态分布的概念及性质题点 正态分布下的概率计算答案 0.2解析 概率密度曲线关于直线x ＝4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于8右边的概率，即0.5－0.3＝0.2.11．某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为12π，则总体落入区间(0,2]内的概率为 ．考点 正态分布的概念及性质题点 正态分布下的概率计算答案 0.477 2解析 正态分布密度函数是f (x )＝12πσ22()2e x μσ--，x ∈(－∞，＋∞)，若它是偶函数，则μ＝0， ∵f (x )的最大值为f (μ)＝12πσ＝12π，∴σ＝1， ∴P (0<X ≤2)＝12P (－2<X ≤2)＝12P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝12×0.954 4＝0.477 2. 三、解答题12．已知随机变量X ～N (μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P (72<X ≤88)＝0.682 6.(1)求参数μ，σ的值；(2)求P (64＜X ≤72)．考点 正态分布的概念及性质题点 求正态分布的均值或方差解 (1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，即参数μ＝80.又P (72<X ≤88)＝0.682 6.结合P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，可知σ＝8.(2)因为P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝P (64<X ≤96)＝0.954 4.又因为P (X ≤64)＝P (X >96)，所以P (X ≤64)＝12×(1－0.954 4) ＝12×0.045 6＝0.022 8. 所以P (X >64)＝0.977 2.又P (X ≤72)＝12[1－P (72<X ≤88)] ＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7， 所以P (X >72)＝0.841 3，P (64<X ≤72)＝P (X >64)－P (X >72)＝0.135 9.13．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X (分钟)服从正态分布N (5,1)；第二条路线较长不拥挤，X 服从正态分布N (6,0.16)．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用解 还有7分钟时：若选第一条路线，即X ～N (5,1)，能及时到达的概率P 1＝P (X ≤7)＝P (X ≤5)＋P (5<X ≤7)＝12＋12P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)． 若选第二条路线，即X ～N (6,0.16)，能及时到达的概率P 2＝P (X ≤7)＝P (X ≤6)＋P (6<X ≤7)＝12＋12P (μ－2.5σ<X ≤μ＋2.5σ)． 因为P 1<P 2，所以应选第二条路线．同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线．四、探究与拓展14．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg 小于等于62.5 kg 属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为 ．考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用答案683解析依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X≤62.5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，从而属于正常情况的人数为1 000×0.682 6≈683.15．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图．(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z≤212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2]的产品件数，利用①的结果，求E(X)．(附：150≈12.2)考点正态分布的应用题点正态分布的综合应用解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z≤212.2)＝P(200－12.2<Z≤200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2]的概率为0.682 6，依题意知X～B(100,0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.。
正态分布(习题版)
正态分布（共62道题）1．在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩ξ服从N（80，σ2）（σ＞0），若ξ在（70，90）内的概率为0.8，则落在[90，100]内的概率为（）A．0.05B．0.1C．0.15D．0.22．设X～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝95.44%）A．7539B．6038C．7028D．65873．已知某次数学考试的成绩服从正态分布N（102，42），则114分以上的成绩所占的百分比为（）（附P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974）A．0.3%B．0.23%C．1.3%D．0.13%4．2017年1月我市某校高三年级1600名学生参加了2017届全市高三期末联考，已知数学考试成绩X～N（100，σ2）（试卷满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为（）A．120B．160C．200D．2405．随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），已知P（ξ≤﹣1.96）＝0.025，则P（|ξ|＜1.96）等于（）A．0.025B．0.050C．0.950D．0.9756．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，16），且P（ξ＜﹣2）+P（ξ≤6）＝1，则μ＝（）A．﹣4B．4C．﹣2D．27．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f（x）＝，则下列命题中不正确的是（）A．该市在这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为1027．设随机变量X～N（3，σ2），若P（X＞a）＝0.2，则P（X＞6﹣a）＝．28．某一部件由四个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3或元件4正常工作，则部件正常工作．设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．29．某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X（单位：kg）服从正态分布N（25，0.04），任意选取一袋这种大米，质量在24.8～25.4kg的概率为．（附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+2σ）＝0.6826，P（μ﹣σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544）30．设随机变量ξ服从正态分布N（1，2），若p（ξ＜2a﹣3）＝p（ξ＞3a+2），则a的值为．31．按照国家规定，某种大米每袋质量（单位：kg）必须服从正态分布ξ～N（10，σ2），根据检测结果可知P（9.9≤ξ≤10.1）＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1000名职工，则分到的大米质量在9.9kg以下的职工人数大约为．32．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.15，则P（2≤ξ＜4）等于．33．某个部件由四个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2或元件3正常工作，且元件4正常工作，则部件正常工作．设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能正常相互独立工作，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．34．已知随机变量服从正态分布X～N（2，σ2），若P（X＜a）＝0.32，则P（a＜X＜4﹣a）＝．35．某种袋装大米的质量X（单位：kg）服从正态分布N（50，0.01），任意选一袋这种大米，质量在49.8～50.1kg的概率为．36．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞3）＝a，P（1＜ξ≤3）＝b，则+的最小值是．1．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（﹣1＜ξ＜0）＝p，则P（ξ＞1）＝（）A．﹣B．+C．+p D．﹣p2．经统计，某市高三学生期末数学成绩X﹣N（85，σ2），且P（80＜X＜90）＝0.3，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是（）A．0.35B．0.65C．0.7D．0.853．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布N（84，σ2），且P（78＜X≤84）＝0.3．该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为（）A．60B．80C．100D．1204．如果随机变量X～N（μ，σ2），且EX＝3，DX＝1，则P（0＜X＜1）等于（）A．0.021 5B．0.723C．0.215D．0.645．在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布（100，σ2）（σ＞0），若ξ在（85，115）内的概率为0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为（）A．0.25B．0.1C．0.125D．0.56．随机变量X服从正态分布X～N（10，σ2），P（X＞12）＝m，P（8≤X≤10）＝n，则的最小值为（）A．B．C．D．7．在某项测量中，测得变量ξ﹣N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在（1，2）内取值的概率为（）A．0.2B．0.1C．0.8D．0.48．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．150B．200C．300D．4009．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣2，4）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）（附：X⁓N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545．）A．906B．2718C．339.75D．341310．设随机变量X服从正态分布X～N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则函数f（t）＝t2+4t+X不存在零点的概率是（）A．0.5B．0.3174C．0.1587D．0.682611．若随机变量X～N（2，1），且P（X＞1）＝0.8413，则P（X＞3）＝（）A．0.1587B．0.3174C．0.3413D．0.682612．若随机变量X～N（3，σ2），且P（X≥5）＝0.2，则P（1＜X＜5）＝（）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.313．设随机变量X～N（2，9），P（X＞m）＝P（X＜m﹣4），则m的值为（）A．1B．2C．3D．414．吸烟有害健康，远离烟草，珍惜生命．据统计一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16．已知某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，则他在这一小时内还能继吸烟5支不诱发脑血管病的概率为（）A．B．C．D．不确定15．若随机变量X服从分布X～N（2，σ2），且2P（X≥3）＝P（1≤X≤2），则P（X＜3）＝（）A．B．C．D．16．若随机变量ξ～N（﹣2，4），则ξ在区间（﹣4，﹣2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率（）A．（2，4]B．（0，2]C．[﹣2，0）D．（﹣4，4] 17．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞2a+1）＝P（ξ＜2a﹣1），则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．418．已知随机变量X～B（2，p），Y～N（2，σ2），若P（X≥1）＝0.64，P（0＜Y＜2）＝p，则P（Y＞4）＝（）A．0.1B．0.2C．0.4D．0.819．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.2，则P（2≤ξ＜4）等于（）A．0.3B．0.5C．0.4D．0.620．已知X～N（1，σ2），P（0＜X≤3）＝0.7，P（0＜X≤2）＝0.6，则P（X≤3）＝（）A．0.6B．0.7C．0.8D．0.921．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜0）＝P（ξ＞a﹣2），则a＝（）A．﹣2B．2C．4D．622．已知随机变量X服从正态分布N（5，σ2），且P（X＜7）＝0.8，则P（3＜X＜5）＝（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.223．若随机变量X～N（3，1），且P（X＜4）＝0.8413，则P（X＞2）＝（）A．0.1587B．0.3413C．0.6826D．0.841324．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（0，σ2），若ξ在（﹣∞，﹣1）内取值的概率为0.1，则ξ在（0，1）内取值的概率为（）A．0.8B．0.4C．0.2D．0.125．设随机变量X服从正态分布N（4，σ2），若P（X＞m）＝0.4，则P（X＞8﹣m）＝（）A．0.6B．0.5C．0.4D．与σ的值有关26．某工厂生产的零件外直径（单位：cm）服从正态分布N（10，0.04），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75cm和9.35cm，则可认为（）A．上午生产情况异常，下午生产情况正常B．上午生产情况正常，下午生产情况异常C．上、下午生产情况均正常D．上、下午生产情况均异常27．设两个正态分布N1（μ1，σ）和N2（μ2，）的密度函数曲线如图所示，则有（）A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ228．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X（单位：辆）均服从正态分布N（600，σ2），若P（500＜X＜700）＝0.6，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（）A．B．C．D．29．设随机变量ξ：N（2，2），则D（ξ）＝（）A．1B．2C．D．430．某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩ξ（ξ∈N）服从正态分布N（100，102），已知P（90≤ξ≤100）＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为（）A．20B．10C．14D．2131．当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时，正态曲线N（0，σ2）的图象如图所示，则下列选项中正确的是（）A．σ1＜σ2＜σ3B．σ1＜σ3＜σ2C．σ2＜σ1＜σ3D．σ3＜σ2＜σ1 32．已知随机变量X～N（2，σ2），若P（X≤1﹣a）+P（X≤1+2a）＝1，则实数a＝（）A．0B．1C．2D．433．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，2），则D（2ξ+3）＝34．随机变量X～N（3，σ2），且P（0＜X＜3）＝0.35，则P（X＞6）＝．35．设随机变量X～N（1，δ2），且P（X＞2）＝，则P（0＜X＜1）＝．36．若随机变量Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜z≤μ+2σ）＝0.9544．已知随机变量X～N（6，4），则P（2＜X≤8）．37．随机变量ξ服从正态分布ξ：N（μ，σ2），若p（μ﹣2＜ξ≤μ）＝0.241，则P（ξ＞μ+2）＝．37．某中学为了了解该校高中学生的体重情况，现随机抽取该校150名高中学生，并测量每个人的体重后得到如图5的频率分布直方图．（1）求这150名高中学生体重的样本平均数和样本方差s2；（同一组中的数据用该区间的中点值代替）（2）根据频率分布直方图，我们认为该校高中学生的体重Z服从正态分布N（u，δ2），其中u近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2；如果体重Z满足Z＜33.4或Z＞106.6，则该生的体重有严重问题．①利用该正态分布，求P（Z＜33.4）；②某机构从该校高中学生中任取1000名学生，记X表示这1000名学生中体重有严重问题的人数，求EX．附：≈12.2，若Z～N（u+δ2），则P（u﹣δ＜Z＜u+δ）＝0.6826，P（u﹣2δ＜Z＜u+2δ）＝0.9544，P（u﹣3δ＜Z＜u+3δ）＝0.9974．38．为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.954539．甲市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100000名男生的身高服从正态分布N（168，16）．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164），第2组[164，168），…，第6组[180，184]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（I）根据50名高三男生身高的频率分布直方图，求这50名高三男生身高的中位数的估计值；（II）求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数；（III）在这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为X，求X的数学期望．参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．40．从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值（记为Z），由测量结果得如下频率分布直方图：（1）公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z＜95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（2）由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．①利用该正态分布，求P（87.8＜Z＜112.2）；②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间（87.8，112.2）的产品件数，利用①的结果，求E（X）．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．38．党的十八大以来，党中央从全面建成小康社会全局出发，把扶贫工作摆在治国理政的突出位置，全面打响脱贫攻坚战，2018年6月《中共中央、国务院关于打赢脱贫攻坚战三年行动的指导意见》发布，对精准脱贫这一攻坚战做出了新的部署，2019年3月，十三届全国人大二次会议召开，3月7日，国务院扶贫办刘永富回答记者问时表示：“我国脱贫攻坚取得显著成就，贫困人口从2012年的9899万人减少到2018年的1660万人，连续6年平均每年减贫1300多万人．并表示：“今年再努力一年，攻坚克难，再减少贫困人口1000万人以上，再摘帽300个县左右．”根据某市所在地区的收入水平、消费水平等情况，拟将家庭年收入低于1.2万元的家庭确定为“贫困户”，该市扶贫办为了打好精准脱贫攻坚战，在所辖某县的100万户家庭中随机抽取200户家庭，对其2018年的全年收入进行调查，抽查结果如下频率分布直方图：（1）求这200户家庭的全年收人的样本平均值和方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这200户家庭收入Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（Z＜1.2）；（ii）若从该县100万户中随机抽取100户，记X为这100户家庭中“贫困户的数量，利用（i）的结果求E（X）；附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.683，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.954．39．为了改善市民的生活环境，信阳市决定对信阳市的1万家中小型化工企业进行污染情况摸排，并出台相应的整治措施．通过对这些企业的排污口水质，周边空气质量等的检验，把污染情况综合折算成标准分100分，发现信阳市的这些化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N（50，162），分值越低，说明污染越严重；如果分值在[50，60]内，可以认为该企业治污水平基本达标．（1）如图信阳市的某工业区所有被调查的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，请计算这个工业区被调查的化工企业的污染情况标准分的平均值，并判断该工业区的化工企业的治污平均值水平是否基本达标；（2）大量调査表明，如果污染企业继续生产，那么标准分低于18分的化工企业每月对周边造成的直接损失约为10万元，标准分在[18，34）内的化工企业每月对周边造成的直接损失约为4万元．长沙市决定关停80%的标准分低于18分的化工企业和60%的标准分在[18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有多少？（附：若随机变量X∼N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝68.3%，P（μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝95.4%，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝99.7%）40．2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N（μ，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1），且P（X≤a）＝P（Y≤）．利用直方图得到的正态分布，求P（X≤10）．（ii）从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P（Z≥2）（结果精确到0.0001）以及Z的数学期望．参考数据：．若Y～N（0，1），则P（Y≤0.75）＝0.7734．。
正态分布习题
1．标准正态曲线下，中间95%的面积所对应的横轴范围是。
A．－∞到+1.96 B．－1.96到+1.96 C．－∞到+2.58D．－2.58到+2.58 E．－1.64到+1.642．正态分布的两个参数μ与σ，对应的正态曲线愈趋扁平。
A．μ愈大B．μ愈小C．σ愈大D．σ愈小E．μ愈小且σ愈小3．正态分布的两个参数μ与σ，对应的正态曲线平行右移。
A．增大μB．减小μC．增大σD．减小σE．增大μ同时增大σ4．观察某地100名12岁男孩身高，均数为138.00cm，标准差为4.12cm，Z=（128.00－138.00）/4.12。
φ（Z）是标准正态分布的分布函数，1－φ（Z）=1－φ（－2.43）=0.9925，结论是。
A．理论上身高低于138.00cm的12岁男孩占99.25%。
B．理论上身高高于138.00cm的12岁男孩占99.25%。
C．理论上身高在128.00cm至138.00cm的12岁男孩占99.25%。
D．理论上身高低于128.00cm的12岁男孩占99.25%。
E．理论上身高高于128.00cm的12岁男孩占99.25%。
5．正态曲线下、横轴上，从μ到μ+2.58σ的面积占曲线下总面积的。
A．99% B．95% C．47.5% D．49.5% E．90%6．健康男子收缩压的正常值范围一般指。
A．所有健康成年男子收缩压的波动范围B．绝大多数正常成年男子收缩压的波动范围C．所有正常成年男子收缩压的波动范围D．少部分正常成年男子收缩压的波动范围E．所有正常人收缩压的波动范围7．标准正态分布曲线下中间90%的面积所对应的横轴尺度Z的范围是。
A．－1.645～1.645 B．－∞～1.645 C．－∞～1.282D．－1.282～1.282 E．－1.96～1.968．在正态曲线，下列关于μ－1.645σ的说法正确的是。
A．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为90%B．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为10%C．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为5%D．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为45%E．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为47.5%9．下列关于标准正态分布的说法中错误的是。
正态分布练习题
正态分布练习题正态分布是概率论和统计学中非常重要的概率分布之一，广泛应用于各个领域。
为了帮助读者更好地理解和应用正态分布，下面将给出一些正态分布的练习题。
练习题1：某大学的数学成绩呈正态分布，平均分为70，标准差为10。
请计算以下问题的概率：a) 某位学生得分高于85分的概率。
b) 某位学生得分在60分到80分之间的概率。
c) 某位学生得分低于60分的概率。
练习题2：某工厂生产的零件长度呈正态分布，平均长度为100mm，标准差为5mm。
请计算以下问题的概率：a) 从生产线上随机抽取一只零件，其长度在105mm到110mm之间的概率。
b) 从生产线上随机抽取10只零件，其平均长度大于105mm的概率。
c) 从生产线上随机抽取100只零件，其平均长度在98mm到102mm 之间的概率。
练习题3：某城市的日降水量呈正态分布，平均降水量为10mm，标准差为3mm。
请计算以下问题的概率：a) 某天降水量超过14mm的概率。
b) 连续5天的平均降水量低于8mm的概率。
c) 连续10天的总降水量在90mm到110mm之间的概率。
练习题4：某配送中心的送货时间呈正态分布，平均送货时间为30分钟，标准差为5分钟。
请计算以下问题的概率：a) 某次送货时间少于20分钟的概率。
b) 连续10次送货的平均时间在28分钟到32分钟之间的概率。
c) 某天送货总时间超过8小时的概率。
练习题5：某社交平台上用户每日登录次数呈正态分布，平均登录次数为50次，标准差为10次。
请计算以下问题的概率：a) 某用户某天登录次数超过60次的概率。
b) 某用户连续7天的登录次数少于45次的概率。
c) 某用户连续30天的平均登录次数在48次到52次之间的概率。
以上是关于正态分布的一些练习题，通过计算这些概率问题可以更好地理解正态分布的特点和应用。
希望读者能够通过这些练习题提高对正态分布的理解和掌握。
课时作业10：§2.4 正态分布
§2.4 正态分布一、选择题1．设随机变量X 服从正态分布，且相应的概率密度函数为φ(x )＝16π2446e x x -+-，则( )A ．μ＝2，σ＝3B ．μ＝3，σ＝2C ．μ＝2，σ＝ 3D ．μ＝3，σ＝32．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)．若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)等于( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954D ．0.9773．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，12)，则该随机变量的方差等于( ) A ．10 B ．100 C.2πD.2π4．设随机变量X ～N (μ，σ2)，且X 落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等，若P (X >2)＝p ，则P (0<X <2)等于( ) A.12＋p B ．1－p C ．1－2pD.12－p 5．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X ～N (110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？( ) A ．(90,110] B ．(95,125] C ．(100,120]D ．(105,115]6．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.27．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )A ．2 386B ．2 718C．3 413 D．4 772二、填空题8．已知随机变量x～N(2，σ2)，如图所示，若P(x<a)＝0.32，则P(a≤x<4－a)＝________.9．已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X≤1)＝0.5，则实数a的值为________．10．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________．11．已知某正态分布的概率密度函数为f(x)＝12π2(1)2ex--，x∈(－∞，＋∞)，则函数f(x)的极值点为________，X落在区间(2,3]内的概率为__________．三、解答题12．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.13．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值；(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？答案精析1．C 2.C 3.C 4.D5．C [∵X ～N (110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4. 由于一共有60人参加考试，故成绩位于上述三个区间的人数分别是 60×0.682 6≈41(人)，60×0.954 4≈57(人)， 60×0.997 4≈60(人)．]6．C 7.C 8.0.36 9.1 10.683 11．x ＝1 0.135 9解析 由正态分布的概率密度函数知μ＝1，σ＝1，所以总体分布密度曲线关于直线x ＝1对称，且在x ＝1处取得最大值．根据正态分布密度曲线的特点可知x ＝1为f (x )的极大值点．由X ～N (1,1)知P (2<X ≤3)＝12[P (－1<X ≤3)－P (0<X ≤2)]＝12[P (1－2×1<X ≤1＋2×1)－P (1－1<X ≤1＋1)]＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.12．解 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2分别为x ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.682 6. ②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B (100，0.682 6)，所以E (X )＝100×0.682 6＝68.26.13．解 (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)， 故有μ＝800，σ＝50，P (700＜X ≤900)＝0.954 4. 由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800＜X ≤900) ＝12＋12P (700＜X ≤900)＝0.977 2. (2)设A 型，B 型车辆的数量分别为x ，y 辆，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y . 依题意，x ，y 还需满足：x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0. 由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900. 于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．。
正态分布课后练习题
正态分布课后练习题正态分布是概率论与统计学中非常重要的一个概念，它在现实生活中的应用非常广泛。
为了更好地掌握正态分布的相关知识，下面我将给大家提供一些正态分布的课后练习题，希望能够帮助大家巩固所学知识。
练习题1：某公司的员工薪资服从正态分布，均值为5000元，标准差为1000元。
请计算以下几个问题：1. 员工薪资在4000元以上的概率是多少？2. 员工薪资在6000元以下的概率是多少？3. 员工薪资在4000元到6000元之间的概率是多少？练习题2：某学校的学生身高服从正态分布，均值为165厘米，标准差为5厘米。
请计算以下几个问题：1. 学生身高在170厘米以上的概率是多少？2. 学生身高在160厘米以下的概率是多少？3. 学生身高在160厘米到170厘米之间的概率是多少？练习题3：某超市的顾客购买的商品金额服从正态分布，均值为50元，标准差为10元。
请计算以下几个问题：1. 顾客购买的商品金额在60元以上的概率是多少？2. 顾客购买的商品金额在40元以下的概率是多少？3. 顾客购买的商品金额在40元到60元之间的概率是多少？练习题4：某地区的降雨量服从正态分布，均值为50毫米，标准差为10毫米。
请计算以下几个问题：1. 降雨量在60毫米以上的概率是多少？2. 降雨量在40毫米以下的概率是多少？3. 降雨量在40毫米到60毫米之间的概率是多少？以上是一些关于正态分布的课后练习题，希望能够帮助大家更好地理解和应用正态分布的知识。
在解答这些问题时，可以利用标准正态分布表或者统计软件进行计算。
同时，在计算过程中要注意将问题转化为标准正态分布的问题，再进行计算，以便得到准确的结果。
正态分布在实际生活中有着广泛的应用，比如在质量控制中，我们可以利用正态分布来判断产品是否合格；在心理学研究中，我们可以利用正态分布来分析人群的智力水平分布；在金融领域，我们可以利用正态分布来分析股票价格的变动情况等等。
因此，掌握正态分布的相关知识对我们的学习和工作都具有重要意义。
正态分布练习题
正态分布练习题一、选择题A. 正态分布是一种连续概率分布B. 正态分布的形状呈对称性C. 正态分布的均值等于其众数D. 正态分布的方差可以小于0A. (1, 1)B. (2, 2)C. (3, 3)D. (∞, +∞)3. 设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，若P(X > μ) =0.5，则σ的值：A. 等于0B. 等于1C. 等于μD. 无法确定二、填空题1. 正态分布的密度函数为 _______，其中μ表示 _______，σ表示 _______。
2. 在标准正态分布中，Z分数为2对应的概率约为 _______。
3. 若随机变量X服从正态分布N(0, 1)，则P(X < 1.96)的值约为 _______。
三、计算题2. 设随机变量X服从正态分布N(50, 100)，求P(30 < X < 70)。
3. 已知某班级学生的成绩服从正态分布N(75, 16)，若要选拔前10%的优秀学生，分数线应定为多少分？四、应用题1. 某电子产品生产线上，次品率服从正态分布N(0.02, 0.0025)。
现从生产线上随机抽取100件产品，求恰好有2件次品的概率。
2. 一项研究表明，某城市居民的平均月收入服从正态分布N(5000, 40000)。
求该城市居民月收入超过6000元的概率。
五、判断题1. 正态分布的曲线随着均值μ的增加而向右平移。
（）2. 在正态分布中，标准差σ越大，数据的离散程度越小。
（）3. 任何正态分布都可以通过标准化转换为标准正态分布。
（）六、简答题1. 简述正态分布的特点。
2. 什么是标准正态分布？它有什么特殊意义？3. 如何利用标准正态分布表查找特定区间内的概率？七、作图题均值μ = 60，标准差σ = 102. 在同一坐标系中，绘制两个正态分布曲线，一个均值为50，标准差为5，另一个均值为60，标准差为10，并比较两个曲线的形状和位置。
八、综合题2. 一项心理学研究发现，人们的智商IQ服从正态分布N(100, 15)。
【高中】正态分布经典练习题
【高中】正态分布经典练习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN正态分布一、选择题1.已知随机变量ξ服从正态分布)9,2(N ，若)1()1(-<=+>c P c P ξξ，则c 等于（ ）A.1B.2C.3D.42.已知随机变量ξ服从正态分),2(2σN ，且8.0)4(=<ξP ，则)20(<<ξP 等于（ ）A.0.6B.0.4C.0.3D.0.23.已知随机变量ξ服从正态分布),2(2σN ，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ≤等于（ ）A.0.16B.0.32C.0.68D.0.844.已知随机变量X 服从正态分布),2(2σN ，8.0)40(=<<X P ，则)4(>X P 等于（ ）A ．0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.65.已知随机变量ξ服从正态分布),3(2σN ，且3.0)2(=<ξP ，则)42(<<ξP 等于（ ）A.0.5B.0.2C.0.3D.0.46.已知随机变量ξ服从正态分布),3(2σN ，(4)0.842P ξ=≤，则(2)P ξ≤等于（ ）A.0.842B.0.158C.0.421D.0.3167.已知随机变量X 服从正态分布)1,3(N ，且6826.0)42(=<<X P ，则)4(>X P 等于（ ）A.0.1588B.0.158C.0.1586D.0.15858.已知随机变量X 服从正态分布),0(2σN ，若023.0)2(=>X P ，则(22)P X -≤≤等于（ ）A.0.477B.0.628C.0.954D.0.9779.在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布2(100,)(0)σσ>，若ξ在（80,120）内的概率为0.8，则落在（0,80）内的概率为（ ）A.0.05B.0.1C.0.15D.0.210.已知随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，且(22)0.9544P X μσμσ-<<+=， ()0.6826P X μσμσ-<<+=，若4,1μσ==, 则(56)P X <<=（ ）A.0.1358B.0.1359C.0.2716D.0.271811.某商场经营的一种袋装的大米的质量服从正态分布)1.0,10(2N （单位kg ）,任选一袋这种大米，其质量在9.8~10.2kg 的概率为（ ）A.0.0456B.0.6826C.0.9544D.0.997412.一批电池的使用时间X （单位：小时）服从正态分布)4,36(2N ，在这批灯泡中任取一个“使用时间不小于40小时”的概率是（ ）A.0.9544B.0.6826C. 0.3174D. 0.1587二、填空题13.某校在本学期期中考试中，理科数学考试成绩),90(~2σξN ,统计结果显示8.0)12060(=≤≤ξP ，该校参加此次考试的理科学生共420人，试估计该校成绩高于120分的理科学生数为__________.14. 某班有50名学生，一次考试的成绩ξ服从正态分布),100(2σN , 已知3.0)10090(=≤≤ξP ,估计该班数学成绩在110分以上的人数为__________.15. 某中学200名考生的高考数学成绩近似服从正态分布)10,120(2N ，则此校数学成绩在140分以上的考生人数约为__________.16. 某市高二理科学生数学考试的成绩x 服从正态分布，其密度曲线如图，已知该市理科学生总数是10000人，则成绩位于]85,65(的人数约__________.17. 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0(),1(2>σσN ，若ξ在)1,0(内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为__________.18. 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布)50,800(2N 的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为__________.19. 一批电阻的阻值X 服从正态分布)5,1000(2N (单位Ω).今从甲乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1011Ω和982Ω，可以认为__________. (填写正确序号) ①甲乙两箱电阻均可出厂； ②甲乙两箱电阻均不可出厂；③甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂； ④甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂.20. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布)50,1000(2N ，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为__________. O x 7515216题图 20题图。
正态分布练习题
正态分布练习题一、选择题1. 正态分布的数学表达式为：A. N(μ, σ^2)B. N(σ, μ^2)C. N(μ, σ)D. N(μ^2, σ)2. 正态分布的均值μ和标准差σ分别代表：A. 位置参数和形状参数B. 形状参数和位置参数C. 形状参数和尺度参数D. 尺度参数和形状参数3. 标准正态分布的均值和标准差分别是：A. 0和1B. 1和0C. 1和1D. 0和04. 68-95-99.7规则描述的是：A. 正态分布的对称性B. 正态分布的均值和标准差C. 正态分布的密度函数D. 正态分布数据的分布范围5. 正态分布曲线下，从均值到一个标准差之外的区域所占的面积比例是：A. 68%B. 95%C. 99.7%D. 34%二、填空题6. 正态分布的密度函数为 \(f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)，其中\(\sigma\)代表______，\(\mu\)代表______。
7. 如果一个正态分布的均值为100，标准差为15，则该分布的3σ原则表示数据落在65到135之间的概率为______。
8. 标准正态分布的密度函数是 \(f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}\)，其中\(z\)代表______。
9. 假设某次考试的成绩服从正态分布，均分为75分，标准差为10分。
如果一个学生的成绩是85分，那么他的Z分数是______。
10. 正态分布的对称性意味着对于任意的正数a，有P(X < a) =______。
三、简答题11. 解释正态分布的三个特征，并给出每个特征在实际应用中的意义。
12. 描述68-95-99.7规则，并解释其在数据分析中的重要性。
13. 如果你有一个正态分布的数据集，如何计算其均值和标准差？14. 为什么标准正态分布是数据分析中的一个重要工具？15. 给出一个实际例子，说明正态分布如何应用于解决实际问题。
正态分布习题
1．标准正态曲线下，中间95%的面积所对应的横轴范围是。
A．－∞到+1.96 B．－1.96到+1.96 C．－∞到+2.58D．－2.58到+2.58 E．－1.64到+1.642．正态分布的两个参数μ与σ，对应的正态曲线愈趋扁平。
A．μ愈大B．μ愈小C．σ愈大D．σ愈小E．μ愈小且σ愈小3．正态分布的两个参数μ与σ，对应的正态曲线平行右移。
A．增大μB．减小μC．增大σD．减小σE．增大μ同时增大σ4．观察某地100名12岁男孩身高，均数为138.00cm，标准差为4.12cm，Z=（128.00－138.00）/4.12。
φ（Z）是标准正态分布的分布函数，1－φ（Z）=1－φ（－2.43）=0.9925，结论是。
A．理论上身高低于138.00cm的12岁男孩占99.25%。
B．理论上身高高于138.00cm的12岁男孩占99.25%。
C．理论上身高在128.00cm至138.00cm的12岁男孩占99.25%。
D．理论上身高低于128.00cm的12岁男孩占99.25%。
E．理论上身高高于128.00cm的12岁男孩占99.25%。
5．正态曲线下、横轴上，从μ到μ+2.58σ的面积占曲线下总面积的。
A．99% B．95% C．47.5% D．49.5% E．90%6．健康男子收缩压的正常值范围一般指。
A．所有健康成年男子收缩压的波动范围B．绝大多数正常成年男子收缩压的波动范围C．所有正常成年男子收缩压的波动范围D．少部分正常成年男子收缩压的波动范围E．所有正常人收缩压的波动范围7．标准正态分布曲线下中间90%的面积所对应的横轴尺度Z的范围是。
A．－1.645～1.645 B．－∞～1.645 C．－∞～1.282D．－1.282～1.282 E．－1.96～1.968．在正态曲线，下列关于μ－1.645σ的说法正确的是。
A．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为90%B．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为10%C．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为5%D．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为45%E．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为47.5%9．下列关于标准正态分布的说法中错误的是。
正态分布公式练习题
正态分布公式练习题正态分布是统计学中的一种重要概率分布，也被称为高斯分布或钟形曲线。
它在自然界和社会科学的许多现象中都有广泛应用。
了解正态分布的公式和运用方法对于统计学学习和实践具有重要意义。
本文将针对正态分布的公式进行练习题，并帮助读者加深对该概率分布的理解。
练习题一：某服装店销售的服装裤子的腰围（cm）符合正态分布，均值为80，标准差为5。
计算：1. 高于85cm的裤子的概率是多少？2. 低于75cm的裤子的概率是多少？解答：1. 高于85cm的裤子概率 = 1 - P(X <= 85)其中，X为服装裤子的腰围，符合正态分布，均值为80，标准差为5。
首先将85转化为标准分数（Z-Score）：Z = (X - μ) / σ = (85 - 80) / 5 = 1然后查找标准正态分布表，找到Z为1对应的累积概率为0.8413。
高于85cm的裤子概率 = 1 - 0.8413 = 0.15872. 低于75cm的裤子概率 = P(X < 75)同样地，将75转化为标准分数：Z = (75 - 80) / 5 = -1查找标准正态分布表，找到Z为-1对应的累积概率为0.1587。
低于75cm的裤子概率 = 0.1587练习题二：某班级的学生成绩符合正态分布，均值为75，标准差为10。
计算：1. 该班级有多少学生的成绩在65分以上？2. 该班级有多少学生的成绩在85分以下？解答：1. 成绩在65分以上的学生数量 = 所有学生数量 - 成绩在65分以下的学生数量首先计算成绩在65分以下的学生概率：P(X < 65)将65转化为标准分数：Z = (65 - 75) / 10 = -1查找标准正态分布表，找到Z为-1对应的累积概率为0.1587。
成绩在65分以下的学生概率 = 0.1587成绩在65分以上的学生概率 = 1 - 0.1587 = 0.84132. 成绩在85分以下的学生数量 = 所有学生数量 - 成绩在85分以上的学生数量计算成绩在85分以上的学生概率：P(X > 85)将85转化为标准分数：Z = (85 - 75) / 10 = 1查找标准正态分布表，找到Z为1对应的累积概率为0.8413。
正态分布练习题
正态分布练习题正态分布练习题正态分布是概率统计中非常重要的一种分布形式，它在自然界和社会现象中都有广泛的应用。
掌握正态分布的概念和计算方法，对于我们理解和分析各种数据具有重要意义。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用正态分布。
练习题一：某高中的学生身高符合正态分布，均值为165cm，标准差为5cm。
请计算以下问题：1. 该高中学生身高在160cm以上的概率是多少？2. 该高中学生身高在170cm以下的概率是多少？3. 该高中学生身高在160cm到170cm之间的概率是多少？解答：1. 根据正态分布的性质，我们可以计算出标准差对应的Z值。
对于160cm，其对应的Z值为(Z = (160-165)/5 = -1)。
然后利用标准正态分布表，我们可以查到Z值为-1时的概率为0.1587。
所以该高中学生身高在160cm以上的概率为1-0.1587=0.8413，即84.13%。
2. 同理，对于170cm，其对应的Z值为(Z = (170-165)/5 = 1)。
查表可得Z值为1时的概率为0.8413。
所以该高中学生身高在170cm以下的概率为0.8413，即84.13%。
3. 要计算该高中学生身高在160cm到170cm之间的概率，我们需要计算两个Z 值。
对于160cm，其对应的Z值为-1；对于170cm，其对应的Z值为1。
查表可得Z值为-1时的概率为0.1587，Z值为1时的概率为0.8413。
所以该高中学生身高在160cm到170cm之间的概率为0.8413-0.1587=0.6826，即68.26%。
练习题二：某服装店销售的女装尺码符合正态分布，均值为M，标准差为S。
已知有70%的顾客的身高在160cm以上，请计算该服装店女装尺码的均值和标准差。
解答：根据正态分布的性质，我们可以利用标准正态分布表来计算。
已知有70%的顾客的身高在160cm以上，即对应的Z值为(Z = (160-M)/S = 0.5244)。
正态分布练习题
正态分布1.设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<=（） A. 2p B. 1p - C. 12p - D. 12p - 2.设随机变量),(~2σμξN ，且 )()(c P c P >=≤ξξ，则c 等于（ ）μμσ...0.D C B A - 3.设ξ的概率密度函数为2)1(221)(--=x e x f π，则下列结论错误的是（ ）(A) )1()1(>=<ξξp p (B))11()11(<<-=≤≤-ξξp p(C))(x f 的渐近线是0=x (D) 1-=ξη～)1,0(N4.设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，记()()＜x P x ξΦ=，则下列结论不正确的是（ ）A ．()102Φ= B ．()()1x x Φ=-Φ- C ．()()()＜21＞0P a a a ξ=Φ- D ．()()()＞1＞0P a a a ξ=-Φ5.设随机变量),(~2σμξN ，且1,3==ξξD E ，则)11(≤<-ξP =( ) 1)2(2.)4()2(.)2()4(.1)1(2.-ΦΦ-ΦΦ-Φ-ΦD C B A6.如果随机变量)1,0(~N ξ，),(~2σμηN ，那么 =η（ ）)(....μξσμσξμσξσμξ++--D C B A7.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ，0.848.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( )A.1B.2C.3D.4 9.已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (3)ζ<＝（ ） (A)15 (B)14 (C)13 (D)1210.若φ(3)=0.9987，则标准正态总体在区间(－3，3)内取值的概率为 （）A ．0.9987B ．0.9974C ．0.944D ． 0.841311.下图是正态分布N ∽(0,1)的正态分布曲线图，下面4个式子中，能表示图中阴影部分面积的有（ ）个 ①1()2a φ-- ② ()a φ- ③1()2a φ- ④1[()2a φ-(A)1 (B)2 (C)3 (D)412.设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，则有（ ）A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ<>C ．1212,μμσσ><D ．1212,μμσσ>>13.设随机变量ξ服从正态分布N (μ，δ2)(δ＞0)，若P (ξ＜0)＋P (ξ＜1)＝1，则μ的值为 ( )A ．－1B ．1C ．12- D ．1214以()x Φ表示标准正态总体在区间(),x -∞内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则概率()P ξμσ-<等于（ ）A.()()μσμσΦ+-Φ-B. ()()11Φ-Φ-C. 1μσ-⎛⎫Φ ⎪⎝⎭D. ()2μσΦ+ 15.设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N 。
正态分布习题
1．标准正态曲线下，中间95%的面积所对应的横轴范围是。
A．－∞到+1.96 B．－1.96到+1.96 C．－∞到+2.58D．－2.58到+2.58 E．－1.64到+1.642．正态分布的两个参数μ与σ，对应的正态曲线愈趋扁平。
A．μ愈大 B．μ愈小 C．σ愈大 D．σ愈小 E．μ愈小且σ愈小3．正态分布的两个参数μ与σ，对应的正态曲线平行右移。
A．增大μ B．减小μ C．增大σ D．减小σ E．增大μ同时增大σ4．观察某地100名12岁男孩身高，均数为138.00cm，标准差为4.12cm，Z=（128.00－138.00）/4.12。
φ（Z）是标准正态分布的分布函数，1－φ（Z）=1－φ（－2.43）=0.9925，结论是。
A．理论上身高低于138.00cm的12岁男孩占99.25%。
B．理论上身高高于138.00cm的12岁男孩占99.25%。
C．理论上身高在128.00cm至138.00cm的12岁男孩占99.25%。
D．理论上身高低于128.00cm的12岁男孩占99.25%。
E．理论上身高高于128.00cm的12岁男孩占99.25%。
5．正态曲线下、横轴上，从μ到μ+2.58σ的面积占曲线下总面积的。
A．99% B．95% C．47.5% D．49.5% E．90%6．健康男子收缩压的正常值范围一般指。
A．所有健康成年男子收缩压的波动范围B．绝大多数正常成年男子收缩压的波动范围C．所有正常成年男子收缩压的波动范围D．少部分正常成年男子收缩压的波动范围E．所有正常人收缩压的波动范围7．标准正态分布曲线下中间90%的面积所对应的横轴尺度Z的范围是。
A．－1.645～1.645 B．－∞～1.645 C．－∞～1.282D．－1.282～1.282 E．－1.96～1.968．在正态曲线，下列关于μ－1.645σ的说法正确的是。
A．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为90%B．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为10%C．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为5%D．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为45%E．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为47.5%9．下列关于标准正态分布的说法中错误的是。
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正态分布习题
1.已知随机变量服从正态分布()
2,2δN ，()8.04=≤ξP ，则()=≤0ξP A ． B ． C ． D ．
2.已知随机变量服从正态分布()
2,2a N ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξP Ａ.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
3.设两个正态分布N(μ1, σ21)(σ 1 ＞0)和N(μ2, σ2
2)（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有
Ａ. B. C.
D.
4.设随机变量ξ服从正态分布()9,2N ，若
()()11-<=+>c P c P ξξ,则c = ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
5.在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()()0,,1002>σσ，若ξ在()120,80内的概率为0.8,则落在()80,0内的概率为（ ）
A. 0.05
B.0.1
C.0.15
D.0.2
6.设随机变量X 服从正态分布()4,3N ，则()()
7312+>=-<a X P a X P 成立的一个必要不充分条件是（ ）
A ．1=a 或2
B ．1±=a 或2
C ．
D ．2
53-=a
7.某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩()2,90~a N ξ，（
，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的
5
3，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为 （ ） A ．200 B ．300 C ．400 D ．600
8.某次市教学质量检测,甲,乙,丙三科考试成绩的直方图如右所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由图中曲线可得下列说法中正确的一个是 ( )
A. 甲科总体的标准差最小
B.丙科总体的平均数最小
C.乙科总体的标准差及平均数都居中
D. 甲,乙,丙的总体的平均数不相同
9.设随机变量()2,~σμξN ，且当二次方程022=+-ξx x 无实根时的ξ的取值概率为0.5，则μ=（ ）
A ．0
B ．0.5
C ．1
D ．2 10.随机变量服从正态分布N(1,4)，若
，则=（ ） A 、 B 、 C 、 a + 0.003a D 、+·
11.已知某次数学考试的成绩服从正态分布N (116，64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为( )．
A ．0.3%
B ．0.23%
C ．1.5%
D ．0.15%
12. 在正态分布N ⎝⎛⎭
⎫0，19中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为( )． A ．0.097 B ．0.046 C ．0.03 D ．0.002 6
13.已知随机变量ξ服从正态分布()9,2N ,若()()b P a P =≤<=>31,3ξξ,则函数()1
12+-+=a a a a f 的值域是______________.
14.一投资者在甲、乙两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润x （万元）分别服
从正态分布甲：N （8，32）和乙：N （6，22），投资者要求利润超过5万元的概率尽量地大，
那么他应选择的方案是
15. 某县农民均收入服从μ＝500元， σ＝20元的正态分布，则此县农民年均收入在500元到520元间人数的百分比为________．。