专题六 培优点20 抛物线的焦点弦问题(解析版)

培优点20 抛物线的焦点弦问题
【方法总结】
直线与抛物线相交的问题，若直线过抛物线的焦点，可使用焦点弦长公式求弦长，利用焦点弦的特殊结论求解题目．
【典例】1 (1)(2020·石家庄模拟)已知F 是抛物线y 2
＝2px(p>0)的焦点，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AB 的中点为C ，过C 作抛物线准线的垂线交准线于C ′，若CC ′的中点为M(1,4)，则p 等于( ) A ．4 B ．8 C ．4 2 D ．8 2 【答案】 B
【解析】 如图，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
∵M(1,4)，∴y 1＋y 2＝8，
又C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋p 2，4，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0， ∴k AB ＝2，
∴直线AB ：y ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －p 2， 代入y 2
＝2px ， 得y 2
－py －p 2
＝0， ∴y 1＋y 2＝p ＝8.
(2)过抛物线y 2
＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A ．4 B.9
2 C ．5 D ．6
【答案】 B
【解析】 不妨设点A 在x 轴的上方，如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于点E ，
设|BF|＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AF|＝2m ，|AB|＝3m ， 由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m ，|BC|＝|BF|＝m ， 所以cos θ＝|AE||AB|＝1
3，所以tan θ＝2 2.
则sin 2θ＝8cos 2θ，所以sin 2
θ＝89
.
由y 2
＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式得|AB|＝
2p sin 2
θ＝9
2
. 【典例】2 已知抛物线C ：y 2
＝8x ，P 为C 上位于第一象限的任一点，直线l 与C 相切于点P ，连接PF 并延长交C 于点M ，过P 点作l 的垂线交C 于另一点N ，求△PMN 的面积S 的最小值．
【解析】解 由题意知F(2,0)，设P(x 0，y 0)(y 0>0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2
18，y 1， N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 2
28，y 2，切线l 的方程为x －x 0＝t(y －y 0)，
则FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2
18－2，y 1，FP →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 2
08－2，y 0，
由M ，F ，P 三点共线，可知FM →∥FP →
，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫y 218－2y 0－⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 2
08－2y 1＝0， 因为y 0≠y 1，所以化简可得y 0y 1＝－16.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －x 0＝t y －y 0，
y 2
＝8x ，可得y 2
－8ty ＋8ty 0－8x 0＝0，
因为直线l 与抛物线相切，故Δ＝64t 2－32ty 0＋4y 2
0＝0，故t ＝y 04.
所以直线PN 的方程为y －y 0＝－y 0
4(x －x 0)，
即y 0x ＋4y －4y 0－y 3
8＝0，
所以点M 到直线PN 的距离为
d ＝
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪y 21y 08＋4y 1－4y 0－y 3
08y 2
0＋16
，
将y 1＝－16
y 0
代入可得
d ＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪32y 0
＋4y 0＋y 3
08y 2
＋16
＝y 20＋16
2
8|y 0|y 2
0＋16
， 联立⎩⎪⎨
⎪⎧
y 0x ＋4y －4y 0－y 3
08＝0，y 2＝8x ，消去x 可得，
y 0y 2
＋32y －y 3
0－32y 0＝0，
所以y 0＋y 2＝－32y 0，y 2＝－32
y 0
－y 0，
|PN|＝
1＋16
y 20
|y 0－y 2|＝
1＋16y 20⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪2y 0＋32y 0＝
2y 2
0＋16
y 2
0＋16
y 20
，
故S ＝1
2d|PN|
＝12×y 2
0＋162
8|y 0|y 2
0＋16
×2y 2
0＋16
y 2
0＋16
y 20
＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2
0＋16y 03＝18⎝ ⎛
⎭⎪⎫y 0＋16y 03 ≥18⎝
⎛⎭
⎪⎫2y 0·16y 03
＝64，
当且仅当y 0＝4时，“＝”成立，
此时，△PMN 的面积S 取得最小值，为64. 【方法总结】
设AB 是抛物线y 2
＝2px(p>0)的一条焦点弦，焦点为F ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 2
4，y 1y 2＝－p 2.
(2)1|AF|＋1|BF|＝2p
. (3)|AB|＝
2p
sin 2
α
(α为弦AB 所在直线的倾斜角)． 【拓展训练】
1．设F 为抛物线C ：y 2
＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30° 的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.
334 B.938 C.6332 D.9
4
【答案】 D
【解析】 由已知得焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3
＝0.
方法一 联立直线方程与抛物线方程，
化简得4y 2
－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝
y A ＋y B
2
－4y A y B ＝6.
因此S △OAB ＝12|OF||y A －y B |＝12×34×6＝9
4
.
方法二 联立直线方程与抛物线方程得x 2
－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝212.
根据抛物线的定义有|AB|＝x A ＋x B ＋p ＝212＋3
2
＝12，
同时原点到直线AB 的距离为d ＝
|－3|42
＋－43
2＝38
， 因此S △OAB ＝12|AB|·d ＝9
4
.
2．过抛物线y 2
＝2px(p>0)的焦点F 且倾斜角为120° 的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF|
|BF|的值等于( )
A.13
B.23
C.34
D.43 【答案】 A
【解析】 记抛物线y 2
＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则
cos ∠ABB 1＝|BC||AB|＝|BB 1|－|AA 1||AF|＋|BF|
＝
|BF|－|AF|
|AF|＋|BF|
，
即cos 60°＝|BF|－|AF||AF|＋|BF|＝1
2，
得
|AF||BF|＝1
3
. 3．已知抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点为F ，点M(－2,2)，过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若∠AMB ＝90°，则k 等于( )
A. 2
B.
22 C.1
2
D ．2 【答案】 D
【解析】 抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点为F(2,0)， 由题意可知直线AB 的斜率一定存在， 所以设直线方程为y ＝k(x －2)(k ≠0)， 代入抛物线方程可得k 2x 2
－(4k 2
＋8)x ＋4k 2
＝0， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4＋8
k 2，x 1x 2＝4，
所以y 1＋y 2＝8
k
，y 1y 2＝－16，
因为∠AMB ＝90°，所以M A →·M B →
＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝16k 2－16k ＋4＝0，
解得k ＝2，故选D.
4.如图，已知点F(1,0)为抛物线y 2
＝2px(p>0)的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧，记△AFG ，△CQG 的面积为S 1，S 2.
(1)求p 的值及抛物线的准线方程； (2)求S 1
S 2
的最小值及此时点G 的坐标．
【解析】解 (1)由题意可得p
2＝1，则p ＝2,2p ＝4，
抛物线方程为y 2
＝4x ，准线方程为x ＝－1. (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，k>0， 与抛物线方程y 2＝4x 联立可得， k 2x 2
－(2k 2
＋4)x ＋k 2＝0， 故x 1＋x 2＝2＋4
k 2，x 1x 2＝1，
y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2－2)＝4
k ，
y 1y 2＝－4x 1×4x 2＝－4，
设C(x 3，y 3)，由重心坐标公式可得， x G ＝x 1＋x 2＋x 33＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4k 2＋x 3， y G ＝y 1＋y 2＋y 33＝13⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k ＋y 3，
令y G ＝0可得，y 3＝－4k ，则x 3＝y 2
34＝4
k 2，
即x G ＝13⎝
⎛
⎭⎪⎫2＋4k 2＋4k 2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋8k 2，
由斜率公式可得，k AC ＝y 1－y 3x 1－x 3＝y 1－y 3y 214－y 234
＝4
y 1＋y 3
，
直线AC 的方程为y －y 3＝
4
y 1＋y 3
(x －x 3)，
令y ＝0，可得x Q ＝x 3＋－y 3y 1＋y 34＝y 2
34＋－y 3y 1＋y 34＝－y 1y 3
4，
故S 1＝12×(x G －x F )×y 1＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋8k 2－1×y 1＝y 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫
83k 2－13，
且S 2＝1
2×(x Q －x G )×(－y 3)
＝－y 32⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－y 1y 34－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋8k 2， 由y 3＝－4k ，代入上式可得S 2＝2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫
y 1k －23－83k 2，
由y 1＋y 2＝4
k ，y 1y 2＝－4可得
y 1－4y 1＝4k ，则k ＝4y 1
y 21－4，
则S 1S 2＝y 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫
83k 2－132k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
y 1k －23－83k 2＝2y 21y 2
1－2
y 21－4y 2
1＋4
＝2－4
y 21
－8＋48
y 21－8
＋16
≥2－
4
2
y 2
1－8×48y 21－8
＋16
＝1＋
32
， 当且仅当y 21－8＝48y 21－8，即y 2
1＝8＋43，y 1＝6＋2时等号成立，此时k ＝4y 1y 21－4＝2，x G
＝13⎝
⎛
⎭⎪⎫2＋8k 2＝2，
则点G 的坐标为(2,0)．。