基本初等函数(Ⅰ)专题训练

1.(优质试题·全国丙卷改编)已知a ＝23，b ＝45，c ＝253，则a ，b ，c 的大小关系为________．
解析：因为a ＝24
3，b ＝42
5＝24
5
，由函数y ＝2x 在R 上为增函数知，b <a ；又因为a
＝243＝423，c ＝2513＝523，由函数y ＝x 2
3在(0，＋∞)上为增函数知，a <c .综上得c >a >b .
答案：c >a >b
2．(优质试题·浙江高考)已知a ＞b ＞1，若log a b ＋log b a ＝52，a b
＝b a ，则a ＝________，
b ＝________.
解析：因为log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝5
2
，
所以log a b ＝2或1
2.因为a ＞b ＞1，所以log a b ＜log a a ＝1，
所以log a b ＝1
2，所以a ＝b 2.因为a b ＝b a ，所以(b 2)b ＝bb 2，
即b 2b ＝bb 2，所以2b ＝b 2，所以b ＝2，a ＝4. 答案：4 2
3．(优质试题·山东高考改编)若函数f (x )＝2x ＋1
2x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的
取值范围为________．
解析：因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋1
2x －a .化简可
得a ＝1，则2x ＋12x －1>3，即2x ＋12x －1－3>0，即2x ＋1－3(2x －1)2x
－1>0，故不等式可化为2x －2
2x －1<0，即1<2x <2，解得0<x <1.
答案：(0,1)
4．(优质试题·江苏高考)不等式2x 2－x ＜4的解集为________． 解析：因为2x 2－x ＜4，所以2x 2－x ＜22， 所以x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，所以－1＜x ＜2. 答案：(－1,2)
5．(优质试题·安徽高考)⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 3 54＋log 3 4
5
＝________. 解析：原式＝⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫234－34＋log 3
⎝⎛⎭⎫54×45＝⎝⎛⎭⎫23－3＝278
. 答案：
278
6．(优质试题·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：因为f (x )为偶函数，所以f (－x )－f (x )＝0恒成立， 所以－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，所以x ln a ＝0恒成立，所
以ln a ＝0，即a ＝1.
答案：1
7．(优质试题·山东高考)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.
解析：当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[]
－1，0上为增函数，由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧ a －1
＋b ＝－1，a 0＋b ＝0
无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a －1＋
b ＝0，a 0
＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12，
b ＝－2，
所以a ＋b ＝－3
2
.
答案：－32
8．(优质试题·天津高考)已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．
解析：由于a >0，b >0，ab ＝8，所以b ＝8a .
所以log 2a ·log 2(2b )＝log 2a ·log 2⎝⎛⎭
⎫16
a ＝log 2a ·(4－log 2a )＝－(log 2a －2)2＋4，
当且仅当log 2a ＝2，即a ＝4时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值4. 答案：4
9．(优质试题·江苏高考)已知函数f (x )＝a x ＋b x (a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝12
.
①求方程f (x )＝2的根；
②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值． (2)若0＜a ＜1，b ＞1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值． 解：(1)因为a ＝2，b ＝1
2，所以f (x )＝2x ＋2－x .
①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x ＝2， 亦即(2x )2－2×2x ＋1＝0，
所以(2x －1)2＝0，即2x ＝1，解得x ＝0.
②由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2. 因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )＞0， 所以m ≤(f (x ))2＋4
f (x )对于x ∈R 恒成立．
而(f (x ))2＋4f (x )＝f (x )＋4f (x )
≥2
f (x )·4
f (x )＝4，且(f (0))2＋4f (0)
＝4，
所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.
(2)因为函数g (x )＝f (x )－2＝a x ＋b x －2有且只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0
－2＝0，
所以0是函数g (x )的唯一零点．
因为g ′(x )＝a x ln a ＋b x ln b ，又由0＜a ＜1，b ＞1知ln a ＜0，ln b ＞0， 所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a ⎝⎛⎭⎫
－ln a ln b .
令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a )2＋b x (ln b )2，
从而对任意x ∈R ，h ′(x )＞0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数． 于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )＜g ′(x 0)＝0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )＞g ′(x 0)＝0.
因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数． 下证x 0＝0.
若x 0＜0，则x 0＜x 0
2
＜0，于是g ⎝⎛⎭⎫x 02＜g (0)＝0. 又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2＞a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的
闭区间上的图象不间断，所以在x 0
2和log a 2之间存在g (x )的零点，记为x 1.因为0＜a ＜1，
所以log a 2＜0.
又x 0
2
＜0，所以x 1＜0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾． 若x 0＞0，同理可得，在x 0
2和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，与“0是函数g (x )
的唯一零点”矛盾．
因此，x 0＝0.
于是－ln a ln b
＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.
10．(优质试题·上海高考)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭
⎫1
x ＋a .
(1)当a ＝5时，解不等式f (x )>0；
(2)若关于x 的方程f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围；
(3)设a >0，若对任意t ∈⎣⎡⎦
⎤1
2，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差
不超过1，求a 的取值范围．
解：(1)由log 2⎝⎛⎭
⎫1x ＋5>0，得1
x ＋5>1，
解得x ∈⎝⎛⎭
⎫－∞，－1
4∪(0，＋∞)．
(2)由原方程可得1
x ＋a ＝(a －4)x ＋2a －5，
即(a －4)x 2＋(a －5)x －1＝0.
①当a ＝4时，x ＝－1，经检验，满足题意． ②当a ＝3时，x 1＝x 2＝－1，经检验，满足题意． ③当a ≠3且a ≠4时，x 1＝1
a －4
，x 2＝－1，x 1≠x 2.
若x 1是原方程的解，则1
x 1＋a >0，即a >2；
若x 2是原方程的解，则1
x 2＋a >0，即a >1.
由题意知x 1，x 2只有一个为方程的解，
所以⎩⎨⎧
a >2，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤2，
a >1，
于是满足题意的a ∈(1,2]．
综上，a 的取值范围为(1,2]∪{3,4}． (3)易知f (x )在(0，＋∞)上单调递减，
所以函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1)．
f (t )－f (t ＋1)＝lo
g 2⎝⎛⎭⎫1t ＋a －log 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1t ＋1＋a ≤1，即at 2＋(a ＋1)t －1≥0对任意t ∈⎣⎡⎦⎤12，1恒成立．
因为a >0，所以函数y ＝at 2＋(a ＋1)t －1在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增，当t ＝1
2时，y 有
最小值34a －12.由34a －12≥0，得a ≥2
3
.
故a 的取值范围为⎣⎡⎭
⎫2
3，＋∞.
1.(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，
x 2
－2mx ＋4m ，x ＞m ，
其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．
解析：作出f (x )的图象如图所示．当x ＞m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，所以要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m －m 2＜m ，即m 2－3m ＞0.又m ＞0，解得m ＞3.
答案：(3，＋∞)
2．(优质试题·江苏高考)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎨⎧
0，0＜x ≤1，
|x 2－4|－2，x ＞1，
则方程
|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．
解析：①当0＜x ≤1时，方程为－ln x ＝1，解得x ＝1
e
.
②当1＜x ＜2时，f (x )＋g (x )＝ln x ＋2－x 2单调递减，值域为(ln 2－2,1)，方程f (x )＋g (x )＝1无解，方程f (x )＋g (x )＝－1恰有一解．
③当x ≥2时，f (x )＋g (x )＝ln x ＋x 2－6单调递增，值域为[ln 2－2，＋∞)，方程f (x )＋g (x )＝1恰有一解，方程f (x )＋g (x )＝－1恰有一解．
综上所述，原方程有4个实根． 答案：4
3．(优质试题·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋1
2.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．
解析：函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3,4]与y ＝a 的图象有10个不同交点．作出函数y ＝f (x )在[－3,4]上的图象如图所示，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0<a <1
2
.
答案：⎝⎛⎭
⎫0，1
2
1.(优质试题·x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝
2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
解析：由已知条件，得192＝e b ，所以b ＝ln 192. 又因为48＝e 22k ＋b ＝e 22k ＋ln 192＝192e 22k ＝192(e 11k )2，
所以e 11k ＝⎝⎛⎭⎫4819212＝⎝⎛⎭⎫1412＝1
2.
设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，
则t ＝e 33k ＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝⎛⎭⎫123＝24. 答案：24
2．(优质试题·江苏高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公
路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l .如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米．以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy .假设曲线C 符合函数y ＝a
x 2
＋b
(其中a ，b 为常数)模型．
(1)求a ，b 的值．
(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域． ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度． 解：(1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5,40)，(20，2.5)． 将其分别代入y ＝a
x 2
＋b
，得⎩
⎪⎨⎪⎧
a
25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1 000，
b ＝0.
(2)①由(1)知，y ＝
1 000
x 2
(5≤x ≤20)， 则点P 的坐标为⎝
⎛⎭⎫t ，1 000t 2. 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 两点， y ′＝－2 000
x
3，
则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000
t
3(x －t )，
由此得A ⎝⎛⎭⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎫0，3 000
t 2. 故f (t )＝
⎝⎛⎭⎫3t 22＋⎝⎛⎭⎫3 000t 2
2＝32
t 2
＋4×106
t
4，t ∈[5,20]．
②设g (t )＝t 2
＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106
t 5.
令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.
当t ∈(5,102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数； 当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数． 从而，当t ＝102时，
函数g (t )有极小值，也是最小值， 所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3. 故当t ＝102时，公路l 的长度最短， 最短长度为153千米．
3．(优质试题·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －
1
20
(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解：(1)令y ＝0，得kx －
1
20
(1＋k 2)x 2＝0， 由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0， 故x ＝
20k 1＋k 2＝20k ＋1k
≤20
2
＝10，
当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－1
20(1＋k
2)a2成立
⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0
⇔a≤6.
所以当a不超过6(千米)时，可击中目标．。