2-5初等变换

此定义还可表示为：若 P s P1 A Q 1 （其中P和Q是初等矩阵）,则A等价于B。
Qt B
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1 0 4
2 4 2 A
3 5 2
[2，3]
1 4 0
2 2 4 B
3 2 5
3<1>
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1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 4 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0
0 0
？
1
0 1 4
0 1 1 0 0 0
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1 0 0 1 0 0 1 0 4
0 1 0 0 1 0 2 4 2
0 0 2
2[3] 2<3>
2 4 2 0 1 0 3 1 5 0 2 ×2 8 0 1 0 0 4 2 2 4 2 2 4 4 3 5 4
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四、初等变换法求逆矩阵 步骤：(1)做一个 n 2 n 矩阵 ( A I n ) (2)对 ( A I ) 施行初等行变换，使A 化成 I ，即
(A I)
(I B)
(3)取出
B
,即为
A
1
【仿P132，例8】 【仿P133，例9】
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1、初等变换 对矩阵施以下列3种变换，称为矩阵的初等变换。
二、等价 定义： B : A 初等变换 B A 注（1）等价矩阵不唯一。
P s P1 A Q 1 Q t B
（2）所有等价矩阵都同时可逆或者不可逆。 三、标准形
定义：左上为I，其余为零。 注（1）行列式为1的标准型必为I。 （2）任意矩阵都有唯一等价标准型。 （3）可逆矩阵的价标准型为单位矩阵。 （4）可逆矩阵可分解为初等矩阵之积。 （5）可逆阵只经过初等行变或初等列变即可化为 单位阵。
1.对换：交换矩阵的两行(列)；
[i, j] i, j
2.倍乘：用一个非零的数
k[i ]
k i
k 乘矩阵的某一行(列)； k 倍加到另一行(列)。
3.倍加：把矩阵的某一行(列)的
k[i ] [ j]
k i
j
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1 0 4
2 4 2
3 1 [2，3] 5 4 0 2
求A、B
解：
0 A 1 0
1 B 0
4 2 6
2 1 4 0 6
1 1 3 1 5
3 7 11
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初等矩阵都是可逆的，且逆矩阵仍为初等矩阵。
1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 4 0 0 0 4 1 1 0 0 0 1 0 2 0 1 1
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2、初等矩阵 对单位矩阵 I 实行一次初等变换所得到的 矩阵就称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵. １、对换阵
1 1

1 0




1
0

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２、倍乘阵
1 1
4 2 6 0 0 1
1 3 5 0 1 0 1 3 5 1 0 0
2 1 4 B 3 5 6 01 0 3 15
3 7 11 2 3 4 1 6 5
2 2 4
3 2 5
3<1>
3 12 0
2 2 4
3 2 5
3 (-2)[1]+[2] 6 0
2 2 4
3 8 5
2<2>+<3>
3 6 0
2 2 4
7 12 3
[2，3] <2，3>
2 4 2 0 0 1 3 5 2 0 1 0
1 4 0 2 2 4 3 2 5
3 1 5 0 2 0
1 0 4
3 5 2
2 4 2
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1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
1 [2，3] <2，3> 0 0
0 0 1 0 4 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 2 0 1
4[2] 4<2>
1 0 0
0 1 2[3]+[1] 0 2<1>+<3> 0 0 1
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【例1 】 下列那些是初等矩阵？分别对应哪种行、列变换？
1 0 0 0 2 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2 1 1 1 0 0 1 0 0 0 2
2[2] 2<2>
非初等阵
[1，3]
-2[3]+[2]
非初等阵
<1，3> -2<2>+<3>
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1 0 0 1 0 0 1 0 4
0 0 1 0 0 1 2 4 2
0 1 0 01 1 0 04
3 12 0
7 12 3
0 3 2 6 1 0
2 2 4 C
3 2 5
(-2)[1]+[2]
3 6 0
2 2 4 D
3 8 5
-3[1]+[3]
1 0 3 0 1 0 0 0 1
2<2>+<1>
1 2 0 0 1 0 0 0 1
5[2]
[1,2]
-3<3>+<1>
2[1]+[2]
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【例】
1 A 3 5 2 3 4 1 6 5 1 0 0
2[3]+[1] 2<1>+<3>
2 4 2 0 1 0 3 5 ×2 2 2 1 0 0 1 4 9 0 4
2 4 2
6 4 2
5 5 6
1 5 2
3 1 5 0 2 0
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解：
0 0 P1 P 2 P 3 1 0 0 0 1 c
0 1 0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0
01 0 0 1 c 0 0 0 1 1
01 0 0 24 3 1 5 0 2 0
×2
6 10 4
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1 0 0 1 0 0 1 0 4
0 1 0 0 1 0 2 4 2
×2
2 0 1 21 0 0 14
1 P3
k 1
1
1 k 1
1 1 c
1
1 1
1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
1 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
1 k 1
0 0 0 1 1
1 k c
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4、矩阵的等价关系 若矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，称矩阵A与B 等价，记作 A B 等价关系的性质： （1）反身性： A A
（2）对称性：A B B A （3）传递性：A B , B C A C
求
P
20
AQ
21
Байду номын сангаас
解
P
20
AQ
21
AQ
21
1 AQ 4 7
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【例】
写出与下列初等变换对应的初等矩阵，并写出其所 对应的另一种初等变换。 5<2>
1 0 0 0 5 0 0 0 1
<1,2>
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1
1 1 k 1
(ci )
( ri ) 1
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３、倍加阵
1
1 1 k
(ci )
(c j )
(r ) i (r ) j 1
1 1
1 1
k 1
1 1 0 0 0 0 0 0 1
k 1
0 0 1 c 1
0 k 0 0
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( P1 P2 P3 )
1 1
P3 P2 P1
1 1
1
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【P128,例5】
1 A 4 7 2 5 8 3 0 6 P 0 1 9 0 1 0 1 1 0 Q 0 0 0 3 6 9 0 0 1 2 5 8 0 1 0
1
1
P1 P2 P3 P3 P2 P1
1
1 c
I
0 0 P1 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
1 P2 c
1 1
1
0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
？
0
1 0 0 0 1
0
2 1 0 0 1 0
？
1 0
0
2
1 0 0 0 1
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【例】
0 0 P1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 P 2 0 1 c
1
1 1
1 P 3 1
k 1
1
求 P1 P 2 P 3 及 ( P1 P 2 P 3 )
第五节 初等变换
一、初等矩阵相关概念 1.初等变换：对换、倍乘、倍加。 2.初等矩阵：单位阵经一次初等变换成为初等阵。 包括：对换阵、倍乘阵、倍加阵 【例】
注：（1）初等矩阵与初等变换的关系：左乘变行，右 乘变列.
【P128，例5】 【例】 【例】 （2）初等矩阵可逆，逆矩阵仍为初等矩阵。 【例】
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