陕西省安康市2023届高三三模文科数学试题及参考答案

陕西省安康市2023届高三三模（第三次质量联考）
文科数学试题及参考答案
一.选择题
1.已知集合(){
}2
,x y y x A ==，(){}x y y x B ==,，则=B A （
）
A.{}
1,0 B.(){}0,0 C.(){}
1,1 D.()(){}1,10,0，
2.若复数()R b a bi a z ∈+=,满足i z +2为纯虚数，则=a
b （）A.2
- B.2
1
-
C.2
1 D.23.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，443=+a a ，则=6S （）A.6
B.12
C.18
D.244.已知向量()1,2=a
，()x b ,1= ，若b a -2与b 共线，则=b （
）
A.
2
5 B.
4
5 C.5 D.5
5.党的二十大报告提出全面推进乡村振兴.为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场.该特色产品的热卖黄金时段为2023年3月1日至5月31日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年3月1日至3月5日时段的相关数据，这5天的第x 天到该电商平台专营店购物人数y （单位：万人）的数据如下表：
依据表中的统计数据，经计算得y 与x 的线性回归方程为a x y
+=4.6ˆ.请预测从2023年3月1日起的第58天到该专营店购物的人数（单位：万人）为（）A.440
B.441
C.442
D.443
6.若双曲线()01222
>=-k k
y x 的渐近线与圆()1222
=-+y x 相切，则=k （
）
A.2
B.3
C.1
D.
3
37.在ABC ∆中，“B A tan tan >”是“B A sin sin >”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.已知方程()(
)
027272
2
=+-+-nx x mx x 的四个根组成以1为首项的等比数列，则
=-n m （
）
A.8
B.12
C.16
D.20
9.羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为6cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是6cm，底部所围成的圆的直径是2cm，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为（）
A.
3
π
B.
2
π C.
3
2π D.π
10.设()x f 时定义域R 的偶函数，且()()x f x f -=+2，2121=⎪⎭⎫
⎝⎛f ，则=⎪⎭
⎫ ⎝⎛22023f （）
A.2
1
-
B.
2
1 C.23-
D.
2
311.已知椭圆C ：()0122
22>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆C 上一点，
︒=∠6021PF F ，点2F 到直线1PF 的距离为
a 3
3
，则椭圆C 的离心率为（）
A.3
3
B.
2
2 C.
3
6 D.
3
2212.若01.111
21=-==+c
e a b
，则（）
A.c
b a >> B.c
a b >> C.b a c >> D.a
b c >>
二、填空题
13.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪
⎨⎧≤+-≤->7220y x y x x ，则y x z -=的最大值是
.
14.已知函数()()
⎩
⎨⎧>-≤=0,10
,4x x f x x f x ，则()=
3log 2f .
15.已知函数()()0cos >=ωωx x f 的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛02，π对称，且在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡80π，单调，则ω的一个取值是
.
16.已知矩形ABCD 的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为
.
三、解答题
17.新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照[0,20),[20,4.),[40,60),[60,80)[80,100]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中a 的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数；
（2）据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目：成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目.按分层抽样的方法从测试成绩在[0,20),[80,100]的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率.
18.已知ABC ∆的内角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，且c a <，
4
16cos 3sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-A A ππ.（1）求A ；（2）若3=
b ，B C
c A a sin 34sin sin =+,求ABC ∆的面积.
19.如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，G F E ,,分别是棱P A AD BC ,,的中点.
（1）证明：PE ∥平面BFG ；
（2）若2=AB ，求点C 到平面BFG 的距离.
20.已知函数()x a x x f ln 2-=.（1）讨论函数()x f 的单调性；（2）若()2
2
12a a x f -
≥，求a 的取值范围.21.已知()21，M 抛为物线C ：px y 22
=上一点.
（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）过点()1,0T 的直线l 与抛物线C 交于B A ,两点，且直线MA 与MB 的倾斜角互补，求TB TA ⋅的值.
22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为(
)⎩⎨
⎧=-=t
y t x 222（t 为参数）.
以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
()4sin 3122=+θρ.
（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若射线βθ=（其中()πβ，0∈，且2
1
tan -=β，0≥ρ)与曲线C 在x 轴上方交于点M ，与直线l 交于点N ，求MN .
23.已知函数()322-++=x x x f .（1）求不等式()5≤x f 的解集；
（2）若R x ∈∀，()x f a a ≤-32
，求a 的取值范围.
参考答案
一.选择题
1.D 解析：由题意得⎩⎨⎧==x
y x y 2，解得⎩⎨⎧==00y x 或⎩⎨⎧==11
y x ，故=B A ()(){}1,10,0，
.2.A
解析：
()()()()()5
2222222i
a b b a i i i bi a i bi a i z -++=
-+-+=++=+为纯虚数，∴⎩⎨
⎧≠-=+0
202a b b a ，∴2-=a b
.
3.B
解析：()()
122
62643616=+=+=
a a a a S .4.A 解析：由题意得()x
b a -=-2,32 ，∴x x -=23，解得21=x ，∴2
5
411=+=b .
5.C
解析：由题意，3554321=++++=
x ，905
100
98938475=++++=y ，
将()90,3代入a x y
+=4.6ˆ，可得a +⨯=34.690，解得8.70=a ，线性回归直线方程为8.704.6ˆ+=x y
，将58=x 代入上式，4428.70584.6ˆ=+⨯=y
.6.B
解析：双曲线的渐近线方程为kx y ±=，即0=-±y kx .
∵双曲线的渐近线与圆相切，∴
11
22
=+k ，解得3=k .
7.D
解析：当6π=A ，3
2π
=B 时，B A tan tan >，但B A sin sin <,故“B A tan tan >”不是“B A sin sin >”的充要条件，
当32π=
A ，6
π
=B 时，B A sin sin >，但B A tan tan <,故“B A tan tan >”不是“B A sin sin >”的必要条件；
∴“B A tan tan >”是“B A sin sin >”的既不充分又不必要条件8.C
解析：设方程(
)(
)
027272
2
=+-+-nx x mx x 的四个根由小到大依次为4
321,,,a a a a 不妨设0272
=+-mx x 的一个根为1，则另一根为27，∴28271=+=m .
由等比数列的性质可知3241a a a a =，∴27141==a a ，，∴等比数列4321,,,a a a a 的公比为33
1
4
==a a q ，∴931331232=⨯==⨯=a a ，，由韦达定理得1293=+=n ，∴161228=-=-n m .9.C
解析：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大、
小圆锥的侧面积之差，
设小圆锥母线长为x ，则大圆锥母线长为6+x ，由相似得
3
1
6=+x x ，解得3=x .∴可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为
3
2312π
π=
⋅.10.B 解析：由已知可得()()x f x f =+2，∴()x f 的周期为2，∴2
1
212110122202322023=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫
⎝⎛f f f f .11.A
解析：如图，由题意得a M F 3
3
2=
，︒=∠6021PF F ，∴a PF a PM 3
2312==
，，由椭圆定义可得
a PF MF PM PF PF 22121=++=+，∴a MF =1.
在21F MF Rt ∆中，由勾股定理得22
2
433c a a =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+，可得33==a c e .12.A 解析：由01.11121=-==+c e a b
得01
.11
101.1ln 2101.12-
==-=c b a ，，，比较a 和b ，构造函数()x x x f ln 21
2--=，当1>x ，()01>-='x x x f ，
()x f 在()∞+，1上单调递增，故()()0101.1=>f f ，即b a >.
同理比较b 和c ，构造函数()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-
-=x x x g 11ln ，当1>x ，()01
2>-='x
x x g ，∴()x g 在()∞+，1上单调递增，∴()()0101.1=>g g ，即c b >.综上：c b a >>
.
二、填空题13.1
解析：作出可行域，易得目标函数y x z -=在点()3,4A 处取得最大值1.14.
16
9解析：()()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛=-=43log 123log 23log 13log 3log 222
22f f f f f 16
9
2
44
3log 24
3log 2
2
=
==.15.1或3或5或7（写出其中一个即可）解析：由已知可得02cos =⎪⎭⎫ ⎝
⎛⋅
πω，∴Z k k ∈+=⋅,2
2ππ
πω，∴Z k k ∈+=,21ω.∵()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡80π，单调，∴⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈ωπ
ω8,0x ，∴结合x y cos =的图象可得πωπ
≤8，
∴80≤<ω，∴=ω1或3或5或7.16.π
52解析：设正六棱柱的底面边长为x ，高为y ，则186=+y x ，30<<x ，
正六棱柱的体积
()()336618336361833634363
2=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-++≤-⋅⋅⋅=⋅=x x x x x x x y x V ，当且仅当x x 6183-=，即2=x 时，等号成立，此时6=y .
正六棱柱的外接球的球心在其上下底面中心的连线的中点，其半径为13322
2
=+，∴外接球的表面积为ππ52134=⨯.三、解答题
17.解：（1）()1200125.0015.001.0005.0=⨯++++a ，解得0075.0=a .设中位数为x ，∵学生成绩在[0,40)的频率为()5.03.001.0005.020<=+⨯，在[0,60)的频率为()5
.06.0015.001.0005.020>=++⨯∴中位数满足等式()5.040015.02001.020005.0=-⨯+⨯+⨯x ，解得3
160
=x .故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为
3
160
.（2）成绩在[0,20)的频数为1010020005.0=⨯⨯，成绩在[80,100]的频数为151********.0=⨯⨯，
按分层抽样的方法选取5人，则成绩在[0,20)的学生被抽取2525
10
=⨯人，设为b a ,，在[80,100]的学生被抽取
3525
15
=⨯人，设为e d c ,,，从这5人中任意选取2人，基本事件有a b,a c,a d,a e,b c,b d,b e,c d,c e,d e,共10种，都不选考历史科目的有a b,1种，故这2人中至少有1人高考选历史科目的概率为10
9
1011=
-
=P .18.解：（1）⎪⎭⎫
⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛-A A A A A 6cos 6cos 3
2cos 6cos 3sin 2ππππππ4121
23cos =+⎪⎭⎫
⎝⎛+=A π，∴2123cos -=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+A π，∵π<<A 0，∴
37233πππ<
+<A ，∴3223ππ=+A 或3
423π
π=+A ，解得6π=A 或2
π
=A ，
∵c a <，∴2π<A ，∴6π
=A .
（2）由（1）知6
π=A ，B C c A a sin 34sin sin =+，
由正弦定理得12342
2==+b c a 由余弦定理得A bc c b a cos 22
2
2
⋅-+=，即2
3
323122
2
⋅-+=-c c c ，整理得09322
=--c c ，由0>c 得3=c ，∴4
33213321sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC .19.解：（1）连接DE ，
∵ABCD 是正方形，F E ,分别是AD BC ,的中点，∴BE DF BE DF ∥,=，
∴四边形BEDF 是平行四边形，∴BF DE ∥，∵G 是P A 中点，∴PD FG ∥.
∵⊄DE PD ,平面BFG ，⊂BF FG ,平面BFG ，∴PD ∥平面BFG ，DE ∥平面BFG
，
∵D DE PD = ，∴平面PDE ∥平面BFG ，∵⊂PE 平面PDE ，∴PE ∥平面BFG .
（2）∵⊥PD 平面ABCD ，PD FG ∥，∴⊥FG 平面ABCD ，过C 在平面ABCD 内，作BF CM ⊥，垂足为M ，则CM FG ⊥,
∵F BF FG = ，∴⊥CM 平面BFG .∴CM 长是点C 到平面BFG 的距离，∵BCF ∆中，5=
=CF FB ，∴由等面积可得5
5
45
22=
⨯=CM .∴点C 到平面BFG 的距离为
5
5
4.20.解：（1）由题意可得()0,22>-=-
='x x
a x x a x f ，当0≤a 时，()0>'x f ，此时()x f 在()∞+，0上单调递增；当0>a 时，令()0<'x f 得20a x <<，令()0>'x f 得2
a
x >，此时()x f 在⎪⎭⎫ ⎝
⎛
2,
0a 上单调递减，在⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,2a 上单调递增.（2）当0=a 时，()02>=x x f ，()2
2
12a a x f -≥显然成立.当0<a 时，()x f 在()∞+，0上单调递增，
若()a
a e
x 222
0-<<，由
()
0222
<-a
a 可得()10222
<<-a
a e
，
∴()()()2
2
222
12222ln 2ln 2ln 22
a a a
a a e a x a x a x x f a
a -
=-⋅
-=-<-<-=-，与()2
2
12a a x f -
≥矛盾；当0>a 时，()x f 在⎪⎭⎫ ⎝
⎛2,
0a 上单调递减，在⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,2a 上单调递增，∴()2ln 2min a a a a f x f -=⎪⎭
⎫
⎝⎛=.
∵()2212a a x f -
≥，∴22122ln a a a a a -≥-，即012ln 2≥--a
a .令()12ln 2--=a a a h ，则()a
a a a h 22
121-=-='，
令()0>'a h 得2>a ，∴()a h 在()2,0上单调递减，在()∞+，2上单调递增，∴()()012ln 2ln 12min =-+-==h a h ，∴
012
ln 2≥--a a .综上，a 的取值范围是[)∞+，0.
21.解：（1）由点()21，M 在抛物线C 上得p 222=，即2=p ，∴抛物线C 的准线方程为12
-=-=p x .（2）设直线AB 的方程为1+=kx u ，()()2211,,y x B y x A ，，
由直线MA 与MB 的倾斜角互补得0=+MB MA k k ，即()()()0224414
2142222221212222112211=++++=--+--=--+--y y y y y y y y x y x y ，∴421-=+y y .
联立⎩⎨
⎧=+=x y kx y 412得0442=+-y ky ，∴k y y k y y 442121==+，，∴44-=k
，∴1-=k ，421-=y y .()()()()222221212222212112kx x kx x y x y x TB TA +⋅+=-+⋅-+=⋅()()24112
212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=y y k x x k .22.解：（1）由()⎩⎨⎧=-=t y t x 222得()
222-=y x ，即0242=+-y x .
故直线l 的普通方程是0242=+-y x .
由()4sin 3122=+θρ得4sin 32
22=+θρρ，代入公式⎩⎨⎧==θ
ρθρsin cos y x 得43222=++y y x ，∴1422=+y x ，故曲线C 的直角坐标方程是14
22
=+y x .
（2）由βθ=（其中()πβ，0∈，且2
1tan -=β，0≥ρ)得55sin =β，5
52cos -=β.将射线βθ=（0≥ρ）代入曲线C 的极坐标方程，可得
2
555314sin 314222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=+=βρM ，∴210=M ρ.直线l 的极坐标方程为024sin 2cos =+-θρθρ，
将βθ=（0≥ρ）代入直线l 的极坐标方程可得：024sin 2cos =+-βρβρ，∴10=N ρ，∴2
1021010=-=-=M N MN ρρ.23.解：（1）()⎪⎩
⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+-=-++=3,1331,51,13322x x x x x x x x x f .
①当1-≤x 时，34513-≥⇒≤+-x x ，解得13
4-≤≤-x ；②当31<<-x 时，055≤⇒≤+x x ，解得01≤<-x ；
③当3≥x 时，2513≤⇒≤-x x ，无解.∴不等式的解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
≤≤-034x x .（2）∵R x ∈∀，()x f a a ≤-32，∴()min 23x f a a ≤-，由（1）知()x f 在()1-∞-，单调递减，[)3,1-单调递增，[)∞+，3单调递增，∴()()41min =-=f x f ，∴432≤-a a ，∴4342
≤-≤-a a ，解得41≤≤-a .。