七年级数学上册专题复习第五章一元一次方程北师大版
北师大数学七年级上册第五章《一元一次方程》全章复习与巩固(基础)
《一元一次方程》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1．经历建立方程模型、解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会模型思想；2．了解一元一次方程、方程的解等基本概念，会解数字系数的一元一次方程，感受转化思想；3．能运用一元一次方程解决实际问题，能根据实际意义检验方程的合理性．【知识网络】【要点梳理】知识点一、一元一次方程的概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．要点诠释：（1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的标准形式．（2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．知识点二、等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变． 3．去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 知识点三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax ＝b(a ≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解bx a=(a ≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.等积变形：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积.2.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价3.行程问题：路程＝速度×时间4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数7.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+.8.方案问题：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．【典型例题】类型一、一元一次方程的概念1．（2014•郸城县校级模拟）如果方程（k ﹣1）x |k|+3=0是关于x 的一元一次方程，那么k 的值是 ．【思路点拨】根据一元一次方程的定义知|k|=1且未知数是系数k ﹣1≠0，据此可以求得k 的值．【答案】 ﹣1． 【解析】解：∵方程（k ﹣1）x |k|+3=0是关于x 的一元一次方程， ∴|k|=1，且k ﹣1≠0， 解得，k=﹣1； 故答案是：﹣1．【总结升华】本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1，且未知数的系数不为零．举一反三：【变式】下列说法中正确的是( ).A．2a-a=a不是等式 B．x2-2x-3是方程 C．方程是等式 D．等式是方程【答案】C2. 若方程3(x-1)+8＝2x+3与方程253x k x+-=的解相同，求k的值．【答案与解析】解：解方程3(x-1)+8＝2x+3，得x＝-2．将x＝-2代入方程253x k x+-=中，得22253k-++=．解这个关于k的方程，得263k=．所以，263k=．【总结升华】由于两个方程的解相同，所以可以将其中一个方程的解代入另一个方程中，从而求得问题的答案．举一反三：【变式】（2015春•泉州期中）当x= 时，代数式2x+1与5x﹣8的值相等．【答案】3．解：根据题意得：2x+1=5x﹣8，∴2x﹣5x=﹣8﹣1，∴﹣3x=﹣9，∴x=3.类型二、一元一次方程的解法3．解方程2351 46y y+--=【思路点拨】通过方程的同解原理(去分母，去括号，合并同类项，系数化为1)，一步一步将一个复杂的方程转化成与它同解的最简的方程，从而达到求解的目的．【答案与解析】解：去分母，得3(y+2)-2(3-5y)＝12去括号，得3y+6-6+10y＝12合并同类项，得13y＝12未知数的系数化为1，得1213 y=【总结升华】转化思想是初中数学中一种常见的思想方法，它能将复杂的问题转化为简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题，将未知转化为已知．事实上解一元一次方程就是利用方程的同解原理，将复杂的方程转化为简单的方程直至求出它的解．举一反三：【变式】解方程：解方程：0.10.050.20.0550.20.54x x+--+=【答案】解：把方程可化为：0.520.550 254x x+--+=再去分母得：232x=-解得：16x=-4．解方程：113(1)(1)2(1)(1)22x x x x+--=--+【思路点拨】本题按常规方法求解，比较繁锁，如能根据题目的特点，巧用“整体思维”，就能算得又快又对，起到事半功倍的效果．【答案与解析】解：113(1)(1)2(1)(1)22x x x x+++=-+-75(1)(1)22x x+=-7(1)5(1)x x+=-7755x x+=-212x=-x＝-6【总结升华】直接去括号太繁琐，若将(x+1)及(x-1)看作一个整体，并移项合并同类项，解答十分巧妙，可免去去分母的步骤及简化去括号的过程．类型三、一元一次方程的应用5．甲车从A地出发以60 km／h的速度沿公路匀速行驶， h后，乙车也从A地出发，以80 km／h的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发后几小时追上甲车．【答案与解析】解：设乙车出发后x小时追上甲车，依题意得60×+60x＝80x，解得 x＝．答：乙车出发后小时追上甲车．【总结升华】此题的等量关系为：甲前 h的行程+甲后来的行程＝乙的行程．6.如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为10cm，原容器内水的高度为12cm，把一根半径为2cm的玻璃棒垂直插入水中后，问容器内的水将升高多少cm（圆柱的体积=底面积×高）【思路点拨】根据题意，得等量关系为：容器的底面积×容器中水的原来高度+玻璃棒的截面积×（容器中水的高度+水增加的高度）=容器的底面积×（容器中水原来的高度+水增加的高度）．【答案与解析】解：解：设容器内的水将升高xcm，据题意得：π•102×12+π•22（12+x）=π•102（12+x），1200+4（12+x）=100（12+x），1200+48+4x=1200+100x，96x=48，x=．答：容器内的水将升高．【总结升华】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题也可以根据水面上升部分的体积等于插入水中玻璃棒的体积来列等量关系进行求解.7.某商品的进价为1500元，提高40%后标价，若打折销售，使其利润为20%，则此商品是按几折销售的（结果精确到）【答案与解析】解：设按x折销售，根据题意得出：1500×（1+40%）×x10=1500×（1+20%），解得x≈，答：此商品是按折销售的．【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用，解此题的关键是弄清“售价=进价+利润”和打几折即现价就是原价的百分之几十．举一反三：【变式】“五一”期间，某商场搞优惠促销活动，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折（按原销售价70%销售）和九折，共付款386元，这两种商品原销售价之和为500元，问两种商品原销售价分别为多少元？【答案】解：设甲种商品原价x元，则乙种商品原价为（500-x）元，则：70%x+90%（500-x）=386， +=386， =64，x=320；乙种商品原价为500-320=180（元）；答：甲种商品原价为320元，乙种商品原价为180元．【巩固练习】一、选择题 1．（2015春•宜阳县期中）下列方程中，是一元一次方程的为（ ） A ．3x+2y=6 B ．x 2+2x ﹣1=0C ．=xD ．﹣3=2. 下列变形错误的是( ).A.由x + 7= 5得x+7－7 = 5－7B.由3x －2 =2x + 1得x= 3C.由4－3x = 4x －3得4+3 = 4x+3xD.由－2x= 3得x= －32 3. 某书中一道方程题：213xx ++=，□处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是 2.5x =-，那么□处应该是数字( )．A ．B ．C ．5D ．74. 将(3x ＋2)－2(2x －1)去括号正确的是( ).A 3x ＋2－2x ＋1B 3x ＋2－4x ＋1C 3x ＋2－4x －2D 3x ＋2－4x ＋2 5. 当x=2时，代数式ax －2x 的值为4，当x=－2时，这个代数式的值为（ ）. A.－8 B.－4 C.－2 6．解方程121153x x +-=-时，去分母正确的是( )． A ．3(x+1)＝1-5(2x-1) B ．3x+3＝15-10x-5C ．3(x+1)＝15-5(2x-1)D ．3x+1＝15-10x+57．某球队参加比赛，开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该队获胜的场数为( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．78．某超市选用每千克28元的甲种糖3千克，每千克20元的乙种糖2千克，每千克12元的丙种糖5千克混合成杂拌糖后出售，在总销售额不变的情况下，这种杂拌糖平均每千克售价应是( )．A ．18元B ．元C ．元D ．20元 二、填空题9．在0，－1，3中， 是方程3x －9=0的解. 10．如果3x52a -＝－6是关于x 的一元一次方程，那么a ＝ ，方程的解=x .11．若x ＝－2是关于x 的方程324=-a x 的解，则a ＝ . 12．由3x ＝2x ＋1变为3x －2x ＝1，是方程两边同时加上 .13．“代数式9－x 的值比代数式x 32－1的值小6”用方程表示为 . 14．当x ＝ 时，代数式223x -与32x-互为相反数.15．（2015•哈尔滨模拟）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班的学生有 人．16．某商场把彩电按标价的8折出售，仍可获利20%，若该彩电的进价为2000元，则标价是 . 三、解答题17．（1）310.10.3542x x -=+； （2）122(1)(3)23x x x --=+．18．已知代数式11213y y ---+的值为0，求代数式312143y y ---的值． 19．（2015•南丹县一模）某水果销售店用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 8 乙种 9 13（1）这两种水果各购进多少千克？（2）若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？20．学校校办工厂需制作一块广告牌，请来师徒二人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两人合作，完成后共得到报酬450元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配?【答案与解析】 一、选择题1.【答案】C ．2.【答案】D【解析】由23x -=，得32x =-3.【答案】C【解析】把x ＝代入方程，再把□当作未知数解方程即可． 4.【答案】D【解析】(32)2(21)32222(1)3242x x x x x x +--=+-⋅-⋅-=+-+5．【答案】B 【解析】将2x =代入得：244a -=，得28a =；将2x =-代入得：24844a -+=-+=- 6．【答案】C【解析】去分母时避免漏乘常数项，当分子是多项式时，去分母后给分子加上括号． 7．【答案】C【解析】设该队获胜x 场，则平的场数为(11-x)，则3x+(11-x)＝23．解得x ＝6．故选C ． 8．【答案】B 【解析】可设这种杂拌糖平均每千克的售价是x 元．依题意，得(3+2+5)x ＝28×3+20×2+12×5，解得x ＝，故选B ． 二、填空题 9. 【答案】3；【解析】代入验证即可． 10. 【答案】35，-2；【解析】35215a a -=⇒=，362x x =-⇒=- 11. 【答案】112-； 【解析】将2x =-代入得：118232a a --=⇒=- 12. 【答案】-2x ； 13. 【答案】29)613x x -+=-（； 14. 【答案】138； 【解析】322023x x --+=，解得：138x =15.【答案】45．【解析】设有x 名学生，根据书的总量相等可得：3x+20=4x ﹣25，解得：x=45．答：这个班有45名学生． 16. 【答案】3000.【解析】设标价为x 元，则0.82000(120%)x =+,解得：3000x = 三、解答题 17．【解析】解：(1)去分母，得＝2x+．移项，得3x-2x ＝+． 合并同类项，得x ＝．(2)去分母，得12x-3(x-1)＝4(x+3)．去括号，得12x-3x+3＝4x+12． 移项，得12x-3x-4x ＝12-3． 合并同类项．得5x ＝9．系数化为1，得95x =． 18．【解析】 解：由题意，得112103y y ---+=．去分母，得61130y y --++=． 移项合并同类项，得714y -=-．系数化为1，得y ＝2．当y ＝2时，3121321221143434y y --⨯-⨯--=-=， 即若代数式11213y y ---+的值为0，则代数式312143y y ---的值为14． 19.【解析】解：（1）设购进甲种水果x 千克，则购进乙种水果（140﹣x ）千克，根据题意得： 5x+9（140﹣x ）=1000， 解得：x=65，∴140﹣x=75．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；（2）3×65+4×75=495（元） 答：利润为495元． 20．【解析】解：设两人一起做x 天，据题意，得：11(1)164x x ++=，解得x ＝2． 师傅应得报酬为14×2×450＝225(元)．徒弟应得报酬为450-225＝225(元)．答：师傅应得报酬为225元，徒弟应得报酬为225元．。
北师大版七年级数学上册第5章《一元一次方程》复习课件
11.某服饰有限公司准备加工一披演出服。在加工60套后， 采用了新技术，使每天的工作效率从原来每天加工20套 变为原来的2倍，结果共用9天完成任务。求该公司加工 的这披演出服共多少套？
等量关系３：新技术时间×新技术效率＝新技术工作量
解:设该公司加工的这披演出服共X套 （9 －60÷20） ×２ × ２０ = X－６０
方程两边同 除以-1，得：
x 17
3. 1 2x 5 3 x
6
4
解、去分母，得： 12 2( 2x 5 ) 3( 3 x )
去括号，得： 12 4 x 10 9 3 x
移项，得： 4 x 3 x 9 12 10
合并同类项，得： x 13
方程两边同 除以-1，得：
6、一件衬衫进货价60元,提高50%后标价,则标 价为 9_0_元___, 八折优惠价为__7_2_元__,利润
为_1_2_元___；
7、鸡兔同笼共9只，腿26条, 则鸡___5__只， 兔__4___只；
8、小明每秒钟跑4米，则他15秒钟跑_6_0_米, 2分钟跑__4_8_0__米,1小时跑_1_4_._4_公里.
解得， X=300 答：设该公司加工的这披演出服共300套。
等量关系４：新技术效率＝２原技术效率
解:设该公司加工的这披演出服共X套
解得， X=300 答：设该公司加工的这披演出服共300套。
12.一队学生去校外进行军车野营训练， 他们以5千米／时的速度前进， 走了18分钟的时候， 学校要将一个紧急通知传给队长， 通讯员从学校出发， 骑自行车以14千米／时的速度按原路追上去， 通讯员用多少时间可以追上学生队伍？
移项 法则
合并同 类项
把方程变为ax=b （a≠0 ) 的最简形式
(北师大数学七年级上)第5章一元一次方程复习
夯实基础
3x 2 x 2 8、 解 方 程 ： . 5 3
解：去分母，得
3(3x 2) 5( x 2)
去括号，得
9 x 6 5 x 10
移项，合并同类项，得 4 x 系数化为1，得
16 x4
1、若两个多项式5 x 2与 2 x 10的值 互为相反数，则x 2的值是 －6 .
归纳反思
解一元一次方程的一般步骤及注意的问题： （1）去分母 （2）去括号 （3）移项
①不能漏乘不含分母的项。 ②分子是多项式时应添括号。 ①不要漏乘括号内的任何项。 ②如果括号前面是“－”号， 去括号后括号内各项变号。 ①从方程的一边移到另一边 注意变号。
①把方程一定化为ax = b (a≠0)的形式 （4）合并同类项 ②系数相加，字母及其指数不变。 ①方程两边除以未知数的系数。 （5）系数化为1 ②系数只能做分母，注意不要颠倒。
例：一商店把货品按标价的九折出售，仍可获利 12.5 ％，若货品进价为380元，则标价为多少元？
商品标价×折扣率—商品进价=进价×利润率 解：设标价为x元，由题意，得：
0.9x —380 = 380×12.5%
九.储蓄问题 问题中常出现的量有： 本金、利息、本 息和、期数、利率、利息税
常用等量关系： 利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息
例. 一列客车和一列货车在平行的轨道上同向行驶，客车 的长是200米，货车的长是280米，客车的速度与货车的速 度比是5 ：3，(1)若客车赶上货车的交叉时间是1分钟,求 两车的速度；(2)若两车相向行驶,它们的交叉时间是多少 分钟？ 解:(1)设客车的速度是5x米/分，货车的速度是
3x米/分,由题意,得: 5x – 3x = 280 + 200
七年级上册数学北师大版 第五章 一元一次方程 阶段专题复习
思路点拨：首先确定相等关系：该校七年级(1)(2)(3)三个班共 128 人参加了活动，由此列一元一次方程求解．
自主解答：解：设七(2)班有 x 人参加“光盘行动”，则七(1) 班有(x＋10)人参加“光盘行动”，根据题意得(x＋10)＋x＋48＝ 128，解得 x＝35，则 x＋10＝45. 答：七(1)班有 45 人参加“光盘行动”，七(2)班有 35 人参加 “光盘行动”．
D
)
D． 2
x＝－7
1 5．方程 x＋5＝ (x＋3)的解是 2
.
6．设 a，b，c，d
a 为实数，现规定一种新的运算 c
b ＝ad d
x x＋1 3 ＝1 的 x 的值为 －bc，则满足等式2 1 2
－10
.
x x＋1 x＋1 x 2 3 解析：由题意 ＝1 可化为2×1－ 3 ×2＝1，去分 1 2 母，得 3x－4(x＋1)＝6，去括号，得 3x－4x－4＝6，移项，得 3x －4x＝4＋6，合并同类项，得－x＝10，系数化为 1，得 x＝－10.
8． 某市出租车起步价是 5 元(3 公里及 3 公里以内为起步价)， 以后每公里收费是 1.6 元，不足 1 公里按 1 公里收费，小明乘出 租车到达目的地时计价器显示为 11.4 元，则此出租车行驶的路程 可能为(
B
) B．6.9 公里 D．8.1 公里
A．5.5 公里 C．7.5 公里
9． 某商场购进一批服装， 每件进价为 200 元， 由于换季滞销， 商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能 获利 20%，则该服装标价是( A．350 元 C．450 元 B．400 元 D．500 元
【例 2】解方程：3(x＋4)＝x.
北师版数学七上第五章《一元一次方程》复习课件
解一元一次方程的步骤
一元一次方程 去分母，去括号， 移项，合并同类项， 未知数的系数化为1等. x=a
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤. 审 分析题中已知什么,求什么?有哪些事物在什么方面
产生关系?
找 一个相等关系.（和/倍/不同方案间不变量的相等） 设 设未知数(直接设，间接设),包括单位名称. 列 把相等关系中各个量转化成代数式,从而列出方程. 解 解方程,求出未知数的值（x = a），代入方程检验. 答 检验所求解是否符合题意，写出答案.
B：（120 – 60）÷1 = 60（小时） 选用 B 方式上网合算.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
学法指导
新课程标准有以下几项变化，一是理念变化：确立核心素养导向的课 程目标；二是结构变化：明确学业要求与学业质量标准；三是内容变化： 调整教学要求和增加教学内容。最终是要结合学生认知水平和生活经验， 设计合理的生活情境、数学情境、科学情境。关注情境的真实性，适当引 入数学文化，真正让学生感受数学与生活的密切关系和对生活的影响以及 作用。培养学生的核心素养目标，从本质上提升教学质量。
2. 已知等式 3a = 2b + 5，则下列等式中不 一定成立的是（ C ）.
A. 3a – 5 = 2b C. 3ac = 2bc – 5
B. 3a + 1 = 2b + 6
D.
a
2b 3
5 3
3. 若（m – 2）x|m|–1 – 5 = 0 是一元一次方 程，则 m = ___–_2____.
实际问题
抽象
数学问题
寻找等量关系 （一元一次方程）
解释
解方程
实际问题的解
北师大版七年级上册第五章一元一次方程知识点总结
北师大版七年级上册第五章一元一次方程知识点总结一元一次方程是初中数学中的基础知识之一，它在我们的日常生活和解决问题中起到了重要的作用。
下面将对北师大版七年级上册第五章一元一次方程的相关知识点进行总结。
1. 什么是一元一次方程一元一次方程，顾名思义，是指方程中只含有一个未知量，并且未知量的最高次数为1。
一般形式为：ax + b = 0（其中a、b为已知数，a≠0）。
在方程中，字母x表示未知量，而系数a和常数b则是已知数。
2. 方程的解解是指能使方程等式成立的数值。
对于一元一次方程来说，它只有一个解或无解。
当方程有解时，这个解将满足方程的等式，当方程无解时，不存在满足方程等式的数。
3. 解方程的基本步骤解一元一次方程的基本步骤如下：a) 将方程中的项按照系数大小排列；b) 若方程中有常数项，则将常数项移到方程的另一边；c) 将方程两边的项合并，化简得到最简形式；d) 进行方程两边的运算，将未知量的系数化为1；e) 得出方程的解。
4. 方程的性质a) 方程等式两边可以交换位置，仍然保持等式成立；b) 方程等式两边可以同时乘以同一个数，等式仍然成立；c) 若方程两边乘以同一非零数的结果相等，那么方程有相同的解；d) 方程等式两边可以同时加上或减去同一数，等式仍然成立；e) 方程两边加上或减去一个数的结果相等，方程有相同的解；f) 方程等式两边可以同时乘以或除以同一个正数，等式仍然成立；g) 方程等式两边可以同时乘以或除以同一个负数，并且改变等号的方向，等式仍然成立。
5. 一元一次方程的应用一元一次方程在生活中有许多应用场景，例如：a) 解决购物问题：某商品原价x元，打折后降至80元，求原价；b) 解决分配问题：某汽车队规定每辆汽车运送16人，若共有128人，需要多少辆汽车；c) 解决工作时间问题：某人一天工作8小时，休息16小时，共工作多少天等。
总结：一元一次方程是初中数学的基础知识之一，通过对方程的解、解方程的步骤、方程的性质以及一元一次方程的应用进行总结，可以更好地理解和掌握一元一次方程的知识。
第五章一元一次方程章末复习课件北师大版七年级数学上册
知识技能
1.解方程
5 （1）12
x
–
x 4
1 3
；
解：去分母，得 5x – 3x = 4
合并同类项，得
2x = 4
方程两边都除以2，得
x=2
复习题
（2）2 – 8x 3 – 1 x ；
3
2
（3）0.5x – 0.7 = 6.5 – 1.3x；
解：移项，合并同类项，得 1.8x = 7.2
方程两边都除以1.8，得 x=4
答：人数为9人，鸡价为70
今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六. 问：人数、鸡价各几何？
方程方法： 设人数为x，由题意，得
9x-11=6x+16
解得
x=9
9x-11=70
答：人数为9人，鸡价为70.
问题解决 5．把100 写成两个数的和，使第一个数加3与第二个数减3
的结果相等. 这两个数分别是多少？
14．某文艺团体为公益募捐组织了一场义演，成人票每张 80元，学生票每张50元，共售出1000张票，所得票款可能是 69300元吗？为什么？可能是69320元吗？如果可能，那么成人 票比学生票多售出多少张？
15．把99写成四个数的和，使第一个数加2，第二个数减2， 第三个数乘2，第四个数除以2，得到的结果都相等. 这四个数分 别是多少？
用字母可以表示 如果a=b，那么 a+c=b+c ， a-c=b-c； 如果a=b，那么 ac=bc ，
等式的基本性质 下列等式变形正确的是（ B ）.
解一元一次方程
步骤
解一元一次方程的步骤 根据
注意事项
去分母
等式的基本性质2
①不漏乘不含分母的项； ②注意给分子添括号、去括号
北师大七年级上第五章 一元一次方程 复习
第五章 一元一次方程【内容概括】1．一元一次方程、一元一次方程的解2．一元一次方程的解法（一般步骤、注意事项）3．列一元一次方程解实际问题【例题解析】例1下面是从小明同学作业本摘抄的内容，请你找出其中正确的是（ ）（A ）方程16110312=+-+x x ，去分母，得2(2x ＋1)－(10x ＋1)＝1． （B ）方程8x －2x ＝－12，6x ＝－12＝x ＝－2．（C ）方程2(x ＋3)－5(1－x)＝3(x －1)，去括号，得2x ＋3－5－5x ＝3x －3．（D ）方程9x ＝－4，系数化为1，得94-=x ． 例2 解方程31652--=+-x x x ．例3直径为30厘米，高为50厘米的圆柱形瓶里存满了饮料，现把饮料倒入底面直径为10厘米的圆柱形小杯中，刚好倒满20杯，求小杯子的高。
例4一艘轮船，航行于甲、乙两地之间，顺水用5小时，逆水比顺水多用2小时。
已知轮船在静水中的速度是每小时52千米，求水流的速度？【基础练习】一、填空题1．方程x ＋3＝3x －1的解为______．2．关于x 的方程ax －6＝2的解为x ＝ －2，则a ＝_____．3．代数式21x +-的值等于3，则x ＝________． 4．写出以x ＝ 1为根的一元一次方程是 ．（写一个即可）二、选择题1．在下面方程中，变形正确的为（ ）（1）由3x ＋6＝0变形，得x ＋2＝0 （2）由5－3x ＝ x ＋7变形，得－2x ＝2（3）由273=x 变形，得3x ＝14 （4）由4x ＝－2变形，得x ＝－2 A ．（1）、（3） B ．（1）、（2）、（3） C ．（3）、（4） D ．（1）、（2）、（4）2．若222+n yx 和12--n y x 是同类项，则n 的值为（ ） A ．23 B ．6 C ．32 D ．2 3、某数x 的43%比它的一半还少7，则列出求x 的方程是（ ） A ．7)21%(43=-x B ．721%43=-x C ．721%43=-x x D ．x x %43721=- 4、一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以七折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是x 元，那么所列方程为（ ）A ．45%×(1＋80%)x －x ＝50B ．80%×(1＋45%)x －x ＝50C ．x －80%×(1＋45%)x ＝50D ．80%×(1－45%)x －x ＝50三、解方程1、1023=--x 2、7233+=+x x3、17)5.0(4=++x x4、32)32(36=+-x5、)20(41)14(71+=+x x6、)7(3121)15(51--=+x x四、列方程解应用题1．甲、乙、丙三人共同出资筹建一个公司．甲投资额是投资总额的40%，乙投资额比投资总额的三分之一多20万元，丙投资额比甲的一半少8万元．这个公司投资总额是多少万元？2．出操时，初一、初二两个方队共有学生146人．如果让初一方队中的11人插到初二方队，那么两个方队的人数相等．初一初二方队原来各有多少人？3.用60米长的篱笆，围成一个长方形的花圃，若长比宽的2倍少3米，则长方形的面积是多少？4.将一个长、宽、高分别为15厘米、12厘米和8厘米的长方体钢块，锻造成一个底面边长为12厘米的正方形的长方体零件钢坯。
2024年北师大版七年级上册数学第五章一元一次方程培优提升专题3：一元一次方程的应用
·数学
8.(2024上海月考)甲、乙两运动员在周长为400米的环形跑道 上分别练习跑步与竞走，已知甲、乙两人的速度之比为8∶3， 两人同时同地同向出发，2分钟后第一次相遇. (1)甲、乙两人的速度分别是多少？
·数学
解：设乙采冰队平均每天能采冰的体积是x立方米，则甲采 冰队平均每天能采冰的体积是1.5x立方米， 由题意，得(6＋8)x＋8×1.5x＝1 300， 解得x＝50， ∴1.5x＝1.5×50＝75. 答：甲采冰队平均每天能采冰的体积是75立方米，乙采冰队 平均每天能采冰的体积是50立方米.
·数学
·数学
◆类型6 新定义问题 11.(2023东莞期末)用符号※定义一种新运算，即a※b＝ab＋ 2(a－b)，若3※x＝0，则x的值为 －6 .
·数学
12.(创新题)定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我 们就称这两个方程互为“成双方程”.例如：方程2x－1＝2 和2x－1＝0互为“成双方程”. (1)判断方程4x－(x＋5)＝1与方程－2x－x＝3 不是 互为 “成双方程”(填“是”或“不是”)； (2)若关于x的方程x2＋m1 ＝0与方程3x－2＝x＋4互为“成双方 程”，则m的值为 2 ；
解：设小明收集了x节废电池，则小华收集了(x＋5)节废电池， 根据题意，得x＋10＝2(x＋5－10)， 解得x＝20，则x＋5＝20＋5＝25. 答：小华收集了25节废电池，小明收集了20节废电池.
·数学
◆类型3 工程问题
5.(2024唐山一模)有一道条件缺失的问题：一项工程，甲队单独做需
完整word版北师版七年级上数学第五章一元一次方程知识点及练习题
认识一元一次方程1、方程含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果还是等式。
（2）等式的两边同时乘以同一个数（ （或除以同一个不为 0 的数），所得结果还是等式。
4、一元一次方程只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程。
※课时达标1. 以下方程中，是一元一次方程的是（） .A. x 24x 32. 若 2x 3m 3 4mA.4 , 83 33. 已知 a 1 x aB.x 0C.x 2y 1D.1x 1.x）.0 是对于 x 一元一次方程， 则 m 的值和方程的解为 （B.1,0C.4 , 8 D.-1,03 34 0是对于 x 的一元一次方程，求 a 的值 .4. 某市在端午节准备举行划龙舟比赛， 估计 15 个队共 330 人参加 . 已知每个队一条船，每条船上人数相等，且每条船上有 1 人敲鼓， 1 人掌舵，其他的人同时划桨 . 设每条船上划桨的有 x 人，可列出一元一次方程为 ___________________.5. 以下说法错误的选项是（）. A. 若xy，则 x yB.若 x 2y 2 ，则4x 24 y 2abC. 若 1x6 ，则 x3 D.若 6x ，则 x6426. 利用等式性质解方程：（1） 2x 1 7（2） 6 x 2x 203※课后作业★基础稳固1. 方程 x 2 4x 的解是（ ） .A. x 4B. x 2C. x 4或 x 0D. x 22. 在 2x 2 y ， x 4 4 y ， 7 3x 7 3y ， 4x 1 2 y 2 中，依据等式性质变形能获得 xy 的个数为（） .3. 若方程 2a 1 x 2 bx c 0 是对于 x 的一元一次方程，则字母系数a,b, c 的值知足 ( ).A. a1 , b 0, c 为随意数B.a 1,b 0,c 022C. a1, b 0, c 0D.a1,b0,c 为随意数224. 以下说法正确的选项是（）. A. 若 acbc, 则 a bB. 若 ab,则 abc 1 cC. 若 a 2b 2 ,则 a bD.若6,则 x325. 若 2x a 3 ，则 2x 3 _______, 这是依据等式的基天性质， 在等式两边同时______.6. 某数的 3 倍比它的一半大 2，若设某数为 y ，则列方程为 __________ .7. 假如代数式 8x9 与 6 2x 的值互为相反数，则 x 的值为 ________.8.若 m 2 x |m| 15 是一元一次方程，则 m=_________. 9. 利用等式性质解方程：（ 1） 8x40 ；（2） 3x 76；（ 3）a 3 5210. 依据题意，列出方程：（1）小明买了 6 千克香蕉和 3 千克的苹果共花了 18 元，若苹果每千克 2 元，则香蕉每千克多少元？（2）小王两年前存一笔钱，年利率为 3％，今年到期后共支取本息和 4192 元（扣除 20％的利息税后），求两年前小王存了多少钱？11. 在学完“有理数的运算”后，实验中学七年级各班各选出 5 名学生构成一个代表队，在数学方老师的组织下进行一次知识比赛 . 比赛规则是：每队都分别给出 50 道题，答对一题得 3 分，不答或答错一题倒扣 1 分.⑴假如㈡班代表队最后得分 142 分，那么㈡班代表队回答对了多少道题？⑵㈠班代表队的最后得分能为 145 分吗？请简要说明原因☆能力提升12.某“希望学校”修筑了一栋 4 层的教课大楼，每层楼有 6 间教室，出入这栋大楼共有 3 道门（两道大小相同的正门和一道侧门） . 安全检查中，对这 3 道门进行了测试：当同时开启一道正门和一道侧门时， 2 分钟内能够经过 400 名学生，若一道正门均匀每分钟比一道侧门可多经过 40 名学生 .（1）求均匀每分钟一道正门和一道侧门各能够经过多少名学生？（2）检查中发现，紧迫状况时因学生拥堵，出门的效率降低20%. 安全检查规定：在紧迫状况下全大楼的学生应在5 分钟内经过这3 道门安全撤退 . 假定这栋教课大楼每间教室最多有 45 名学生，问：建筑的这 3 道门能否切合安全规定？为何？●中考在线13.正在修筑的西塔高速公路上，有一段工程，若甲、乙两个工程队独自达成，甲工程队比乙工程队少用 10 天；若甲、乙两队合作， 12 天能够达成 . 若设甲独自达成这项工程需要 x 天，则依据题意，可列出方程为_________________.14. 已知 3 是对于x的方程 2x a 1的解，则a的值是（）.求解一元一次方程解一元一次方程的一般步骤 ：（ 1）去分母（ 2）去括号（ 3）移项（把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这类变形叫移项。
北师大版-数学-七年级上册-七上 第五章一元一次方程 单元复习
第五章一元一次方程知识总结与检测知识总结●知识框架考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用一元一次方程了解方程、一元一次方程以及方程有解的概念∨会解一元一次方程，并能灵活应用∨∨∨会列一元一次方程解应用题，并能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。
∨∨∨●定义回忆1.含有______________的等式是方程，使方程的等式两边的相等的值教方程的解，方程中含有____个未知数，未知数的_________________的方程称为一元一次方程。
2.等式的性质1 等式两边都______(或者减去)_________(或同一个式子)所得结果仍是____。
3.等式的性质2 等式两边都______(或者除以)_________(或同一个式子)（除数或者除式不能为0）,所得结果仍是____。
4.解方程的步骤：①如果有分母，先去____, （注意去分母时等式两边每一项都乘以最小公倍数）②后去_____,（去括号时，注意括号前面的符合）③再_____、（移项要变号）④______得到标准形式ax=b(a≠0)，最后两边同除以______的系数。
（合并同类型）5.看到下图，你能总结出什么？答：在日历中，一个日历数的上下横竖的数量关系，同一竖列相邻两数之差为7，横列相邻两数相差1。
6.知识延伸：特殊图形的表面积与体积长方体的体积：________________________；圆柱体的体积：________________________； 长方形的周长_______________和面积____________________。
7.一个有规格的物体，如果体积形状发生变化时，表面积发生变化了，但是体积没有发生变化。
此类问题体积相等是等量关系。
8.在“打折销售”中我们应该了解什么？①进价：购进商品时的价格（有时也叫成本价）。
②售价：在销售商品时的售出价（有时称成交价，卖出价） ③标价：在销售时标出的价（有时称原价，定价）④利润：在销售商品的过程中的纯收入， 利润 ＝ 售价 – 进价 ⑤利润率：利润占进价的百分率，即利润率 ＝ 利润 ÷进价×100%利润率进价进价）（折数标价=⨯⨯-%10⑥打折：卖货时，按照标价乘以十分之几或百分之几十，则称将标价进行了几折。
北师大版七年级数学上册第五章一元一次方程回顾与思考(教案)
-难点三：区分方程的解和方程的根的概念，理解它们在不同情境下的应用；
-难点四：在应用问题中，如何将现实问题转化为数学模型，并进行有效求解；
-难点五：在小组合作学习中，如何分配任务，确保每位学生都能参与到解决问题的过程中。
举例：针对难点一，通过具体例题演示移项时符号的变化，强调合并同类项时的注意事项；针对难点二，通过实际案例，指导学生如何从问题中提取关键信息，确定未知数，并列出方程；针对难点三，通过对比不同类型的题目，讲解解和根的区别及应用；针对难点四，通过实际问题的分析和讨论，引导学生如何建立方程模型；针对难点五，设计合作学习的活动，明确小组成员的职责，确保每位学生都能在实践中学习和掌握知识。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元一次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调移项和合并同类项这两个重点。对于难点部分，如如何从实际问题中抽象方程，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元一次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示一元一次方程在实际问题中的应用。
5.一元一次方程在实际问题中的应用案例分析。
二、核心素养目标
北师大版七年级上册数学第五章一元一次方程复习课课件
题型六、一元一次方程ax=b的解的情况
一元一次方程ax=b的解的情况：
(1)
当a≠0时
,ax=b有唯一的解,是
x
b a
(2) 当a=0，b≠0时，0 x b ，ax=b无解
(3) 当a=0，b=0时，0 x 0 ， ax=b有无穷多个解
1、关于x的方程2x-6+m=1+nx (1)有唯一解的条件； (2)有无数解的条件； (3)无解的条件。
3
求a:b的值。
(2)若关于x的方程
2
m
3
x
2x
的解是1，
求关于y的方程m(y-3)-2=m(2y-5)的值。
2、若关于x的方程2(x+1)-3(x-1)=0的解为a+2,
求a的值
Байду номын сангаас
变：
若关于y的方程 2 y 6m 8 y 1 2m
的解为2-m , 求m的值。
3
3、若关于x的方程 6x+a-1=0 与 2x=a+3的解相同， 求a的值，并求方程的解。（白书181页5）
第五章 一元一次方程 回顾与思考
方程 的解
方程
一元一次方程 整式方程
。。。。
定义 解法 解应用题
等式基 本性质
分式基 本性质
分式方程
分母中含有未知数的方程
。。。。
题型一、方程的概念
1、下列各式中，是方程的是（ ） ① 2x=1； ② 5-4=1； ③ 7m-n+1； ④
3(x+y)=4. ⑤ x —2=0
2、若关于x的方程 2x 1 2 1 6ax 无解，
求a的值。
3
6
题型七、列方程解应用题
七年级数学上册：第五章 一元一次方程复习(2)教案 北师大版
第五章一元一次方程复习（2）一、课题§一元一次方程复习复习（2）二、教学目标1．复习整理有理数有关概念和有理数运算法则，运算律以及近似计算等有关知识；2．培养学生综合运用知识解决问题的能力；3．渗透数形结合的思想．三、教学重点和难点重点：有理数概念和有理数运算．难点：负数和有理数法则的理解．四、教学手段引导——活动——讨论五、教学方法启发式教学六、教学过程（一）、讲授新课1．阅读教材中的“全章小结”，给关键性词语打上横线．2．利用数轴串讲有理数有关概念．本章从引入负数开始，与小学学习的数一起纳入有理数范畴，我们学习的数的范围在不断扩大．从数轴上看，小学学习的数都在原点右边(含原点)，引入负数以后，数轴的左边就有了实际意义，原点所表示的0也不再是最小的数了．数轴上的点所表示的数从左向右越来越大，A点所表示的数小于B点所表示的数，而D点所表示的数在四个数中最大．我们用两个大写字母表示这两点间的距离，则AO＞BO＞CO，这个距离就是我们说的绝对值．由AO＞BO＞CO可知，负数的绝对值越大其数值反而越小．由上图中还可以知道CO=DO，即C，D两点到原点距离相等，即C，D所表示的数的绝对值相等，又它们在原点两侧，那么这两数互为相反数．从数轴上看，互为相反数就是在原点两侧且到原点等距的两点所表示的数．利用数轴，我们可以很方便地解决许多题目．例1 (1)求出大于-5而小于5的所有整数；(2)求出适合3＜|x|＜6的所有整数；(3)试求方程|x|=5，|2x|=5的解；(4)试求|x|＜3的解．解：(1)大于-5而小于5的所有整数，在数轴上表示±5之间的整数点，如图，显然有±4，±3，±2，±1，0(2)3＜|x|＜6在数轴上表示到原点的距离大于3个单位而小于6个单位的整数点．在原点左侧，到原点距离大于3个单位而小于6个单位的整数点有-5，-4；在原点右侧距离原点大于3个单位而小于6个单位的整数点有4，5．所以适合3＜|x|＜6的整数有±4，±5．(3)|x|=5表示到原点距离有5个单位的数，显然原点左、右侧各有一个，分别是-5和5．所以|x|=5的解是x=5或x=-5．同样|2x|=5表示2x到原点的距离是5个单位，这样的点有两个，分别是5和-5．(4)|x|＜3在数轴上表示到原点距离小于3个单位的所有点的集合．很显然-3与3之间的任何一点到原点距离都小于3个单位．所以-3＜x＜3.例2有理数a、b、c、d如图所示，试求|c|，|a-c|，|a+d|，|b-c|．解：显然c、d为负数，a、b为正数，且|a|＜|d|．|c|＝-c，(复述相反数定义和表示)|a-c|=-a-c，(判断a-c＞0)|a+d|=-a-d，(判断a+d＜0)|b-c|=b-c．(判断b-C＞0)3．有理数运算三分钟练习(1)+17+20； (2)-13+(-21)； (3)-15-19； (4)-31-(-16)；(5)-11×12； (6)(-27)(-13)； (7)-64÷16； (8)(-54)÷(-24)；(13)-(2×3)2； (14)(-2)3+32．4．课堂练习(1)填空：①两个互为相反数的数的和是_______；②两个互为相反数的数的商是_____；(0除外)③_____的绝对值与它本身互为相反数；④_____的平方与它的立方互为相反数；⑤______与它绝对值的差为0；⑥______的倒数与它的平方相等；⑦______的倒数等于它本身；⑧______的平方是4，______的绝对值是4；⑨如果-a＞a，则a是______；如果|a3|=-a3，则a是______；如果|a2|＝-|a2|，那么a 是______；如果|-a|=-a，那么a是_____；⑩如果x3=14.76，(-24.53)3=-14760，那么x=________．(2)用“＞”、“＜”域“=”填空：当a＜0，b＜0，c＜0，d＜0时七、练习设计1．写出下列各数的相反数和倒数．2．计算：(1)5÷0.1； (2)5÷0.001； (3)5÷(-0.01)；(4)0.2÷0.1； (5)0.002÷0.001； (6)(-0.03)÷0.01．3．计算：(7)[(-3)3-(-5)3]÷[(-3)-(-5)]．5．如果ab＜0，那么下列各式哪些一定不成立：(1)a＜b＜0；(2)0＜a＜b； (3)a=0并且b＜a；6．解下列方程：(3)2.5-0.2x＝1.7； (4)-0.4x-0.1=-0.8．7．当a为有理数时，计算|a|+|-a|-|-(-a)|-|-[-(-a)]|+|-｛-[-(-a)]｝|．8．有理数a，b，c在数轴上对应的点A，B，C，其位置如下图所示：试化简|c|-|c+b|+|a-c|+|b+a|．9．已知2|x|=12.4，|y-3|=2，试求代数式x+y2的值．10．当|2x|=12.4时，求x的值．11．当|x+2|=12.4时，求x的值．八、板书设计§复习（2）（一）知识回顾（三）例题解析（五）课堂小结（二）观察发现（四）课堂练习练习设计九、教学后记全章复习的目的是使学生进一步系统掌握基础知识、基本技能和基本方法，进一步提高综合运用数学知识灵活地分析和解决问题的能力．因此，在选择教学内容时我们注意了下面两个方面：第一，既加强基础，又提高能力和发展智力；第二，既全面复习，又突出重点．本节课是有理数全章的复习课，所以教学中抓住了有理数的概念和有理数的运算这两个主要内容，这是有理数的基础知识，也是复习的重点．此外，还通过典型例题的分析，让学生熟练地利用数轴来解题，以提高他们对数形结合思想的认识，以及分析问题、解决问题的能力．。
北师大版七年级上册第五章一元一次方程知识点总结
一元一次方程知识点（一）、方程的有关概念1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.例如： 1700+50x=1800， 2（x+1.5x ）=5等都是一元一次方程. （例1）3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. （例2）注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.（二）、等式的性质等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.等式的性质(1)用式子形式表示为：如果a=b ，那么a±c=b±c等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b ，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么a c =b c（三）、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．（例3）（四）、去括号法则1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．（五）、解方程的一般步骤（例4）1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2. 去括号(按去括号法则和分配律)3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x=b a). 一．列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，检验后写出答案．二、一元一次方程的实际应用1. 和、差、倍、分问题：增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.例1：兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？解：设x 年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，则x 年后兄的年龄是15+x ，弟的年龄是9+x ．（点拨：-3年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3年，是与3•年后具有相反意义的量）1.一个数的3倍比它的2倍多10，若设这个数为x ，可得到方程__________.2. 用一根长80厘米的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10厘米，则这个长方形的长和宽各是_______、________.面积是_______.2. 等积变形问题：（1）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积.（2) 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S ·h ＝h r 2π②长方体的体积 V ＝长×宽×高＝abc例2 将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80•毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，π≈3.14）．解：设圆柱形水桶的高为x 毫米，依题意，得1. 一根内径为3㎝的圆柱形长试管中装满了水，现把试管中的水逐渐滴入一个内径为8㎝、高为1.8㎝的圆柱形玻璃杯中，当玻璃杯装满水时，试管中的水的高度下降了＿＿＿＿㎝.3. 工程问题：工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1例3. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？解：设乙还需x 天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，(115+112)×3+x 12=1 1. 甲、乙工程队从相距100m 的马路两端开始挖沟，甲工程队每天挖沟的进度是乙工程队的2倍少1m ，若5天完工，两队每天各挖几米？4.行程问题：路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间（1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．例4. 甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
北师版七年级数学上册专题复习第五章 一元一次方程
北师版七年级数学上册专题复习第五章一元一次方程2019-2019学年北师版七年级 数学上册专题复习班级 姓名一元一次方程一、选择题1．下列方程中，解是x ＝2的方程是( B )A ．4x ＋8＝0B ．－13x ＋23＝0 C.23x ＝2 D ．1－3x ＝5 2．下列方程中，是一元一次方程的是( B )A ．3x ＋2y ＝0 B.x 4＝1 C.2x －1＝1 D ．3x －5＝3x ＋2 3．已知关于x 的方程(m －2)·x|m －1|－3＝0是一元一次方程，则m 的值是( B )A ．2B ．0C ．1D ．0 或24．若a ＝b ，则在a －13＝b －13，2a ＝a ＋b ，C．16 m2D．25 m2二、填空题8．在下列方程中：①x＋2y＝3，②1x－3x＝9，③y－23＝y＋13，④12x＝0，是一元一次方程的有__③④__(填序号)．9．若(a－1)x|a|＝3是关于x的一元一次方程，则a＝__－1__．10．对于有理数a，b，规定一种新运算*：a*b＝ab＋b.例如：2*3＝2×3＋3＝9.有下列结论：①(－3)*4＝－8；②a*b＝b*a；③方程(x－4)*3＝6的解为x＝5; ④(4*3)*2＝32.其中，正确的是__①③④__．(填序号)11．如果x＝1是关于x的方程ax＋2bx－c ＝3的解，那么式子2a＋4b－2c的值为__6__．12．把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则还缺25本．这个班有多少学生？设这个班有x名学生，则由题意可列方程__3x＋20＝4x－25__．13．如果方程3x－2n＝12和方程3x－4＝2的解相同，则n＝__－3__．14．[2019·九江期末]某项工程，甲队单独完成要30天，乙队单独完成要20天．若甲队先做若干天后，由乙队接替完成剩余的任务，两队共用25天，求甲队单独工作的天数．设甲队单独工作的天数为x，则可列方程为__x30＋25－x20＝1__．15．“五一”节期间，某电器按进价提高40%后标价，然后打八折卖出，如果仍能获利12元．设这种电器的进价为x元，则可列出方程为__x(1＋40%)×80%－x＝12__．三、解答题16．解下列方程：(1) 5x＋1＝3(x－1)＋4；(2) x－23＝3－2x4.解：(1)去括号，得5x＋1＝3x－3＋4. 移项、合并同类项，得2x＝0.系数化为1，得x＝0.(2)去分母，得4(x－2)＝3(3－2x)．去括号，得4x－8＝9－6x.移项、合并同类项，得10x ＝17.系数化为1，得x ＝1.7.17．解方程：(1)2(x ＋1)＝x －(2x －5)；(2)x ＋4x －122＝3. 解：(1)去括号，得2x ＋2＝x －2x ＋5， 移项、合并同类项得3x ＝3，系数化为1，得x ＝1.(2)去分母，得2x ＋4x －12＝6，移项、合并同类项，得6x ＝18，系数化为1，得x ＝3.18．解方程：(1)4(x －1)＋5＝3(x ＋2)；(2)2x －30.5＝2x 3－1. 解：(1)去括号，得4x －4＋5＝3x ＋6， 移项、合并同类项得x ＝5.(2)2x －30.5＝2x 3－1， 去分母，得6(2x －3)＝2x －3，去括号，得12x －18＝2x －3，移项，合并同类项，得10x ＝15，解得x ＝32. 19．解方程：(1)6x －7＝4(x －1)－5；(2)3y －14－1＝5y －76＋2. 解：(1)去括号，得6x －7＝4x －4－5. 移项，得6x －4x ＝7－4－5，合并同类项，得2x ＝－2，解得x ＝－1.(2)去分母，得3(3y －1)－12＝2(5y －7)＋24， 去括号，得9y －3－12＝10y －14＋24， 移项，得9y －10y ＝15＋10，解得y ＝－25.20．已知方程1－2x －312＝x ＋104与关于x 的方程2－ax ＝x 3的解相同，求a 的值． 解：解方程1－2x －312＝x ＋104，得x ＝－3， 将x ＝－3代入方程2－ax ＝x 3，得2＋3a＝－1，解得a＝－1.21．方程x－7＝0与方程5x－2(x＋k)＝2x －1的解相同，求代数式k2－5k－3的值．解：∵x－7＝0，∴x＝7.又∵5x－2(x＋k)＝2x－1，∴5×7－2(7＋k)＝2×7－1，∴35－14－2k＝13，∴－2k＝－8，∴k＝4，∴k2－5k－3＝42－5×4－3＝16－20－3＝－7.22．阅读材料：规定一种新的运算：＝ad－bc.例如：＝1×4－2×3＝－2.(1)按照这个规定，请你计算的值；(2)按照这个规定，当＝5时，求x 的值．解：(1) ＝20－12＝8 .(2)由＝5，得12(2x－4)＋2(x＋2)＝5，解得x＝1.23．在一次有12个队参加的足球循环赛中(每两队之间比赛一场)，规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多2场，结果共积19分．问：该队在这次循环赛中战平了几场？解：设该队负了x场，则胜(x＋2)场，平局的场数为[11－x－(x＋2)]场．根据题意，得3(x＋2)＋1×[11－x－(x＋2)]＝19，解得x＝4，∴11－x－(x＋2)＝1.答：该队在这次循环赛中战平了1场．24．一个两位数，个位上的数是a，十位上的数比个位上的数多4，把它的个位和十位上的数交换位置，得到的新的两位数与原来的两位数的和是88，求这个两位数．解：根据题意，得10(a＋4)＋a＋10a＋(a＋4)＝88，解得a＝2，∴a＋4＝6，则这个两位数为62.25．把正整数1，2，3，4，…，2 009排列成如图所示的一个表．(1)用一正方形在表中随意框住4个数，把其中最小的数记为x，另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是__x＋1__，__x＋7__，__x＋8__；(2)在(1)前提下，当被框住的4个数之和等于416时，x的值是多少？(3)在(1)前提下，被框住的4个数之和能否等于622？如果能，请求出此时x的值；如果不能，请说明理由．解：(2)x＋(x＋1)＋(x＋7)＋(x＋8)＝416，4x＋16＝416，解得x＝100.(3)被框住的4个数之和不可能等于622.理由：∵x＋(x＋1)＋(x＋7)＋(x＋8)＝622，∴4x＋16＝622，x＝151.5，∵x是正整数，不可能是151.5，∴被框住的4个数之和不可能等于622.26．小明用的练习本可以到甲商店购买，也可以到乙商店购买，已知两商店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖；乙商店的优惠条件是：购买10本以上，每本按标价的80%卖．(1)小明要买20本时，到哪个商店较省钱？(2)买多少本时到两个商店付的钱一样？(3)小明现有32元钱，最多可买多少本？解：(1)在甲店买需付款10＋10×0.7＝17(元)，在乙店买需付款20×0.8＝16(元)．∵17＞16，∴到乙商店省钱．(2)设买x本时到两个商店付的钱一样．根据题意，得10＋(x－10)×0.7＝0.8x，解得x＝30，则买30本时到两个商店付的钱一样．(3)设在甲店可买y本．根据题意，得10＋(y－10)×0.7＝32，解得y＝290 7.∵y为整数，∴y最大是41，即在甲店最多可买41本．设在乙店可买z本．根据题意，得0.8z＝32，解得z＝40，即在乙店最多可买40本．∵41＞40，∴最多可买41本，则小明最多可买41本．27．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB＝14.动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒．(1)数轴上点B表示的数为__－6__，点P表示的数为__8－5t__(用含t的代数式表示)；(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．若点P，Q同时出发，问：点P运动多少秒时追上点Q?(3)若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．【解析】(1)∵点A表示的数为8，B在A 点左边，AB＝14，∴点B表示的数是8－14＝－6.∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为t(t ＞0)秒，∴点P 表示的数是8－5t .解：(2)设点P 运动x 秒时，在点C 处追上点Q (如答图1)，答图1则AC ＝5x ，BC ＝3x .∵AC －BC ＝AB ，∴5x －3x ＝14，解得x ＝7，∴点P 运动7秒时追上点Q .(3)线段MN 的长度不发生变化，MN ＝7. 理由如下：①当点P 在点A ，B 两点之间运动时(如答图2)：答图2MN ＝MP ＋NP ＝12AP ＋12BP ＝12(AP ＋BP )＝12AB ＝12×14＝7； ②当点P 运动到点B 的左侧时(如答图3)：答图3MN ＝MP －NP ＝12AP －12BP ＝12(AP －BP )＝12AB＝7，综上可知，线段MN的长度不发生变化，其值为7.。
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一元一次方程一、选择题1．下列方程中，解是x ＝2的方程是( B ) A ．4x ＋8＝0 B ．－13x ＋23＝0C.23x ＝2 D ．1－3x ＝5 2．下列方程中，是一元一次方程的是( B ) A ．3x ＋2y ＝0 B.x4＝1C.2x －1＝1 D ．3x －5＝3x ＋2 3．已知关于x 的方程(m －2)·x |m －1|－3＝0是一元一次方程，则m 的值是( B )A ．2B ．0C ．1D ．0 或24．若a ＝b ，则在a －13＝b －13，2a ＝a ＋b ，－34a ＝－34b ，3a －1＝3b －1中，正确的有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5． 已知关于x 的方程x －4－ax 6＝x ＋43－1的解是正整数，则符合条件的所有整数a 的积是( D )A ．12B ．36C ．－4D ．－126． 甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7 m ，乙每秒跑6.5 m ，甲让乙先跑5 m ，设x 秒后甲可追上乙，则下列四个方程中不正确的是( B )A ．7x ＝6.5x ＋5B ．7x ＋5＝6.5xC ．(7－6.5)x ＝5D ．6.5x ＝7x －57．如图，在周长为10 m 的长方形窗户上钉一块宽为1 m 的长方形遮阳布，使透光部分正好是一正方形，则钉好后透光面积为( A )A ．4 m 2B ．9 m 2C ．16 m 2D ．25 m 2二、填空题8．在下列方程中：①x ＋2y ＝3，②1x －3x ＝9，③y －23＝y ＋13，④12x ＝0，是一元一次方程的有__③④__(填序号)．9．若(a －1)x |a |＝3是关于x 的一元一次方程，则a ＝__－1__．10．对于有理数a ，b ，规定一种新运算*：a *b ＝ab ＋b .例如：2*3＝2×3＋3＝9.有下列结论：①(－3)*4＝－8；②a *b ＝b *a ；③方程(x －4)*3＝6的解为x ＝5; ④(4*3)*2＝32.其中，正确的是__①③④__．(填序号)11．如果x ＝1是关于x 的方程ax ＋2bx －c ＝3的解，那么式子2a ＋4b －2c 的值为__6__． 12．把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则还缺25本．这个班有多少学生？设这个班有x 名学生，则由题意可列方程__3x ＋20＝4x －25__．13．如果方程3x －2n ＝12和方程3x －4＝2的解相同，则n ＝__－3__．14．[2017·九江期末]某项工程，甲队单独完成要30天，乙队单独完成要20天．若甲队先做若干天后，由乙队接替完成剩余的任务，两队共用25天，求甲队单独工作的天数．设甲队单独工作的天数为x ，则可列方程为__x 30＋25－x20＝1__．15． “五一”节期间，某电器按进价提高40%后标价，然后打八折卖出，如果仍能获利12元．设这种电器的进价为x 元，则可列出方程为__x (1＋40%)×80%－x ＝12__．三、解答题 16．解下列方程： (1) 5x ＋1＝3(x －1)＋4； (2)x －23＝3－2x4.解：(1)去括号，得5x ＋1＝3x －3＋4. 移项、合并同类项，得2x ＝0. 系数化为1，得x ＝0.(2)去分母，得4(x －2)＝3(3－2x )． 去括号，得4x －8＝9－6x . 移项、合并同类项，得10x ＝17. 系数化为1，得x ＝1.7. 17．解方程：(1)2(x ＋1)＝x －(2x －5)； (2)x ＋4x －122＝3.解：(1)去括号，得2x ＋2＝x －2x ＋5， 移项、合并同类项得3x ＝3， 系数化为1，得x ＝1.(2)去分母，得2x ＋4x －12＝6， 移项、合并同类项，得6x ＝18， 系数化为1，得x ＝3. 18．解方程：(1)4(x －1)＋5＝3(x ＋2)；(2)2x －30.5＝2x3－1.解：(1)去括号，得4x －4＋5＝3x ＋6， 移项、合并同类项得x ＝5. (2)2x －30.5＝2x3－1，去分母，得6(2x －3)＝2x －3， 去括号，得12x －18＝2x －3， 移项，合并同类项，得10x ＝15， 解得x ＝32.19．解方程：(1)6x －7＝4(x －1)－5； (2)3y －14－1＝5y －76＋2.解：(1)去括号，得6x －7＝4x －4－5. 移项，得6x －4x ＝7－4－5， 合并同类项，得2x ＝－2，解得x ＝－1.(2)去分母，得3(3y －1)－12＝2(5y －7)＋24， 去括号，得9y －3－12＝10y －14＋24， 移项，得9y －10y ＝15＋10， 解得y ＝－25.20．已知方程1－2x －312＝x ＋104与关于x 的方程2－ax ＝x3的解相同，求a 的值．解：解方程1－2x －312＝x ＋104，得x ＝－3，将x ＝－3代入方程2－ax ＝x3，得2＋3a ＝－1，解得a ＝－1.21．方程x －7＝0与方程5x －2(x ＋k )＝2x －1的解相同，求代数式k 2－5k －3的值． 解：∵x －7＝0，∴x ＝7. 又∵5x －2(x ＋k )＝2x －1， ∴5×7－2(7＋k )＝2×7－1， ∴35－14－2k ＝13， ∴－2k ＝－8， ∴k ＝4，∴k 2－5k －3＝42－5×4－3＝16－20－3＝－7.22．阅读材料：规定一种新的运算：＝ad －bc .例如：＝1×4－2×3＝－2.(1)按照这个规定，请你计算的值；(2)按照这个规定，当＝5时，求x 的值．解：(1) ＝20－12＝8 .(2)由＝5，得12(2x －4)＋2(x ＋2)＝5，解得x ＝1. 23．在一次有12个队参加的足球循环赛中(每两队之间比赛一场)，规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多2场，结果共积19分．问：该队在这次循环赛中战平了几场？解：设该队负了x 场，则胜(x ＋2)场，平局的场数为[11－x －(x ＋2)]场． 根据题意，得3(x ＋2)＋1×[11－x －(x ＋2)]＝19， 解得x ＝4，∴11－x －(x ＋2)＝1.答：该队在这次循环赛中战平了1场．24．一个两位数，个位上的数是a ，十位上的数比个位上的数多4，把它的个位和十位上的数交换位置，得到的新的两位数与原来的两位数的和是88，求这个两位数．解：根据题意，得10(a ＋4)＋a ＋10a ＋(a ＋4)＝88， 解得a ＝2，∴a ＋4＝6， 则这个两位数为62.25．把正整数1，2，3，4，…，2 009排列成如图所示的一个表．(1)用一正方形在表中随意框住4个数，把其中最小的数记为x ，另三个数用含x 的式子表示出来，从小到大依次是__x ＋1__，__ x ＋7__，__x ＋8__；(2)在(1)前提下，当被框住的4个数之和等于416时，x 的值是多少？(3)在(1)前提下，被框住的4个数之和能否等于622？如果能，请求出此时x 的值；如果不能，请说明理由．解：(2)x ＋(x ＋1)＋(x ＋7)＋(x ＋8)＝416， 4x ＋16＝416，解得x ＝100.(3)被框住的4个数之和不可能等于622.理由： ∵x ＋(x ＋1)＋(x ＋7)＋(x ＋8)＝622， ∴4x ＋16＝622，x ＝151.5，∵x 是正整数，不可能是151.5， ∴被框住的4个数之和不可能等于622.26．小明用的练习本可以到甲商店购买，也可以到乙商店购买，已知两商店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖；乙商店的优惠条件是：购买10本以上，每本按标价的80%卖．(1)小明要买20本时，到哪个商店较省钱？ (2)买多少本时到两个商店付的钱一样？ (3)小明现有32元钱，最多可买多少本？ 解：(1)在甲店买需付款10＋10×0.7＝17(元)， 在乙店买需付款20×0.8＝16(元)． ∵17＞16， ∴到乙商店省钱．(2)设买x 本时到两个商店付的钱一样． 根据题意，得10＋(x －10)×0.7＝0.8x ， 解得x ＝30，则买30本时到两个商店付的钱一样． (3)设在甲店可买y 本．根据题意，得10＋(y －10)×0.7＝32， 解得y ＝2907.∵y 为整数，∴y 最大是41， 即在甲店最多可买41本． 设在乙店可买z 本． 根据题意，得0.8z ＝32，解得z ＝40，即在乙店最多可买40本． ∵41＞40，∴最多可买41本，则小明最多可买41本．27．如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上一点，且AB ＝14.动点P 从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t (t ＞0)秒．(1)数轴上点B 表示的数为__－6__，点P 表示的数为__8－5t __(用含t 的代数式表示)； (2)动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．若点P ，Q 同时出发，问：点P 运动多少秒时追上点Q ?(3)若M 为AP 的中点，N 为PB 的中点．点P 在运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长．【解析】(1)∵点A 表示的数为8，B 在A 点左边，AB ＝14，∴点B 表示的数是8－14＝－6. ∵动点P 从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为t (t ＞0)秒，∴点P 表示的数是8－5t .解：(2)设点P 运动x 秒时，在点C 处追上点Q (如答图1)，答图1则AC ＝5x ，BC ＝3x . ∵AC －BC ＝AB ， ∴5x －3x ＝14， 解得x ＝7，∴点P 运动7秒时追上点Q .(3)线段MN 的长度不发生变化，MN ＝7. 理由如下：①当点P 在点A ，B 两点之间运动时(如答图2)：答图2MN ＝MP ＋NP ＝12AP ＋12BP ＝12(AP ＋BP )＝12AB ＝12×14＝7；②当点P 运动到点B 的左侧时(如答图3)：答图3MN ＝MP －NP ＝12AP －12BP ＝12(AP －BP )＝12AB ＝7，综上可知，线段MN 的长度不发生变化，其值为7.。