中考冲刺专题4-多解题分类讨论---教师版 1

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教学内容：分类讨论
一、由题意表述“不确定”引发的讨论
例1：直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于 4或5 练习：等腰三角形的两条边分别为5、6，那么此三角形底边的余切值是
34
或5119119
例2：平行四边形的一角的角平分线分一边长为3cm 和4cm 两部分，则这个平行四边形的周长为 20cm 或
22cm
练习：在平面直角坐标系中，点()()0,21,0A B 、，直线y kx =分△AOB 面积比为1:2的两部分，则
k = 1或1
4
例3：如果直角梯形的一条底边长为7厘米，两腰长分别为8厘米和10厘米，那么这个梯形的面积是
28或80 平方厘米。

练习：已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=15，CD=13，AD=8，∠B 是锐角，4
sin 5
B =
，则BC= 22或12
二、由线圆、圆圆的位置“不确定”引发的讨论
例4：（1）两圆相切，其中一个圆的半径为2，两圆的圆心距为5，则另一圆的半径为 3或7 （2）两圆相切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一圆的半径为 3或7
例5：在矩形ABCD 中，AB=5，BC=12。

如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围是 18r <<或1825r <<
练习：在直角坐标平面内，()2,1A ，点B 为x 轴上一点，圆A 与圆B 只有一个公共点，圆A 和圆B 半径分别是2和6，则点B 坐标是 (
632,0)+或(263,0)-或(152,0)+或(215,0)-
例6：以O 为圆心的两个同心圆半径分别为12和4，1O 与这个圆都相切，那么1O 的半径为 4或8
练习：1O 半径为1与2O 半径为3，且两圆外切，
（1）若3O 半径为5，可做 6 个3O 与上述两圆同时相切 （2）若
3O 半径为4，可做 4 个3O 与上述两圆同时相切
（3）若
3O 半径为2，可做 4 个3O 与上述两圆同时相切
例7：如图，直线k 上有两点A 、B 且线段AB=6，以A 为圆心做 以2为半径的A ，半径为1的P 从点B 出发沿着射线BA 方向 运动，如果
P 的运动速度是1cm/秒，则 3或4或7或8 秒后P 与
A 相切。

练习：如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOC=30°，半径为 1cm 的
P 的圆心在射线OA 上，开始时，PO=6cm 。

如果P
以1cm/s 的速度沿由A 向B 的方向移动，那么当P 的运动时
间t （秒）满足条件 48t << 时，
P 与直线CD 相交。

三、由相似（全等）三角形对应关系“不确定”引发的讨论
例8：在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，AB=4，BC=5，AC=6，EF=10，如果△ABC 与△DEF 相似，那
么DE= 8或12
练习：△ABC 中，AB=9，AC=12，BC=18，D 为AC 上一点，2
3
DC AC =
，在AB 上取一点E ，若满足△ADE 与△ABC 相似，则DE 的长为 9或8 。

例9：已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D 是AB 中点，点E 是直线AC 上一点，若以
C 、
D 、
E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AE 的长度为 4或
253
练习：已知正方形ABCD 的边长是2，E 是CD 的中点，P 为正方形ABCD 的一个动点，动点P 是从A 出
发，沿A →B →C →E 运动，若点P 经过的路程为x ，当△APE 和△AED 相似时，x 的值为 1或
72
例10：在平面直角坐标系中，已知点()()()2,0,0,2,0,4A B C ---，点D 在x 轴上，若以A 、B 、D 为顶
点的三角形和△ABC 相似，则点D 的坐标为 (6,0)-或(4,0)
练习：在平面直角坐标系中，已知点()()()()10400422A B C D -，、，、，、，，点E 在x 轴上且位于点B
的左侧，若以B 、C 、E 为顶点的三角形与△ABD 相似，则点E 的坐标为 (6,0)-或
4
(,0)3
四、由三角形高的位置“不确定”引发的讨论 例11：已知△ABC 中AB=5，AC=7，1
sin 5
B =
，则=ABC S △ 362或62
P O
D
C
B
A
k
P
B
A
练习：已知三角形的两边长分别为17和10，第三边上的高为8，这个三角形第三边长为 21或9 练习：已知△ABC 为等腰三角形，由点A 所引BC 上的高恰好等于BC 边长的一半，则∠BAC= 90或75 五、在坐标与线段长度互相转化过程中，由坐标值正负“不确定”引发的讨论 例12：已知二次函数2
6y x x c =-+的图像顶点到x 轴的距离为5，则c = 14或4 练习：直线21y x =-+上到x 轴与y 轴距离相等的点的坐标是 11
(,)33
或(1,1)- 六、在直角坐标平面内确定特殊多边形顶点的分类讨论
例13：已知点A 、B 的坐标分别为()()2,25,1，，点C 在x 轴上，若△ABC 为等腰三角形，则点C 的坐标
为 (26,0)+
或
(26,0)-或(3,0)或(2,0)或(8,0) 例14：在平面直角坐标系中，点()()()400,30,2A B C -，，点D 是坐标平面上的一个点，当A 、B 、C 、
D 为顶点的四边形为平行四边形时，则点D 的坐标为 ()()()454,14,5--，、、
练习：在平面直角坐标系中，一次函数的解析式为2y x =-+，与x 轴交于B 点，与y 轴交于A 点，若点
Q 在直线AB 上，点P 是坐标系中一点，当以O 、B 、Q 、P 为顶点的四边形是菱形时，则点P 的坐标为 ()()()
1,12,2
42,2---
七、由点线位置关系“不确定”引发的讨论
例15：已知菱形ABCD 的边长是6，点E 在直线AD 上，DE=3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则
MC ：AM=
223
； 练习：在△ABC 中，AB=3，AC=4，点D 在射线AB 上，BD=1，过点D 做DE ∥BC 交射线AC 于E ，则
AE=
81633
； 例16：平面上A 、B 两点到直线l 距离分别是2323-+和，且AB 不垂直与直线l ，则线段中点C 到
直线l 的距离是 23；
练习：12O O 、相交于A 、B 两点，1O 的半径为10，2O 的半径为17，公共弦AB=16，则两圆的圆
心距为 21或9
例17：已知O 的半径OA=2，弦AB 、AC 的长分别是23,22，则∠BAC=15°或75°
练习：已知
O 中，半径为5厘米，AB 、CD 是两条平行弦，且AB=8厘米，CD=6厘米，则AB 、CD 间
距离为 7厘米或者1厘米
例18：在△ABC 中，AB=AC=5，cos 0.6B =，如果圆O 的半径为10，且经过点B 、C ，那么线段AO
的长等于 46;46-+
练习：底边长为8厘米的等腰三角形内接于半径为5厘米的圆，那么它的腰长等于2545；
厘米。

例19：一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水
（如图），此时的水面宽AB=0.6米。

当水位上升到水面宽为0.8米时， 水面上升的高度是 0.1米或0.7米 练习：已知
O 的半径为r ，则圆上一点A 到长度为3r 的弦距离是13
;22
r r 例20：在平面直角坐标系内，直线AB 与x 轴的夹角为60°，且点()2,0A -，点B 在x 轴上方，设AB=6，
则点B 的坐标为 ()
023，
练习：已知直线y kx =与x 轴的夹角为30°，则k =33;33
-
O
B
A。