绝对值不等式讲义

【知识点梳理】
、绝对值的相关概念与性质: 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离.数a 的绝对值 记作a .
绝对值的代数意义： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝 对值是0.
注意：①取绝对值也是一种运算， 运算符号是“|”，求一个数的绝对值， 就是根据性质去掉 绝对
值符号.
② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
0 的绝对值是0.
③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或 0.
④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：
5符号是负号，绝 利用绝对值比较两个负有理数的大小： 两个负数，绝对值大的反而小 .
绝对值非负性：如果若干个非负数的和为 0,那么这若干个非负数都必为
0.
例如：若 |b |c 0，则 a 0， b 0， c 0 绝对值的其它重要性质：
(1)任何一个数的绝对值都不小于这个数， 也不小于这个数的相反数， 即a a ，且a a ；
(2) 若 a |b ，则 a b 或 a b ；
(3) l ab a b ； a 曽(b o )；
(4) | a |2 |a 2 | a 2 ；
(5) a | |b | a b | |a b ，
对于a b ||b ，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立；
对于|b | |a b ，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立.
(5).对一切实数x ，都有|x| x |x|.
(6)： |a i
a 2 a 31 < | a i |
心3丨；|印 a ? a . | < | 印 | | a ? | |a n |.
(7 )： |a| |b| |a b| |a| |b |.力口强：|a| |b| |a b| |a| |b|.
绝对值几何意义
当x a 时，x a 0,此时a 是x a 的零点值.
零点分段讨论的一般步骤：
找零点、分区间、定符号、去绝对值符号•即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为 零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值.
a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离.
求字母a 的绝对值： a(a 0)
② a a(a 0) a(a 0) ① a
0(a 0) a(a 0)
a(a 0) a(a 0) 对值是5.
a b的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离.
二、含绝对值方程(不等式、代数式)的化简
三、绝对值方程的解法
四、含绝对值的恒成立问题
五、含绝对值的参数范围求解问题
六、含绝对值的求值问题
七、含绝对值的最值问题
八、绝对值不等式的解法
1、同解原理
2、平方法
3、图像法
4、数形结合法
5、零点分段讨论法
九、绝对值不等式的证明方法
| x | a a x a
1.
| x | a x a或x a
a 0时，| f(x)| a f(x) a或f(x) a ；| f(x)| a
2. 利用三角不等式、加糖不等式或其他基本不等式
3. 反客为主
4. 分段讨论
【典型例题】
1：解不等式：
⑴ 14x-3|<2x+1
(3) 3 2x| |5x 4 . x 1 x 3 6. a f(x) a ；
⑵ |3-4x|>2x+1
2. (1)对任意实数x , |x 1| |x 2| a恒成立，则a的取值范围是
3、
4、
5、6、
7、9 .
(2)对任意实数x ,
若不等式
若不等式
若不等式
已知2a
|x-4|+|x-3|>a
|x_4|_|x_3|<
a
|x_4|_|x_3|>
a
| x 1| | x 3| a恒成立，则a的取值范围是
对于一切实数x恒成立，求a的取值范围
的解集在R上不是空集，求a的取值范围
在R上恒成立, a的取值范围
4 |b
5 3c c的值.
2001
若x 2——，则|x| |x 1| |x 2|
2002
|x 3| |x 4| |x 5|
已知|x| 3, |y| 6，⑺9，求证:|x 2y 3z|
设a,b,c,d都是不等于0的实数，求证:
|b|
c
.d ..
| | 4.
a
10、已知f (x) x2 x 13,1，求证: f(x) f(a) 2(a 1)
2 ax bx c ( a 0 ,且 b 0)，已知 b
f(1)
1，当 x 1时，证明f (x)
2 ax bx c 对一切 x [ 1,1]，都有 | f (x) | 1， 求证：(1)|a c| 1 ；(2)对一切 x [ 1,1]，都有 |2ax b | 4. 12、已知
0 1, 0 a 1,试比较 | log a (1 x)| 和 I log a (1 x) | 的大小. 13、求证：一L a _SL 1 |a b| |a| |b| 1 |a| 1 |b|
11、设二次函数 f(x)
a , f(0) 1 , f( 1) 1 ,
14、设二次函数 f (x)。