第三章 热辐射的基本定律

df
c

2
d
-34
Planck 常数：h 6.626 10 J s Boltzmann 常数： K 1.3806 10-23 J K 1
3.2功率-温度对应关系

考虑一种情况：一个无损微波天线置于 保持在恒定温度T的黑体闭室内的情况。 体外壳内的天线给出的功率等于（b）图中装在同样温 度的黑体外壳中的电阻给出的功率（假设每个都与带宽为的匹配接收机相连）
3.4.3 各种辐射测量温度的关系提要
图3是图2的等效框图。对于一无损天线，由天线温度 T 所代 表的天线的天线输出功率等于对天线方向图加权的视在温度分 ) 布 T AP( , )的积分。对于每一个方向( , ) ， T AP( ,由两个辐射源组 ( , ) 方向入射到天线。第一个源是 成，这两个辐射源的辐射都从 大气的自发射T VP ，第二个源是在地物表面发出的，它包含两个 ( , ) ，它是在 T DN 方向上被地 成份： T B ，表示地物的自身发射， 物散射的能量的辐射测量温度。 T SC的主要的源是向下发射的大 气辐射（用 T SC表示）。 当能量穿过地物表面和天线之间的大气时， T B T SC这个组合 项按大气损耗因子L a 而衰减。
3.1相关定义
在一定温度下，任何物体总在发射辐射能， 也总是在吸收由周围其他物体发射来的辐射能。 但达到辐射平衡时，物体辐射的能量和吸收的能 量相等。一般而言，投射到固体（或液体）物质 表面上的辐射一部分被吸收，而其余部分被反射。 常把物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射 能之比称为该物体的吸收系数，相应地物体反射 的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该 物体的反射系数。

f
df
c
3
kTdf
3.3.1瑞利-金斯公式
公式中， k 2 。在经典统计理论推导中应 用了能量均分定理,即能量E中每个平方项的平均值 等于（1/2）kT，谐振子的平均能量为 。分 f kT 析瑞利-金斯公式可得到三点结论： （i）瑞利-金斯公式虽然具有维恩位移律的形 式，但却不存在真正的维恩位移。瑞利-金斯公式给 出的维恩位移 T 0 ，亦即b=0，这显然与维恩位 m 移律的试验结果b=0.2897cm.k不一致。
3.2黑体

黑体的物理模型



从外界进入小孔的大部分辐 射通量，不管腔壁的材料和 表面性质如何，都将被腔体 所捕获； 在腔体内发射多次反射，直 到所有的能量被腔壁吸收； 任何进入腔体的通量再从小 孔逸出的几率如此之小，以 致可以认为腔体内壁是全黑 的。
3.2.1黑体发射

黑体发射与吸收过程相反； 由腔壁任意小面积所发射的通量将反复 受到反射，且每发射一次，通量将由于 吸收而衰减，但又被重新发射所增强， 直至发射和吸收相对于腔壁温度而达到 平衡状态。
P n kT A f P
将（1.9）式引入此式，得
（3.10）
Ar ( , ) F n( , )d TA 2 T AP

（3.11）
4
T T
A
称作天线辐射测量温度，又由天线辐射图立体角公式：
P
2
Ar
F ( , )d
n 4
（3.12）
A
图 2 天线温度T A，视在温度T AP 以及亮度温度 T 之间的关系示意图
B
图3 天线温度T A，视在温度T AP 以及亮度温度 T B 之间的关系方框图
3.5 天线效率
3.5.1 波束效率
微波辐射计是一个被动式仪表，因此，设计者必须借助天线 辐射方向图 F n( , )的形状以获得分辨力。理想地，人们要设计一 个具有窄的笔形波束而没有旁瓣的天线。然而，实际上出了通过 天线主瓣接收的热辐射外，天线还通过辐射方向图的其余部分接 受其他的辐射。为了估计这些不希望的贡献的重要性，把式 （3.13）分子中的积分分成两部分，一部分代表主瓣的贡献，另 一部分代表从主瓣以外各方向所接收到的贡献：
由天线辐射图立体角 通过
p 与有效面积
p
的定义：
2
F
4
n
( , ) d p
p
Ar
此时，式（3.2）变为
P bb kT f
（3.3）
在微波遥感中，该结果具有十分重要的意义。功率和温度间的 直接线性关系导致了可交换使用这两个术语。
奈奎斯特对温度为T的电阻导出了类似的一个结果 （如图1.1（b）），他证明了电阻端的资用噪声功率 P n （3.4） 是： P n kT f 从带宽为 f 的理想接收机的观点出发，连接到接收机输 入端的天线等效于一个电阻 R r ，称作天线辐射电阻。虽 然两种情况下接收机都与“电阻”连接，但在图1.1（b） 的实际电阻的情况，它的输出端的资用噪声功率取决于 电阻的物理温度，而在天线的情况，它的输出功率取决 于黑体外壳的温度，黑体外壳的壁离天线可以是任意的 距离。此外，天线结构的物理温度与它的输出功率无关 （只要天线是无损的）。
3.4非黑体辐射
黑体是理想化了的物体，在温度T的热力学平衡下，黑体辐 射的能量不低于同一温度T的任何其他物体辐射的能量，且黑体 是完全的吸收体，实际物体称为灰体，它的发射少于黑体的发射， 且未必吸收所有入射到它上面的能量。由瑞利-琼斯公式，在微 f 波范围内，对于窄带 ，黑体在温度 T的亮度是： 2kT （3.5） B bb B f f 2 f
（ii）维恩位移率：试验发现，当波长 很小和很 都很小，曲线有极大值存在，在不同温度 大时， 曲线的极值点 下， 的数值不同， m m 和相应的温度T之间满足




mT m T b 0.2897cm K
' '
3.2.2基本定律
（iii）斯特潘-波尔兹曼定律：将 f df 对频率从 0到 作积分，可得出辐射场中单位体积的 能量，即场能密度u。根据基尔霍夫定律， 只是f和T的函数，对f从0到 作定积分后， u仅是温度T的函数。试验发现，u和温度T的 4次方成正比，满足 u aT 4 ，此式称为斯特 潘-波尔兹曼定律。
3.1相关定义
在所有频率上吸收所有的入射的辐射而无反 射的理想的完全不透明的材料定义为绝对黑体 （简称黑体）。显然，黑体的吸收系数为1，反 射系数为0.黑体除了是一完全的吸收体外，也是 一个完全的发射体，这是因为如果没有能量的发 射，物质所吸收的能量将使它的温度升高。黑体 辐射的概念对于了解实际物质的热发射是十分重 要的，因为黑体的辐射谱代表了一个标准，相对 于这个辐射标准，可以表述某种物质的辐射。
3.3.2 Planck定律
Bf (T ) B (T ) c2 e hf/(KT) 1 2hf3

5 e hc/(KT) 1
2hc2
Planck定律描述了黑体 辐射的频率分布，建 立了单频谱亮度与频 率和温度之间的关系。
dB Bf df f c
dB B d

3.3热辐射的经典统计理论
在建立热辐射统计理论之前，先给予一个 定理：从动力学观点来看，一个连续振动的体系 相当于一组谐振子，从连续振动体系发出的波等 价于一组谐振子作简谐振动发出的简谐波的叠加。 经典统计理论就是建立在这一定理上经过一系列 推导，应用波尔兹曼统计和能量均分定理推导出 2 了瑞利-金斯公式 8 f
试验发现当波长很小和很大时都很小曲线有极大值存在在不同温度下曲线的极值点的数值不同和相应的温度t之间满足f?ffft????cf??d?????????????m?m?02897mtbcmkmt??????????322基本定律iii斯特潘波尔兹曼定律
热辐射的基本定律
华中科技大学电信系 郭伟
Email：guowei@
3.3.1瑞利-金斯公式
（ii）出现紫外灾难：瑞利-金斯公式只在低频部分与 黑体辐射的试验结果相符，在高频部分，在从约相 当于紫外线的频率开始，理论结果和试验结果有显 著的分歧，理论公式在 f 时 f ，但 试验结果在 f 时 f 0 。 （iii）瑞利-金斯公式不满足斯特潘-波尔兹曼定律。 由瑞利-金斯公式，电磁场的场能密度是发散的， 这当然是个在物理上无法接受的结果。
A
为：
TA T
4 AP
( , ) F n( , ) d
n
F
4
( , )d
（3.13）
T A 等于视在温度分布按天线加权函数 F n( , ) 在 根据式（3.13）， 4 立体角积分，并按加权函数的积分归一化（其积分就是辐射方 向图立体角 P ）。
天线所接收的黑体闭室发射的功率为：
1 P bb Ar 2
f f

f 4
2kT

2
F n( , )d df
f
（3.1）
1 ）近似为常数，
若检测功率限于一窄带 f 内，则 B 在 f（ f 则有
Ar P bb kT f 2 F n( , )d

（3.2）
4
3.2.2黑体辐射基本定律
对于小孔黑体的情况，由于腔壁具有一定的温 度，它也会发出热辐射。又因空腔和外界绝热，密 闭，因此热辐射场存在于空腔的内部。假定空腔已 达到辐射平衡，腔壁和腔内辐射场的温度均为T。 这时，由于电磁波和腔壁原子之间的相互作用，体 系建立起热力学平衡。记在频率间隔 f ~ f f 内 f df ，试验证明，满足： 黑体辐射的能量密度为 c f
u df
0 f 0
8 kT
f
2
c
3
df
3.3.2 Planck定律

在解决空腔辐射问题的统计法有两种不同的方 法，但两种方法给出了完全相同的答案。从历 史上看，第一种方法是普朗克提出的方法，考 虑空腔内电磁波的简正模（与振动弦的谐波相 似的问题），普朗克改进了经典能量均分定理 给出的每一个简正模的平均能量的表达式。第 二种方法是把辐射当作一种由辐射量子组成的 气体，即当作遵守BE统计法的光之来处理。
为确定天线输出端功率与天线所观测的“景物”的辐射之间 的关系，把问题分两部讨论。首先确定天线输出功率与视在辐射 测量温度分布 T AP( , ) 的关系，其次再确定T AP( , ) 与辐射源的关 T AP( , ) 是一黑体等效温度分布，代表着入射到天线能量的 系。 亮度分布 Bi ( , ) ；采用前面定义材料亮温度 T B( , ) 的方式
来定义 T
AP
：
B i ( , )
2k

2
T AP( , )f
（3.8）
注：当所讨论的问题涉及表面或体积的自身辐射时，我们采用 “亮温度”这个术语，而当所讨论的问题涉及入射到天线的能量 时，采用“视在温度”这个术语。
3.4.2 天线温度 对于用视在温度 TAp , 来定义亮度分布的非黑体， 接收功率为： 1 2k P Ar 2 T AP( , )f F n( , )d （3.9） 2 4 通常借助于测量接收机输出电压对置于接收机输入 端（在天线的位置）匹配电阻的物理温度的函数来建立 微波辐射计接收机传递函数。这个方法基于电阻所提供 的噪声功率正比与它的物理温度，对应于天线提供给接 收机的功率P可以定义一个等效温度 ，使在这个温度时 电阻提供的噪声功率为P。因此

讨论半无限材料，若它的物理温度为T，可能随方向而变的亮度 是 B( , ) ，定义黑体等效辐射测量温度：假设B( , )取类似与 （3.5）的形式 2k （3.6） B( , ) 2 T B( , ) f
这种温度通常称作亮温度B( , )
材料的亮温度B( , ) 与同一温度时的黑体的亮度之比定义 为发射率 B( , ) T B( , ) e( , ) （3.7） T B bb 0 e( , ) 1，因而任意一种材料 因为 B( , ) Bbb ， 的亮温度 T B( , ) 总是小于或等于它的物理温度T。 3.4.1 视在温度 现在来讨论图2所示天线。从任何一个特定方向入射 到天线的辐射可能包括有地物本身的辐射，大气本身发射 的向上辐射，以及被地物反射到天线方向的向下发射的大 气辐射。此外，当地物发射的辐射和地物自身发射的辐射 穿过介于地物和天线之间的大气传播时，它们将被衰减。
3.2.2黑体辐射基本定律
（i）基尔霍夫定律： f 只是频率f和温度T的函数， f f ( f , T ) 与辐射空腔的性质无关。又由于电磁波以光 速c传播，波长 和频率f存在系 c / f ,因此， 也可认为，在波长间隔为 d 内辐射场的能量 密度只是温度T和波长 的函数。