2019春河南省南阳市高二(下)期末数学试卷(理科)

2019春河南省南阳市高二（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知i是虚数单位，是z的共轭复数，z（1+i）=，则的虚部为（）
A. B. C. D.
2.从图示中的长方形区域内任取一点M，则点M取自图中阴影部
分的概率为（）
A.
B.
C.
D.
3.某地区一次联考的数学成绩近似地服从正态分布N（85，σ2），已知P（X≤122）
=0.96，现随机从这次考试的成绩中抽100个样本，则成绩小于48分的样本个数大约为（）
A. 4
B. 6
C. 94
D. 96
4.在（1-x）6-（1-x）5的展开式中，含x3的项的系数是（）
A. B. 5 C. 10 D.
5.在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射
影，则AB2=BD•BC．拓展到空间，在四面体A-BCD中，AD⊥面ABC，点O是A 在面BCD内的射影，且O在△BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（）
A. △ △ △
B. △ △ △
C. △ △ △
D. △ △ △
6.已知f（x）=（ax+2）6，f′（x）是f（x）的导数，若f′（x）的展开式中x的系数小
于f（x）的展开式中x的系数，则a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7.函数f（x）在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数
y=f′（x）的图象可能为（）
A.
B.
C.
D.
8.在一个棱长为3cm的正方体的表面涂上颜色，将其适当分割成棱长为1cm的小正
方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是（）
A. B. C. D.
9.已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜-xf′
（x），则不等式f（x+1）＞（x-1）f（x2-1）的解集是（）
A. B. C. D.
10.小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买
水果，然后去花店买花，最后到达医院．相关的地点都
标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走
路程最短的走法的种数为（）
A. 72
B. 56
C. 48
D. 40
11.已知中a＞0，若
a13=-945，则a的值为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
12.已知函数f（x）=e x-a（x-1）2-（2a+1）x在（1，2）上单调，则实数a的取值范围
为（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.袋中装有10个形状大小均相同的小球，其中有6个红球和4个白球，从中不放回
地依次摸出2个球，记事件A=“第一次摸出的是红球，事件B=“第二次摸出的是白球”，则P（B|A）=______．
14.某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有A、B两项技术指标需要检测，
设各项技术指标达标与否互不影响，若有且仅有一项技术指标达标的概率为上，至少一项技术指标达标的概率为，按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品，任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，则Eξ=______．
15.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂
一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，
则不同的涂色方法共有______种（用数字作答）．
16.已知函数f（x）=（a∈R），若存在三个互不相等的实数x1，
x2，x3，使得=-e成立，则实数a的取值范围是______
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知甲、乙、丙、丁、戊、己6人．（以下问题用数字作答）
（1）邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的安排方法？
（2）将这6人作为辅导员全部安排到3项不同的活动中，求每项活动至少安排1名辅导员的方法总数是多少？
18.某校在本校任选了一个班级，对全班50名学生进行了作业量的调查，根据调查结
果统计后，得到如下的2×2列联表，已知在这50人中随机抽取2人，这2人都“认为作业量大”的概率为．
（Ⅱ）根据列联表的数据，能否有99%的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关？
（Ⅲ）若视频率为概率，在全校随机抽取4人，其中“认为作业量大”的人数记为X，求X的分布列及数学期望．
附表：
附：
19.设函数f（x）=ln x-x+1．
（Ⅰ）分析f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜＜x．
20.2017年3月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型（“小绿车”、“小黄车”）采
用分时段计费的方式，“小绿车”每30分钟收费0.5元（不足30分钟的部分按30分钟计算）；“小黄车”每30分钟收费1元（不足30分钟的部分按30分钟计算）．有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行（各租一车一次）．设甲、乙、丙不
超过30分钟还车的概率分别为，，，三人租车时间都不会超过60分钟．甲、乙
均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”．
（I）求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；
（Ⅱ）设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
21.1，4，9，16…这些数可以用图1的点阵表示，古希腊毕达哥拉斯学派将其称为正
方形数，记第n个数为a n+1，在图2的杨辉三角中，第n（n≥2）行是（a+b）n-1展开式的二项式系数，，…，记杨辉三角的前n行所有数之和为T n．（Ⅰ）求a n和T n的通项公式；
（Ⅱ）当n≥2时，比较a n与T n的大小，并加以证明．
22.已知函数f（x）=ln（ax+1）-x+1（a≥1）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）若对∈，恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由z（1+i）=，
得z=，
∴，
∴的虚部为．
故选：A．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
先利用定积分公式计算出阴影部分区域的面积，并计算出长方形区域的面积，然后利用几何概型的概率计算公式可得出答案．
本题考查定积分的几何意义，关键是找出被积函数与被积区间，属于基础题．
【解答】
解：图中阴影部分的面积为，长方形区域的面积为1×3=3，
因此，点M取自图中阴影部分的概率为．
故选：C．
3.【答案】A
【解析】解：由题意可得，P（X＞122）=0.04，对称轴为x=85，
故P（X＜48）=0.04，
∴成绩小于48分的样本个数为100×0.04=4个．
故选：A．
由已知根据正态分布的特点可得P（X＞122）=0.04，又对称轴为x=85，则P（X＜48）=0.04，乘以样本个数得答案．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：在（1-x）6-（1-x）5=（1-x）5•（-x）=-x（1-5x+10x2-10x3+5x4-x5）的展开式中，
含x3的项的系数为-10，
故选：A．
根据（1-x）6-（1-x）5=（1-x）5•（-x），把（1-x）5按照二项式定理展开，可得含x3的项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基
础题．
5.【答案】A
【解析】解：由已知在平面几何中，
若△ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC，E是垂足，
则AB2=BD•BC，
我们可以类比这一性质，推理出：
若三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，
则（S△ABC）2=S△BOC．S△BDC．
故选：A．
这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，
一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到
面的性质，由已知在平面几何中，（如图所示）若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB2=BD•BC，我们可以类比这一性质，推理出若三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，则（S△ABC）2=S△BOC．S△BDC
类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
6.【答案】B
【解析】解：f（x）展开式中x的系数是，
又f′（x）=6（ax+2）5（ax+2）′=6a（ax+2）5，
所以f′（x）的展开式中x的系数是6，
依题意得480a2＜192a，
解得0＜a＜．
故选：B．
f（x）展开式中x的系数是，又f′（x）=6（ax+2）5（ax+2）′=6a（ax+2）5，所以f′（x）的展开式中x的系数是6，依题意得4802＜192a，继而解得结果．
本题考查二项式定理和导数的综合，中等难度．
7.【答案】C
【解析】解：由函数f（x）的图象可知，函数在自变量逐渐增大的过程中，函数先递增，然后递减，再递增，
当x＞0时，函数单调递增，
所以导数f'（x）的符号是正，负，正，正．对应的图象为C．
故选：C．
根据函数的单调性确定f'（x）的符号即可．
本题主要考查函数的单调性与导，数符号之间的关系，由f（x）的图象看函数的单调性，由f'（x）的图象看f'（x）的符号．
8.【答案】C
【解析】解：在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个．由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果
，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，所以所求
概率为=．
故选：C．
由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，根据等可能事件的概率得到结果．
本题考查等可能事件的概率，考查计数原理，考查正方体的结构特征，是一个综合题目，在解题时注意分割后的小正方体一定要数清楚
9.【答案】D
【解析】解：设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，
∴函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，
∵f（x+1）＞（x-1）f（x2-1），x∈（0，+∞），
∴（x+1）f（x+1）＞（x+1）（x-1）f（x2-1），
∴（x+1）f（x+1）＞（x2-1）f（x2-1），
∴g（x+1）＞g（x2-1），
∴x+1＜x2-1，
解得x＞2．
故选：D．
由题意构造函数g（x）=xf（x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，不等式f（x+1）＞（x-1）f（x2-1），构造为g（x+1）＞g（x2-1），问题得以解决．
本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性的关系对不等式进行判断．
10.【答案】A
【解析】解：根据题意，从家经水果店花店到医院的最短路程，只能向左右、向上运动；从家到水果店，最短的路程需要向上走2次，向右走2次，即从4次中任取2次向右，剩下2次向上，有C42=6种情况，
从水果店到花店，最短的路程需要向上走1次，向右走2次，即从3次中任取2次向右，剩下1次向上，有C32=3种情况，
从花店到医院，最短的路程需要向上走1次，向左走3次，即从4次中任取3次向左，剩下1次向上，有C43=4种情况，
小张所走路程最短的走法的种数为6×3×4=72种，
故选：A．
根据题意，从家经水果店花店到医院的最短路程，只能向左右、向上运动，将原问题转化为排列、组合问题，分别讨论计算从家到水果店与从水果店到花店，从花店到医院的最短路程的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，解题的关键将圆问题转化为排列、组合问题，由分步计数原理计算得到答案．
11.【答案】A
【解析】解：∵ ，
（x+a）15=（-x-a）15=-[-（a+1）+（1-x）]15，
∴-[-（a+1）+（1-x）]15=a0+a1（1-x）+a2（1-x）2+…a15（1-x）15，
其中a＞0，若a13=-945，
故有a13=-945=-•[-（a+1）]2，即-945=-105•（a+1）2，即（a+1）2=9，∴a=2，
故选：A．
根据题意可得-[-（a+1）+（1-x）]15=a0+a1（1-x）+a2（1-x）2+…a15（1-x）15，再利用二项展开式的通项公式、二项式系数的性质、以及a13=-945，求出a的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
12.【答案】D
【解析】解：∵f（x）=e x-a（x-1）2-（2a+1）x，
∴f′（x）=e x-2ax-1
∵f（x）=e x-a（x-1）2-（2a+1）x，在（1，2）上单调，
∴①当f′（x）≥0在（1，2）上恒成立时，f（x）在（1，2）上单调递增
即e x-2ax-1≥0在（1，2）上恒成立⇔a≤在（1，2）上恒成立
令h（x）=，x∈（1，2），则h′（x）=＞0，h（x）在（1，2）为增函数∴a≤h（1）=
②当f′（x）≤0在（1，2）上恒成立时，f（x）在（1，2）上单调递减
即e x-2ax-1≤0在（1，2）上恒成立⇔a≥在（1，2）上恒成立
同①可得a≥h（2）=
综上，可得a≤或a≥
故选：D．
根据条件分析需要对原函数求导，利用导数来研究单调性．
①由f（x）=e x-a（x-1）2-（2a+1）x得到f′（x）=e x-2ax-1，
②f（x）=e x-a（x-1）2-（2a+1）x，在（1，2）上单调，问题转化成导数f′（x）≥0或f′（x）≤0在（1，2）上恒成立问题，
③由f′（x）≥0在（1，2）上恒成立时，f（x）在（1，2）上单调递增，即e x-2ax-1≥0在（1，2）上恒成立⇔a≤在（1，2）上恒成立
由f′（x）≤0在（1，2）上恒成立时，f（x）在（1，2）上单调递减，即e x-2ax-1≤0在（1，2）上恒成立⇔a≥在（1，2）上恒成立，
④构造函数h（x）=，判断其在（1，2）上单调性，得出h（x）的范围，即可得出
a的范围．
本题考查利用导数研究函数单调性、最值问题，用到了分离参数法求参数的范围，恒成立问题的处理及转化化归思想是本题的灵魂，属于偏难题．
13.【答案】
【解析】解：先求出“第一次摸到红球”的概率为：P1=，
设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P2
再求“第一次摸到红球且第二次摸到白球”的概率为P=，
根据条件概率公式，得：P2=，
故答案为：．
首先第一次摸出红球为事件A，第二次摸出白球为事件B，分别求出P（A），P（AB），利用条件概率公式求值．
本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．
14.【答案】1
【解析】解：设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2，
由题意，得，解得P1=，P2=，∴P=P1•P2=，
即一个零件经过检测为合格品的概率为．
依题意知ξ～B（4，），
Eξ=4×=1．
故答案为：1．
设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2，由题意得得，
求得P1和P2的值，再依题意知ξ～B（4，），可得分布列和Eξ的值．
本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．
15.【答案】390
【解析】解：用2色涂格子有C62×2=30种方法，
用3色涂格子，第一步选色有C63，第二步涂色，从左至右，第一空3种，第二空2种，第三空分两张情况，一是与第一空相同，一是不相同，共有3×2（1×1+1×2）=18种，
所以涂色方法18×C63=360种方法，
故总共有390种方法．
故答案为：390
由题意选出的颜色只能是2种或3种，然后分别求出涂色方法数即可．
本题考查组合及组合数公式，考查分类讨论思想，是基础题．
16.【答案】（-e，-1]
【解析】解：
若存在三个不相等的正实数x1，x2，x3，
使得=-e成立，
即方程f（x）=-ex存在三个不相等的实根，
当x＜0时，f（x）=e-x，
∴e-x=-ex，
解得x=-1，
∴当x＜0时，f（x）=e-x，只有一个根，
∴当x≥0时，方程f（x）=-ex存在两个不相等的实根，
即a-（x-1）e x=-ex，
∴-a=ex-（x-1）e x，
设g（x）=ex-（x-1）e x，x≥0，
∴g′（x）=e-xe x，
令g′（x）=0，解得x=1，
当g′（x）＜0，解得x＞1，函数g（x）单调递减，
当g′（x）＞0，解得0＜x＜1，函数g（x）单调递增，
作出y=g（x）的图象，
∴g（x）≤g（1）=e，∴-a＜e，
∴a＞-e，
由g（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，
可得-a≥1，即a≤-1，
故答案为：（-e，-1]．
若存在三个不相等的正实数x1，x2，x3，使得=-e成立，等价为方程f
（x）=-ex存在三个不相等的实根，由于当x＜0时，f（x）=e-x，只有一个根，则当x＞0时，方程f（x）=-ex存在两个不相等的实根，构造函数，求函数的导数，研究函数的最值，即可得到结论．
本题主要考查导数的综合应用，根据条件转化为方程f（x）=-ex存在三个不相等的实根，构造函数，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．17.【答案】解：（1）=63，故共有63种不同的去法．（2）该问题共分为三类：
第一类：6人中恰有4人分配到其中一项活动中，另外两项活动各分一人，共有
种．
第二类：6人中恰有3人分配到其中一项活动中，共有=360种．
第三类：6人平均分配到三项活动中，共有=90种．
所以，每项活动至少安排1名辅导员的方法总数为：90+360+90=540种．
【解析】（1）邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，去1，2，3，4，5，6个人，利用组合数求解即可．
（2）第一类：6人中恰有4人分配到其中一项活动中，另外两项活动各分一人，第二类：6人中恰有3人分配到其中一项活动中，第三类：6人平均分配到三项活动中，求出方法数，推出结果即可．
本题考查排列组合的实际应用，难度比较大．
18.【答案】解：（Ⅰ）设认为作业量大的共有x个人，则⇒x2-x-50×12=0，解得x=25或x=-24（舍去）；
（Ⅱ）根据列联表中的数据，得＞．
因此有99%的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关．
（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，4．
由（Ⅰ）可知，在全校随机抽取1人，“认为作业量大”的概率为．
由题意可知～，．
所以（k=0，1，2，3，4）．
所以X的分布列为
（或）．（I）由已知中在这50人中随机抽取2人，这2人都“认为作业量大”的概率为，求【解析】
出认为作业量大的人数，可得列联表；
（Ⅱ）根据列联表的数据，计算K2的值，与临界值比较后可得答案；
（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，4．进而可得X的分布列及数学期望．
本题考查的知识点是独立性检验和随机变量的分布列及期望，难度中档．
19.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=ln x-x+1，有＞，则f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减；
（Ⅱ）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜＜x，即为ln x＜x-1＜x lnx．
结合（Ⅰ）知，当x＞1时f′（x）＜0恒成立，即f（x）在（1，+∞）递减，
可得f（x）＜f（1）=0，即有ln x＜x-1；
设F（x）=x lnx-x+1，x＞1，F′（x）=1+ln x-1=ln x，
当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）=0，
即有x lnx＞x-1，则原不等式成立；
【解析】（Ⅰ）求出＞，利用导函数的符号，判断函数的单调性．（Ⅱ）设F（x）=x lnx-x+1，x＞1，利用导函数F′（x）=1+ln x-1=ln x，判断函数的单调性，然后最后证明原不等式成立；
本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．
20.【答案】解：（I）由题意得，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为，，．
记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A．则
，
答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为，
（Ⅱ）ξ可能取值有2，2.5，3，3.5，4，
∴；；
；，
．
甲、乙、丙三人所付的租车费用之和ξ的分布列为：
∴ ．
【解析】（I）利用相互独立事件的概率公式，分两种情况计算概率；
（II）根据相互独立事件的概率公式求出各种情况对于的概率得出分布列，再计算数学期望．
本题考查了相互独立事件的概率计算，离散型随机变量的分布列，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由正方形数的特点知，
由二项式定理的性质，杨辉三角形第n行n个数的和为：
=2n-1，
∴T n=S1+S2+…+S n
=1+2+22+…+2n-1
=2n-1．
（Ⅱ），，∴a2＞T2．
，，∴a3＞T3．
，，∴a4＞T4．
，，∴a5＜T5．
∴2≤n≤4时，a n＞T n．
猜想2≤n≤4时，a n＞T n．n≥5时，a n＜T n．
证明：2≤n≤4时，a n＞T n，已证明．
下面用数学归纳法证明n≥5时，a n＜T n．
①当n=5时，，，∴a5＜T5．成立．
②假设n=k（k≥5，k∈N*）时，猜想成立，即＜，∴k2＜2k-1．
则
=2（2k-1）+1
＞2k2+1=k2+k2+1
＞k2+2k+1=（k+1）2，
∴n=k+1时，猜想也成立．
由①②知n≥5时，a n＜T n．
【解析】（Ⅰ）由正方形数的特点知，由二项式定理的性质，求出杨辉三角形第n行n个数的和，由此能求出a n和T n的通项公式．
（Ⅱ）2≤n≤4时，a n＞T n．n≥5时，a n＜T n．证明：2≤n≤4时，a n＞T n时，可以逐个验证；证明n≥5时，a n＜T n时，可以用数学归纳法证明．
本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意二项式定理和数学归纳法的合理运用．
22.【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=ln（x+1）-x+1，定义域为（-1，+∞）．
．
令f'（x）=0，得x=0．
当x∈（-1，0）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（x）max=f（0）=1．
（Ⅱ）=，＞．
令f'（x）=0，得．
当∈，时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当∈，时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
∴．
依题意有，设，
则，∴g（a）在a∈[1，+∞）上单调递增．
又，故⇔g（a）≤g（e）⇒1≤a≤e，
即实数a的取值范围为[1，e]．
【解析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=ln（x+1）-x+1，定义域为（-1，+∞）.．令f'（x）=0，得x=0．进而得出单调性与最值．
（Ⅱ）=，＞．令f'（x）=0，得．可得其单调性与最值．依题意有f（x）max≤，再利用导数研究其单调性即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值、方程与不等式问题、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。