河南省南阳市2019-2020学年高二下学期期末考试数学(文)试题

2020年春期高中二年级期终质量评估
数学试题（文）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.
2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区城书写的答案无效.
5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设有一个回归方程为ˆ2
2.3y
x =-，变量x 增加一个单位时，则y 平均（ ） A.增加2.3个单位
B.增加2个单位
C.减少2.3个单位
D.减少2个单位
2.i 是虚数单位，若()()
225420m m m m i -++->，则实数m 的值为（ ） A.1
B.0或2
C.2
D.0
3.设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为
3
10
，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为
1
2，则事件A 发生的概率为（ ） A.35 B.310
C.
2
5
D.
710
4.在极坐标系中，52,6
A π⎛⎫ ⎪⎝
⎭，3,2B π⎛⎫
⎪⎝⎭
，则AB =（ ）
A.1
5.设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的斜率是b ，纵截距是a ，那么必有（ ） A.b 与r 的符号相同 B.a 与r 的符号相同 C.b 与r 的符号相反
D.a 与r 的符号相反
6.进入互联网时代，发电子邮件是必不可少的.一般而言，发电子邮件主要有以下几个步骤：a .打开电子信箱；b .输入发送地址；c.输入主题；d .输入信件内容；e .点击“写邮件”；f .点击“发送邮件”.则正确的流程
应该是（ ）
A.a b c d e f →→→→→
B.a c d f e b →→→→→
C.a e b c d f →→→→→
D.e a c d b f →→→→→
7.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中.“n 阶幻方（3n ≥，*n N ∈）”是由前
2n 个正整数组成的一个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如
“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）.则“5阶幻方”的幻和为（ ）
A.75
B.65
C.55
D.45
8.已知复数2
1z i
=-，则下列命题中错误的是（ ）
A.z =
B.1z i =-
C.z 的虚部为i
D.z 在复平面上对应点在第一象限
9.下列参数方程（t 为参数）中，与方程2
y x =表示同一曲线的是（ ）
A.2
x t y t =⎧⎨=⎩ B.2tan tan x t
y t ⎧=⎨=⎩
C.2sin sin x t
y t ⎧=⎨=⎩
D.x t
y =⎧⎪⎨=⎪⎩
10.a ，b ，c 为互不相等的正数，且222a c bc +=.则下列关系中可能成立的是（ ） A.a b c >>
B.b c a >>
C.b a c >>
D.a c b >>
11.若定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f a x b +-=，则其图像关于点(),a b 成中心对称.已知：函数()1141
x f x -=+，则函数()f x 图像的中心对称点是（ ）
A.()0,1
B.1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
C.()1,0
D.11,2⎛⎫
⎪⎝⎭
12.已知：函数()cos f x x x =，其导函数()cos sin f x x x x '=-.若函数()g x 的导函数()sin g x x x '=，且02g π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则()g π的值为（ ） A.-1
B.1
C.1π-
D.1π+
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.i 是虚数单位，若84z i z +=+，则z =___________.
14.下表是学校小卖部某6天卖出热珍珠奶茶的杯数与当天气温的对比表.
由最小二乘法求得回归方程为ˆ 1.72y
x a =-+，现在的问题是：如果某天的气温是-5℃，这天小卖部大概要准备热珍珠奶茶的杯数是_________________（保留整数）. 15.直线1sin 702cos70x t y t =+︒
⎧⎨
=+︒
⎩（t 为参数）的倾斜角的大小为_______________.
16.乒乓球单打决赛在甲、乙、丙、丁四位选手中进行，赛前，有些人预测比赛的结果，A 说：甲第四；B 说：乙不是第二，也不是第四；C 说：丙的名次在乙的前面；D 说：丁将得第一.比赛结果表明，四个人中只有一个人预测错了.那么，四位选手中第一名的是_______________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）
已知：复数12ω=-+. （1）求1
ωω
+
的值；
（2）求325322ωωω++-的值. 18.（本小题满分12分）
为了了解文科生中男生和女生对选修教材4-4（《坐标系与参数方程》）和选修教材4-5（《不等式选讲》）这两本教材的选择倾向性，某教师对所教的120名文科生进行调研.发现选择教材4-4的女生人数与选择教材4-5的女生人数相等，但是选择教材4-5的男生人数只有选择教材4-4的女生人数的1
4
，根据调研情况制成如下图所示的2×2联表：
（1）完成2×2联表，并判断在犯错误的概率不超过0.010的前提下，能否认为教材的选择与性别有关；
（2）按照分层抽样的方法，从男生和女生中共抽取6人进行问卷.若从这抽取的6人中依次挑选2人，在已知第一个被选取是女生的条件下，第二个被选取的还是女生的概率是多少？
附：()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
19.（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，
且[)0,2a π∈）
（1）求曲线C 的普通方程；
（2）求曲线C 上的一点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标. 20.
（本小题满分12分）
（1）设(),0,a b ∈+∞，a b ≠，(),0,x y ∈+∞，求证：()2
22a b a b x y x y
++≥
+； （2）利用（1）的结论，求函数()2910,122f x x x x ⎛⎫
⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
的最小值. 21.（本小题满分12分）
甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和1
4
，求： （1）两个人都译出密码的概率； （2）恰有1个人译出密码的概率；
（3）若要达到译出密码的概率为99%，至少需要像乙这样的人多少个？ （附：lg 20.3010=，lg30.4771=） 22.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是122
x t y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非
负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
2cos 20ρρθ--=，点P 的极坐标是
233π⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭
. （1）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l 的距离； （2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求PMN △的面积
2020年春期高中二年级期终质量评估
数学试题（文）参考答案
一、选择题
1~6 CDABAC 7~12 BCBCDC 二、填空题 13.34i + 14.68
15.20°
16.丙
三、解答题
17.解：因为12ω=-+，所以12ω=- （1）1
1ωω
+
=-，…………………………5分
（2）由（1）得：21ωω=--，所以，
()322532251322ωωωωωωω++-=--++- ()22322132ωωωωω=---=+--=-
122
i =
-………………………………………………10分 （或者直接利用31ω=） 18.解（1）
…………………………………………3分
2
2
120(1200400) 6.857 6.63540807050
K -=≈>⨯⨯⨯，
故可以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为教材的选择与性别有关.…………6分
（2）男生与女生的人数比例为40:801:2=，
所以抽取的6人中男生的人数为2人，女生的人数为4人.
用大写字母M ，N 表示男生，用小写字母a ，b ，c ，d 表示女生.从中依次挑选2人共有以下30种情况：
MN ，Ma ，Mb ，Mc ，Md ，NM ，Na ，Nb ，Nc ，Nd ，aM ，aN ，ab ，ac ，ad ，bM ，
bN ，ba ，bc ，bd ，cM ，cN ，ca ，cb ，cd ，dM ，dN ，da ，db ，dc …………………8分 记事件A 为“第一次选取的是女生”，事件B 为“第二次选择是女生”，
()23P A =
，()122
305
P AB ==…………………………………………10分 则在第一次选取的是女生的条件下，第二次选择的也是女生的概率为：
()()()3
|5
P AB P B A P A =
=.…………………………………………12分
19.解：（1
）由sin x y αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩得，曲线C 的普通方程为2213x y +=.…………4分
（2
）设)
,sin P
αα，所以，
d =
=≤=，………………8分
因[)0,2απ∈，故当且仅当116πα=
，即31,22P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
时，max d =………………12分 20.（1）证明：要证：()2
22a b a b x y x y ++≥
+. 即证：()()222
a b x y a b x
y ⎛⎫++≥+
⎪⎝⎭ 也就是要证：()()222
0a b x y a b x
y ⎛⎫++-+≥
⎪⎝⎭ 即证：22
2ya xb ab x y
+≥ 即证：()2
0ay bx -≥ 显然成立，因此，()2
22
a b a b
x y
x y
++≥
+………………6分
（或者利用作差法证明） （2）根据（1）结论，
()()()
2
232949
2512212212f x x x x x x x +=+=+≥
=--+-，………………10分 当且仅当
23
212x x
=
-，即110,52x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时，()f x 取最小值为25.……………12分 21.解：记“甲独立地译出密码”为事件A ，“乙独立地译出密码”为事件B ，A 、B 为相互独立事件，且
()13P A =
，()1
4
P B =.………………………………2分 （1）两个人都译出密码的概率为：
()()()111
3412
P AB P A P B =⨯=⨯=.……………………5分
（2）恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：
()()()()()()
()P AB AB P AB P AB P A P B P A P B +=+=+ 11115
11343412
⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………8分 （3）假设有n 个像乙这样的人分别独立地破译密码，要译出密码相当于至少有1个译出密码，其对立事件为所有人都未译出密码， 故能译出密码的概率为()()
3114n n
P B
⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即310.994n
⎛⎫
-≥ ⎪⎝⎭
，
故30.014n
⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭，………………………………10分 34
2
log 0.0116.012lg 2lg 3
n ≥=
=-，即至少有像乙这样的人17名，才能使译出密码的概率达到
99% …………………………………………………………12分 22.解：
（1
）由122
x t y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩消去t
，得到y =
，则sin cos ρθθ=，
∴3
π
θ=
，所以直线l 的极坐标方程为()3
R π
θρ=
∈.…………3分
点233P π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
到直线l
的距离为2sin 33332d ππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭…………6分
（2）由22203cos ρρθπ
θ⎧--=⎪
⎨=⎪
⎩
，得220ρρ--=， 所以121ρρ+=，122ρρ=-，……………………9分 所以
123MN ρρ=-=
=，
则PMN △
的面积为113222
PMN S MN d =
⨯=⨯=
△.……12分。