2016年4月浙江省普通高校招生学考科目考试数学试题 【精品解析】

浙江省2016年4月普通高中学业水平考试(数学)详细答案
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.） 1. 已知集合{}1,2A =，{}
(1)()0,B x x
x a
a
R =--=∈.若A B =，则a 的值为（） A.2 B.1 C.1- D.2- 【答案】A
【解析】因为A B =，所以B ∈2，可得2=a 2. 已知角α的终边经过点(3,4)P ，则sin α=（） A.
35 B.34 C.45 D.43
【答案】C
【解析】：由三角函数定义可知
54
434sin 22=+==
r y α
3. 函数2()log (1)f x x =-的定义域为（）
A.(,1)-∞-
B.(,1)-∞
C.(0,1)
D.(1,)+∞ 【答案】D
【解析】：由01>-x ，可得1>x
4. 下列图象中，不可能成为函数()y f x =图象的是（）
【答案】：A
【解析】：A 选项中，当0=x 时，有两个y 与之对应，与定义矛盾
5.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的方程为2y x =+，则一点O 到直线l 的距离是 A.
1
2
2 2 D.2
【答案】：C
【解析】：直线l 的方程为02=+-y x ，则点O 到直线l 的距离2)
1(12002
2
=-++-=
d
6.
tan 20tan 25
1tan 20tan 25
+=-⋅（）
A.3
B.3
C.1-
D.1
【答案】：D 【解析】：
tan 20tan 25
1tan 20tan 25
+=-⋅145tan =o
7. 如图，某简单组合体由半个球和一个圆台组成，则该几何体的侧视图为（）
【答案】：B 【解析】：由三视图的概念易知答案选B
8. 已知圆221:1C x y +=，圆22
2:(3)(4)9C x y -+-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）
A.内含
B.外离
C.相交
D.相切 【答案】：B
【解析】：两圆的圆心距212
22145)04()03(r r C C +=>=-+-=，所以两圆外离 9. 对任意的正实数a 及,m n Q ∈，下列运算正确的是（） A.()m n
m n
a a
+= B.()n
m n
m a a
= C.()m n m n
a a
-= D.()m n mn
a a
=
【答案】：D 【解析】：由指数运算性质，易知答案选D
10. 已知空间向量(2,1,5)a =-，(4,2,)b x =-()x R ∈.若a ⊥b ，则x =（） A.10- B.2- C.2 D.10 【答案】：C
【解析】：a ⊥b ，所以052)1()4(2=+⨯-+-⨯=⋅x ，解得2=x
11. 在平面直角坐标系xOy 中，设a R ∈.若不等式组1010y a
x y x y ⎧⎪
-+⎨⎪+-⎩
≤≤≥，所表示平面区域的边界为三角形，则a 的
取值范围为（）
A.(1,)+∞
B.(0,1)
C.(,0)-∞
D.(,1)(1,)-∞+∞
【答案】：A
【解析】：化简01≤+-y x ，得到1+≥x y ，即表示直线1+=x y 的上面部分；化简01≥-+y x ，得到
x y -≥1，即表示直线x y -=1的上面部分。

又因为两直线交于)1,0(点，且与a y ≤所包围区域为三角形，
所以1>a
12. 已知数列{}*
()n a n N ∈满足12,1,n n n a a a +⎧=⎨
+⎩n n 为奇数
为偶数
，设n S 是数列{}n a 的前n 项和.
若520S =-，则1a 的值为（） A.239-
B.2031
- C.6- D.2- 【答案】：D
【解析】：由递推关系可知122a a =，121123+=+=a a a ，242134+==a a a ，
341145+=+=a a a ，所以206131543215-=+=++++=a a a a a a S ，可得21-=a
13. 在空间中，设,,a b c 为三条不同的直线，α为一平面.现有： 命题:p 若a α⊄，b α⊂，且a ∥b ，则a ∥α
命题:q 若a α⊂，b α⊂，且c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥α.则下列判断正确的是（） A.p ，q 都是真命题 B.p ，q 都是假命题
C.p 是真命题，q 是假命题
D.p 是假命题，q 是真命题 【答案】：C
【解析】：由直线与平面平行的判定定理可知命题p 为真命题；由直线与平面垂直的判定定理可知命题q 为假命题。

14. 设*n N ∈，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等比数列”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 【答案】：A
【解析】：充分性：若“数列{}n a 为等比数列”，则
)2(,1
≥=-n q a a n n
，所以)2(,1
11222121
2≥==--n q a a a a n n n n ，所
以“数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列”，充分性成立。

必要性：若“数列21n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等比数列”，则
)2(,1121
2≥=-n q a a n n ，所
以)2(,1122121
2≥==--n q a a a a n n n n ，)2(,11≥±=-n q a a n n ，所以“数列{}n a 不是等比数列”
，必要性不成立。

15. 在△ABC 中，已知∠A ＝30°，AB ＝3，BC ＝2，则△ABC 的形状是（） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 【答案】：D
【解析】：由正弦定理可得4
3
sin sin ==
BC A AB C ，
在ABC ∆中，BC AB >，则A C ∠>∠，所以C ∠可能为锐角或钝角 16. 如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，P 是棱BC 上的
动点.
记直线A 1P 与平面ABC 所成的角为1θ，与直线BC 所成的角为2θ，则12,θθ的大小关系是（） A.12θθ= B.12θθ> C.12θθ< D.不能确定 【答案】：C
【解析】：由题意得11APA ∠=θ，PB A 12∠=θ。

过1A 作BC 垂线，交点为Q ，则P AA 1∆和PQ A 1∆均为直角三角形且斜边相同。

因为Q A A A 11<，所以12θθ< 17. 已知平面向量,a b 满足3
4
a =
，12()b e e R λλ=+∈，其中12,e e 为不共线的单位向量.若对符合上述条件的任意向量,a b 恒有a b -≥3，则12,e e 夹角的最小值为（） A.
6π B.3π C.23π D.56
π 【答案】：B
【解析】：1,cos 2)(212221+><+=+=λλλe e e e b ；由a b -≥3得
16
3
163,cos 2322
2
2
≥+><-
=+⋅-b a b b b b a a ； 0,cos 232
>≥<-∴b a b b ，><≥∴b a b ,cos 23，23≥∴b ，4
3
2≥∴b
431,cos 2212≥
+><+∴λλe e 恒成立；4
3
1,cos 2212≥+><+∴λλe e 对任意R ∈λ恒成立；01,cos 4212≤-><=∆∴e e ，21,cos 2121>≤<≤-∴e e ；3
2,321π
π>≤
≤<∴e e ； 21,e e ∴夹角的最小值是3π
18. 设函数2()(,)f x ax b a b R x
=--∈.若对任意的正实数a 和实数b ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x ≥m ，则
实数m 的取值范围是（）
A.(,0]-∞
B.1
(,]2
-∞ C.(,1]-∞ D.(,2]-∞
【答案】：B
【解析】：设)(x f 的最大值为)(b M ，令b ax x
x u --=
2
)(，当[]2,1∈x 时，函数)(x u 单调递减，b a x u b a --≤≤--∴2)(21，0>a ，b a b a --<--∴221
由0221=--+--∴b a b a ，解得2
33a
b -= 由10≤<a ，233a b -≥
时，12)(-+=b a b M ；233a b -<时，b a b M --=2)(；2
33a
b -=时⎥⎦
⎤ ⎝⎛∈+=
1,2121)(min a b M 由21≤≤a ，b b a b M +≥-+=112)(，112)(min >-+=b a b M
由a ≤2时，02<--b a ，a b a b M +≥-+=112)(，31)(min ≥+=a b M 综上可得：21)(min >b M ，2
1
≤∴m
非选择题
二、填空题（本题有四小题，每空3分，共15分） 19. 已知函数()2sin()32
f x x π
=++，x R ∈，则()f x 的最小正周期是，而最小值为_____.
【答案】：π2，1
【解析】：()f x 的最小正周期ππ212==
T ；当1)2
sin(-=+π
x 时，)(x f 取最小值1 20. 设函数()2()x
f x a a R =+∈.若函数()f x 的图象过点(3,18)，则a 的值为_______. 【答案】：10
【解析】：(3,18)代入)(x f 可得a +=3218，所以10=a
21. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>.若存在圆心在双曲线的一条渐近线上的圆，与另一条渐近线及x 轴均
相切，则双曲线的离心率为. 【答案】：2
【解析】：如图，双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线方程分别为x a b y -=和x a b y =
设圆心),
(00x a b x C ，由题意可知，C 到x 轴的距离等于C 到直线x a
b
y -=的距离，
则c
bx b a x a b
a bx x a
b
02
20
002=
+⋅+=，即
c b a b 2=，2==∴a
c
e
22. 将棱长为1的正方体ABCD EFGH -任意平移至11111111A B C D E FG H -，连接GH 1，CB 1.设M ，N 分别为GH 1，CB 1的中点，则MN 的长为. 【答案】：
2
6
【解析】：由题意，不妨设平面ABFE 与平面1111H G C D 重合，则N 与B 重合，M
是GE 中点，2
6
211=+
=∴MN 三、解答题（本大题共3小题，共31分）
23.（本题10分）如图，将数列{}*
2()n n N ∈依次从左到
右，从上到下排成三角形数阵，其中第n 行有n 个数.
（Ⅰ）求第5行的第2个数； （Ⅱ）问数32在第几行第几个；
（Ⅲ）记第i 行的第j 个数为,i j a （如3,2a 表示第3行第2个数，即3,210a =），
求
1,12,23,34,45,56,6
111111
a a a a a a +++++
的值. （Ⅰ）记n a n =2，由数阵可知，第5行的第2个数为a 12，
因为n a n =2，所以第5行的第2个数为24.
（Ⅱ）因为n a =32，所以n =16.由数阵可知，32在第6行第1个数. （
Ⅲ
）
由
数
阵
可
知
,,,,,,,,,,,a a a a a a ======1122334455662612203042
.所以，
,,,,,,...()()...()a a a a a a +++++=+++=-+-++-=-=⨯⨯⨯1122334455661111111111111116111223672236777
24. (本题10分)已知椭圆2
214
x y +=，P 是椭圆的上顶点.过P 作斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B .
（Ⅰ）求△PAB 面积的最大值；
（Ⅱ）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内 部，求斜率k 的取值范围.
解：（Ⅰ）由题意得椭圆的上顶点(),P 01，设点A 为(),x y 00.因为B 是A 关于原点O 的对称点，所以点B
为(),x y --00.
设PAB ∆的面积为S ，则PAO PB PAO S S S S PO x x ∆∆∆=+==⨯=0001
222
. 因为x -≤≤022，所以当x =±02时，S 有最大值2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()(),,,(,P B x y x --≠000010且)y ≠-01.
所以，直线PB 的斜率为
y x +001，线段PB 的中点为,x y -⎛⎫
- ⎪⎝⎭
00122， 于是PB 的中垂线方程为y x x y x y -⎛⎫
-
=-+ ⎪+⎝⎭
00001212. 令x =0，得N 的纵坐标()
N x y y y --=+22
000121.
又直线l 的方程为y kx =+1，将方程代入x y +=2
214并化简得()k x kx ++=221480. 由题意，,,k k x y k k -=-
=++2
0022
8141414 所以，()()()N k k k k k y k k k
----++==--+++222222222814112141414142114.
因为点N 在椭圆内部，所以k k -<-
<+2
2
121114.
解得k <<. 又由已知k ≠0，所以斜率k
的取值范围是()(,)2
00. 25.（本题11分）已知函数11
()f x x a x b
=-
--（,a b 为实常数且a b <）. （Ⅰ）当1a =，3b =时，
（i ）设()(2)g x f x =+，判断函数()y g x =的奇偶性，并说明理由； （ii ）求证：函数()f x 在[2,3)上是增函数.
（Ⅱ）设集合{}
(,)()M x y y f x ==，2(,)(),2a b N x y y x R λλ⎧+⎫==-∈⎨⎬⎩⎭
.若M N φ=，
求λ的取值范围.
解：（Ⅰ）因为,a b ==13，所以()f x x x =
-
--11
13. （ⅰ）所以()()g x f x x x =+=-
+-11
211
. 因为()()g x g x x x x x -=-=-=-+--+-1111
1111
,
又因为()g x 的定义域为{|,x x ≠-1且}x ≠1，所以()y g x =是偶函数. （ⅱ）设,[,)x x ∈1223且x x <12，
()()()()(
)()()()()()
x x x x f x f x x x x x x x x x -+--=---=--------12121212121122241111
13131313因为
,[,)x x ∈1223且x x <12，所以,,()()()()x x x x x x x x -<+->---->1212112204013130
综上得()(),f x f x -<120即()()f x f x <12. 所以，函数()f x 在[,)23上是增函数. （Ⅱ）因为M
N =∅，所以函数()y f x =与()a b y x λ+=-
2
2
的图像无公共点， 即方程
()a b x x a x b λ+-=---2
112
无实数解，也即方程 ()()()(,a b a b x a x b x x a λ+-=---≠2
2
且)x b ≠（﹡）无实数解.
①当λ=0时（﹡）无解，显然符合题意.
②当λ≠0时，令()()()a b y x a x b x +=---2
2
，
变形得()[()]()a b a b a b y x x +-+=---222
242
. 又令(),a b t x +=-2
2得()()()[][]a b a b a b y t t t ---=-=--22424864. 于是当()a b t -=28
，即)a b a b x +-=±24时，有min ()a b y -=-464
. 所以，要使（﹡）无实数解，只要
(),a b
a b λ
--<-464，解得()b a λ<<-3
64
0.
综上可得()
b a λ≤<
-3
64
0.
变形得()[()]()a b a b a b y x x +-+=---222
242
. 又令(),a b t x +=-2
2得()()()[][]a b a b a b y t t t ---=-=--22424864.
于是当()a b t -=28，即a b x +=±2min ()a b y -=-464
. 所以，要使（﹡）无实数解，只要
(),a b
a b λ
--<-464，解得()b a λ<<-3
64
0.
综上可得()
b a λ≤<
-3
64
0.。