数值分析(李庆杨第四版)Cht4 数值积分和数值微分

1in
设f (xk )有误差k , 即f (xk ) ~fk k (k 0,1,,n), 则有
| In ( f ) In ( ~f ) |
n
wk
[
f
(
xk
)
~fk
].
定义3
若
0,
k 0
0,只要
f (xk )
~fk
(k
0,,n), 就有
| In ( f ) In ( ~f ) |
n
其中系数l (l 1,2,)与h无关.
T
( h) 2
I
1
h2 4
2
h4 16
l
h 2l
2
.
T1(h)
4T (h) T (h)
2
3
I
1h4 2h6 .
T1( h2)
I
1
h4 16
2
h6 64
.
T2 (h)
16T1(
h) 2
T1(h)
15
I
1h6
2h8
.
( 4.7) ( 4.8) ( 4.9)
1 8
2
1 3
0.000434 .
RS
I
S4
1 2880
1 4
4
1 5
0.27110-6.
作业 P159, 6.
§4 龙贝格求积算法
一、梯形公式的递推化(变步长求积法)
把区间[a,b]作n等分得n个小区间[xi , xi1],
h ba,则 n
复合梯形公式
Tn
n1h [
i02
f
(xi )
具有相应的收敛性和稳 定性.
复合柯特斯求积公式
Cn
h [7 90
f
(a)
n1
32 f
i0
(
xi
1 4
)
n1
12 f
i0
(
xi
1 2
)
n1
n1
n1
32
i0
f
(
xi
3 4
)
12
i0
f
(
xi
1 2
)
14
i1
f
( xi
)
7
f
(b)].
余项.
例1
根据数据表利用复合求积公式求I
01
sin x
x
dx 的值.
f
(xi1)]
h[ 2
f
n1
(a) 2 f
i0
(xi )
f
(b)].
把区间[a,
b]作2n等分,
记[
xi
,
xi1]的中点xi
1 2
xi
xi1，则 2
复合梯形公式
T2n
n11
i02
h 2
[
f
(xi )
2
f
(
xi
1 2
)
f
( xi 1 )]
1 2
n1
i0
h 2
[
f
(xi )
f
(xi1)]
f
(xi1)]
h[ 2
f
n1
(a) 2 f
i0
(xi )
f
(b)].
复化梯形公式Tn的余项
R
I
T
n
n1
[
1
i0 12
h3
f
(i
)],
i
[ xi
,
xi1],
若f (x)在[a,b]上连续，则
R n h3 f () b a h2 f (), [a,b].
12
12
此时复化梯形公式为 O(h2)阶，是收敛的. 其实, f C[a,b]
Tn
1 [b 2
n
a
n1
i0
f
(xi )
b
n
a
n
i1
f
(xi )]
I,
n
.
复化梯形公式的系数为 正，它又是稳定的 .
二、复化辛普森公式
记[
xi
,
xi1]的中点为xi
1，在每个小区间上应用辛普森公式,
2
则得复化辛普森公式
I
ab
f
( x)dx
n1h [
i06
f
(xi ) 4
f
(
xi
1 2
)
f
( xi 1)],
wk [
f
( xk
)
~f (xk
)]
,
k 0
则称求积公式(1.3)是稳定的.
定理2 若求积公式(1.3)中系数wk （0 0,1,,n),则求积公式
是稳定的.
这是因为, 当 f (xk ) ~fk (k 0,,n)时,有
| Rn |
n
wk
f (xk )
~f (xk )
n
wk
(b a) .
三、理查森外推加速方法
I Tn 若记T
T (h)
b a h2 f (), h b a .
(h) I
b1T22an，h2则f T(2n),且Tl(imh2),Tn并(h且)
T
(0)
I.
12
n
定理4 若f (x) C[a,b],则
T (h) I 1h2 2h4 lh2l ,
R1[
f
]
I
T
(b a)3 12
f
( ),
[a,b].
(2.5)
2. 辛普森公式 的余项
若f (4) (x)在[a,b]上连续, 则辛普森公式的余项为
R2[
f
]
I
S
ab
f
( x)dx
b a[ 6
f
(a) 4
f
(a
b) 2
f
(b)]
ba 180
b
2
a 4
f
(4) (),
[a,b].
二、 Newton-Cotes公式的代数精度
由定理1知,n阶N C公式至少n次代数精度.
考察辛普森公式
S b a[ f (a) 4 f (a b) f (b)].
6
2
定理3 若n为偶数,则n阶N C公式至少有n 1次代数精度.
三、几种低阶Newton-Cotes求积公式的余项
1. 梯形公式的余项 若f (x)在[a,b]上连续,则梯形公式的余项为
(2.7)
3. 柯特斯公式的余项
若f (6) (x)在[a,b]上连续, 则柯特斯公式的余项为
R4[
f
]
I
C
2(b a) 945
b
4
a
6
f
(6) (),
[a,b].
(2.8)
作业 P158, 1(2), 2(1), 4.
§3 复化求积公式
问题的提出和解决办法 . 一、复化梯形公式
把区间[a,b]n等分为n个小区间[xi , xi1],其中
a
2 a).
.
(1.1) (1.2)
一般地, 求积公式
ab
f
( x)dx
n
wk
fk ,
(1.3)
k 0
通常称为机械求积公式.
二、代数精度的概念
定义1 若一个求积公式对于所有次数不超过m的多项式
都准确成立,而对于某一个m 1次的多项式等式不准确成 立, 则称该求积公式具有m次代数精度. 一般方法？. 练习 设有求积公式
xi
0 1/8
1/4
3/8 1/2
5/8
f (xi) 1 0.9973978 … … … … … … …
3/4 7/8
1
… … 0.8414709
T8
1[ 8
f (0) 2
f (1) 8
f
(1) 4
f (3) 8
f (1) 2
f (5) 8
f (3) 4
f
(7) 8
f (1)] 2
0.9456909.
h
n1
f
2 i0
(
xi
1 2
)
1 2
Tn
h 2
n1
i0
f
(
xi
1 2
).
例2
利用变步长的梯形法求I
01
sin x
x
dx 的近似值.
T1
1[ 2
f
(0)
f
(1)]
0.9207355 .
T2
1 2
T1
1 2
f
(1) 2
0.9397933 .
T4
1 2
T2
1[ 4
f
(1) 4
f
(3)] 4
0.9445135 .
ab
f
( x)dx
S
b
6
a[
f
(a)
4
f
(a
b) 2
f
(b)]，
(2.3)
当n 4时,得到柯特斯(cotes)公式
C
b a[7 90
f
(x0 )
32
f
( x1 )
12
f
( x2
)
32
f
( x3 )
7
f
( x4
)],
其中xk
a
kh, h
b
4
a.
( 2.4)
柯特斯系数表. n 8时C(kn)出现负值, N C公式不稳定.
x
j
)dx.
(1.7)
定理1
求积公式
ab
f
( x)dx
n
wk
fk至少具有n次代数精度
k 0
它是插值型求积公式.
四、求积公式的收敛性和稳定性
定义2 在求积公式(1.3)中, 若
lim
n
n
wk
k 0
f
( xk
)
ab
f
( x)dx,
h0
其中h max(xi xi1),则称求积公式(1.3)是收敛的.
T8
1 2
T4
1[ 8
f
(1) 8
f
(3) 8
f
(5) 8
f
(7)] 8
0.956909.
二、龙贝格公式
I
Tn
ba 12
h2
f
(1),
I
T2n
ba 12
h 2
2
f
(2 ).
假定f (1) f (2)，则
I Tn 4, I T2n
或
I T2n 13（T2n Tn）.
事后误差估计
一般地,记T0(h) T (h),则
Tm
( h)
4m
Tm1(h2) Tm-1(h) 4m 1
,
（4.10）
Tm (h) I 1h2(m1) 2h2(m2) .
(4.11)
上述处理方法称为理查森(Richardson)外推加速方法.
T1
ba[ 2
f
(a)
f
(b)].
(2)
令
h
ba 2i
(i
0,1,2,)，计算
T2n
21 Tn
h n1 f 2 i0
(
xi
1 2
).
(3) 求加速值
Sn T2n （T2n Tn）/ 3,
Cn S2n （S2n Sn）/15,
Rn C2n （C2n Cn）/ 63.
(4) 满足精度要求；否则，转(2).
11 f (x)dx w0 f (1) w1 f (0) w2 f (1)
试确定系数w0, w1, w2, 使上述求积公式的代数精度尽量高.
三、插值型求积公式
在n 1个互异节点a x0 x1 xn b上已知函数值f0,
f1,, fn，就有拉格朗日插值多项式
得到
n
Ln (x) lk (x) fk
k 0
ab f (x)dx abLn(x)dx
n
ablk (x)dx
fk ,
k 0
即得求积公式
ab
f
( x)dx
n
wk
fk ,
其中wk ablk (x)dx.
k 0
称为插值型求积公式 .
(1.5)
它的余项为
R[
f
]
ab
f
(x)
Ln
( x)dx
ab
f (n1) ( )
(n 1)!
n
(x
j0
即
Sn
h[ 6
f
n1
(a) 4 f
i0
(
xi
1 2
)
n1
2 f
i1
(xi )
f
(b)].
余项
R
I
S n
h 180
h 2
4
n1
i0
f
(4) (i ),
i
(xi ,
xi1),
当f C4[a,b]时,
R
I
S
n
ba 1 80
h 2
4
f
(4)
( )
ba 2880
h4
f
(4)
( ),
(a,b).
作变换x a th，则有
C(kn)
b
h
a
0n
n
t
j0k
j dt j
(1)nk nk!(n k
)!
0n
n
(t
j0
j)dt.
jk
jk
(2.2)
当n 1时, 得到梯形公式
ab
f
( x)dx
T
b a[ 2
f
(a)
f
(b)],
当n 2时, 得到抛物线公式, 也称为辛普森(Simpson)公式
6
2
即
S1
4 3
T2
13T1.
一般地 同理，
Sn
4 3
T2n
13Tn
.
42(I S2n) I Sn
I S2n 115（S2n Sn）. 15I 15S2n S2n Sn
复化柯特斯公式
Cn
16 15
S2n
1 15
Sn.
龙贝格求积公式
Rn
64 63
C2n
1 63
Cn
.
计算步骤
(1) 初值
7
f
(1)
0.9460829
f
(x)
sin x
x
01cos(xt)dt,
f
(k
) ( x)
01
dk dxk
(cosxt)dt
01t
k cos(xt
k
2
)dt,
max
0 x1
f
(k ) ( x)
01t k
cos(xt
k
2
) dt
k1. 1RTIT81 h2 max 12 0x1
f
( )
1 12
I T2n 13（T2n Tn）.
T~
T2n
13（T2n
Tn）
4 3
T2n
13Tn
.
如,当n 1时，