2020中考数学解直角三角形专题复习(含解析)

解直角三角形一.选择题
1. （2019?江苏苏州？3分）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18、，13 m的地面上，若测角仪的高度为1.5 m ,测得教学楼的顶部A处的仰角为30°,
则教学楼的高度是（）
A. 55.5 m B . 54 m
A C. 19.5 m D . 18 m
D1，30。

C B
【分析】考察30°角的三角函数值，中等偏易题目
【解答】过D作DE AB交AB于E ,
DE BC 18.3
在RtVADE 中，tan30 AE 18 3 — 18m 3
AB 18 1.5 19.5m
故选C AE DE
D| 30
C
2. （2019?浙江嘉兴？3分）如图，已知。

O上三点A, B, C,半径OC = 1, /ABC = 30 ,切线PA交OC
【分析】连接OA,根据圆周角定理求出/ AOP,根据切线的性质求出/ OAP = 90° ,解直角三角形求出
AP 即可.
【解答】解：连接OA,
. zABC=30° , . zAOC=2ZABC=60° ,
••・过点A 作。

O 的切线交OC 的延长线于点P,
. .zOAP = 90° , OA=OC=1,
. AP= OAtan 60 °Tx 百匹，
故选：B.
【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点， 能熟记切线的性质是解此题的
关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径.
3. （2019?浙江名g 兴？4分）如图1,长、宽均为3,高为8的长方体容器,
水，水面高为6,绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图
【分析】设DE=x,则AD = 8-x,由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出
理求出
CD,过点C 作CF, BG 于F,由△CDEs/BCF 的比例线段求得结果即可.
解得：x= 4,
(8 x +8 ) X3X3 =3 X3 X6 放置在水平桌面上，里面盛有
2是此时的示意图，则图
DE,再由勾股定
【解答】解：过点 C 作CF± BG 于F,如图所示:
根据题意
得:
. DE= 4,
,.士=90 ° ,
由勾股定理得： CD =J DE '+CE 纣二5 . zBCE= /DCF=90° ,
. zDCE=/BCF, .zDEC=ZBFC= 90。

， WDEs ZBCF,
CE CD CF CB
故选：A.
【点评】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长 方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键.
4 (2019 ?江苏泰州？ 10分)某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区 AC 的坡度i 为1 : 2,顶端C 离 水平地
面AB 的高度为10 m,从顶棚的D 处看E 处的仰角a= 18°30',竖直的立杆上C.D 两点间的距 离为4m, E 处到观众区底端 A 处的水平距离 AF 为3m.求：
(1)观众区的水平宽度 AB ；
(2)顶棚的E 处离地面的高度 EF. (sin 18°30‘ 0.32 , (2)作CM ，EF 于M, DNLEF 于N,根据正切的定义求出 EN,结合图形计算即可.
【解答】解：(1);.观众区AC 的坡度i 为1： 2,顶端C 离水平地面 AB 的高度为10m,
. AB = 2BC=20 (m),
答：观众区的水平宽度 AB 为20 m ；
(2)作 CMLEF 于 M , DNLEF 于 N,
则四边形MFB C.MCDN 为矩形,
..MF = BC=10, MN =CD=4, DN=MC = BF=23,
贝U EN= DN ?tan /EDN =7.59 ,
EF= EN +MN + MF =7.59+4+10 -21.6 (m), 答：顶棚的E 处离地面的高度 EF 约为21.6m.
tanl 8°30' 0.33,结果精确到 0.1m)
【分析】(1)根据坡度的概念计算;
在 RtAEND 中，tan/EDN
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度 的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
5. （2019?湖南长沙？3分）如图，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile 的小岛A
出发，沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A
D. (30+30 nmile
【分析】过点C 作CDXAB,则在RtMCD 中易得AD AB 的长.
【解答】解：过C 作CDLAB 于D 点,
. zACD = 30° , zBCD= 45 ° ,AC=60.
L/Q
. CD=AC ?cos/ACD= 60
2
在 RtMCB 中，. ZBCD = ZB=45° ,
..CD=BD=30 百，
. AB = AD +BD = 30+30 Vj.
答：此时轮船所在的 B 处与灯塔P 的距离是（30+30寸5）nmile .
故选：D.
B. 60nmile
的长，再在直角^ BCD 中求出BD,相加可得
= 30^3.
C. 120 nmile 在 RtMCD 中，cos ZACD
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题， 求三角形的边或高的问题一般可以转化为 解直角三
角形的问题，解决的方法就是作高线.
（2019?湖南长沙？ 3分）如图，4ABC 中，AB = AC=10, tanA=2, BE ，AC 于点E, D 是线段BE 上
A. 2/5
B. 4诉
C. 5-/3
D. 10
【分析】如图，作 DH XAB 于H , CM ±AB 于M .由tanA =常=2,设AE=a, BE= 2a,利用勾股 定理构建方程求出 a,再证明DH=[^BD,推出CD +答BD=CD +DH ,由垂线段最短即可解决问 题. 【解答】解：如图，作 DHLAB 于H, CM ，AB 于M.
..WBE = 90
则有：100 = a 2
+4 a 2
,
.•.a 2
= 20 ,
. .a=2 J 后或2（舍弃）， - BE= 2a = 4M &,
6.
-.tanA = BE AE
=2 设 AE=a, BE= 2a,
的一个动点，则 CD +乜$BD 的最小值是（
）
BEX AC,
AB = AC, BE ，AC, CM ，AC,
CM = BE= 4/5 （等腰三角形两腰上的高相等）） . zDBH = /ABE, /BHD =/BEA, . sinZDBH =坦=例_=匹，
ED AB 5
.•.DH = _yiBD, ：CD+^_BD = CD+DH, . CD + DH >CM , ：CD +左 BD>4听，
：CD+答BD 的最小值为4-75.
故选：B.
【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用 辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.
10.
二.填空题
1. （2019?浙江金华？4分）图
2.图3是某公共汽车双开门的俯视示意图， ME, EF, FN 是门轴的滑动轨
道，/E = /F =90 ° ,两门AB, CD 的门轴A, B, C, D 都在滑动轨道上.两门关闭时（图
2）, A, D 分别
在E, F 处，门缝忽略不计（即 B, C 重合）；两门同时开启，A, D 分别沿E-M, F-N 的方向匀速滑动， 带动B, C 滑动；B 到达E 时，C 恰好到达F,此时两门完全开启。

已知 AB =50cm, CD =40 cm .
(1)如图 3,当/ABE =30 ° 时，BC =cm .
（2）在（1）的基础上，当 A 向M 方向继续滑动15cm 时，四边形ABCD 的面积为 _______________ cm 2
【答案】 （1 ） 90-45亚
(2) 2256
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：(1) ..AB =50cm, CD =40 cm , EF =AD = AB + CD =50+40=90 (cm),
. &BE=30
同理可得：CF =20 (2 )作AGXFN,连结AD,如图,
. cos
30
BE 。

BE
=.IB
BC =EFBE -CF =90-25 -20
=90-45
枢(cm);
Mt
y
圈工
旭3
依题可得：AE =25+15=40 （cm ）,
,. AB=50 ,
. BE =30 ,
DF =32 , CF =24 ,
S 四边形 ABCD = S 矩形 AEFG- S 4AEB — S/CFD — S/ADG ,
=3600-600-384-360 =2256.
故答案为：90-45 6, 2256.
【分析】（1）根据题意求得 EF =AD =90cm,根据锐角三角函数余弦定义求得 BE =25 收， 同理可得：CF =20 6，由BC =EF -BECF 即可求得答案.（2）作AG ，FN ,连结AD ,根据题意可得
AE =25+15=40 cm,由勾股定理得 BE =30 ,由锐角三角函数正弦、余弦定义可求得 DF =32 , CF =24 ,由
S 四边形ABCD = S 矩形AEFG - S ZAEB - S ZCFD -S/ADG ,代入数据即可求得答案.
2. （2019?浙江宁波？ 4分）如图，某海防哨所 O 发现在它的西北方向，距离哨所
400米的A 处有一艘船
向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东
60 °方向的B 处，则此时这艘船与哨所的距离 OB 约
为456 米.（精确到1米，参考数据： 血F.414，心F.732 ）
/匕
【分析】通过解直角△ OAC 求得OC 的长度，然后通过解直角^ OBC 求得OB 的长度即可. 【解答】解：如图，设线段 AB 交y 轴于C, 在直角4OAC 中，/ACO = /CAO = 45° ,则AC=O C.
•. OA = 400 米,
：OC = OA ?COS 45I00><=200 2
;在直角AOBC 中，/COB”
0C | W2
O
B =，
cos60Q =
上
故答案是：456 .
』 C
B
又「CD =40 ,
• .sin
=40 X90-
X30 X40- 3x 24 X32-
1x 8X 90,
,OC=200 6米, 400^2-456 （米）
3 CF
cos/ABE
= 5 =
cn
【点评】考查了解直角三角形的应用-方向角的问题. 此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题, 将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想.
3.（2019?广东?4分）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=15，3米，在实验楼的顶部B
点测得教学楼顶部A点的仰角是30 °底部C点的俯角是45 0则教学楼AC的高度是
米（结果保留根号）。

*14仃聿—0
【答案】15+15 3
【解析】AC= CD tan 30 + CD tan 45 =15+15 33 .
【考点】解直角三角形，特殊三角函数值
4.（2019?贵州毕节？5分）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线
上，点B 在ED 上，AB //CF, /F=/ACB=90° , E=45 ° , A = 60° ,AC = 10,则CD 的长度是15
5 >/3_.
【分析】过点B作BM ±FD于点M ,根据题意可求出BC的长度，然后在△ EFD中可求出/ EDF=45 进而可得出答案.
【解答】解：过点B作BM XFD于点M ,
在AACB 中，/ACB=90 ° , A=60° ,AC=10, • . zABC=30° , BC= 10X tan 60。

M0 4加
AB//CF,
CM=BCXcos30° M5 , 在AEFD 中，/F = 90° , zE=45 ..zEDF=45° ,
..MD = BM =5 \f3, . CD=CM MD = 15 5 日.
故答案是：15-56.
【点评】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立 三角形利用所学的三角函数的关系进行解答.
5. （2019 ,山东枣庄，4分）如图，小明为了测量校园里旗杆 AB 的高度，将测角仪 CD 竖直放在距旗杆
底部B 点6m 的位置，在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53° ,若测角仪的高度是1.5m,则旗杆AB 的 高度约为
9.5 m .（精确到 0.1m.参考数据：sin 53° @80, cos 53° 660 , tan 53 ° 4.33）
【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可. 【解答】解：过 D 作DE ，AB,
・•・在D 处测得旗杆顶端 A 的仰角为53° ,
zADE=53° , BC= DE= 6m,
•.AE= DE ?tan 53 ° GX1.33V.98m,
. AB = AE + BE= AE + CD = 7.98+1.5 = 9.48 m -9.5 m ,
. BM = =5 ：-；
BC
xsin 30
故答案为：9.5
【点评】此题考查了考查仰角的定义， 要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形.
思想与数形结合思想的应用. 6. （2019?湖北黄石？ 3分）如图，一轮船在M 处观测灯塔P 位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15 海里
/小时的速度匀速航行 2小时后到达N 处，再观测灯塔P 位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南 航行至灯塔P 最近的位置T 处，此时轮船与灯塔之间的距离 PT 为156_海里（结果保留根号）.
中北
P T
【分析】根据“若该轮船继续向南航行至灯塔 P 最近的位置T 处，此时轮船与灯塔之间的距离为 PT”, 得PT ，MN ,利用锐角三角函数关系进行求解即可
【解答】解：由题意得， MN=15X2 = 30海里，
. zPMN =30° , PNT = 60° ,
. JMPN =/PMN =30° ,
PN = MN =30 海里，
. PT= PN ?sin /PNT= 15\.<SWM.
故答案为：15-73.
【点评】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是求得
PN 的
长度，属于中考常考题. 7. （ 2019 ?湖北天门？ 3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OA i B i C i, A 1A 2B 2C 2, A 2A 3B 3c 3,…都
是菱形，点A 1, A 2, A 3
,…者踩£ x 轴上，点C 1, C 2, C 3,…都在直线y = - 3 x +［之上,且/C 〔OA 1 3
3 =/C 2A 1A 2=/C3A 2A 3 =…=60 ° , OA 1 = 1 ,则点 C 6 的坐标是 （97, 32' .
【分析】根据菱形的边长求得 A 1.A 2.A 3…的坐标然后分别表示出 C 1.C 2.C 3…的坐标找出规律进而求得 C 6 的坐标.
【解答】解：: OA 1=1 ,
. OC 1 = 1 ,
注意方程
* 胤 2
..Z C I OA I = /C2A I A 2 = /C3A 2A 3= =60 ° ,
：C i 的纵坐标为：sin 60° OC i=d "，横坐标为 cos 60 ° 0C i=—,
2 2
丁 四边形 OA i B i C i, A 1A 2B 2c 2, A 2A 3B 3c 3,…都是菱形,
化规律求出菱形的边长，得出系列 c 点的坐标，找出规律是解题的关键.
8. (2019?湖北孝感？ 3分)如图，在P 处利用测角仪测得某建筑物 AB 的顶端B 点的仰角为60 ° ,点C 的 仰角为45° ,点P 到建筑物的距离为 PD=20米，则BC= (2020) 米.
贝U BD = PD ?tan ZBPD = 205/3,
在 RtzTBD 中，/CPD= 45 ° ,
..CD=PD = 20,
. BC= BD CD= 20"” 20 ,
故答案为：(206-20).
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的 定义是解题的关键.
• .A i C 2 = 2,A 2C 3= 4,A 3C 4= 8,…，
：C 2的纵坐标为：sin 60° A I C2=|V3,代入
C2 (, 2,心)， C 3的纵坐标为：sin 60 ° A 2c 3= 4乃，代入
C3 (11 , 4^/1),
C 4 (23 , 8北),
C5 (47, 16v1),
C6 (97 , 32-73)；
故答案为(97, 32 VI). 【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，根据已知点的变 y=M3x+叱1求得横坐标为2, 3 3
y= :返x +区求得横坐标为11 ,
【分析】根据正切的定义求出 BD,根据等腰直角三角形的性质求出
CD,结合图形计算，得到答案. 【解答】解：在 RtAPBD 中，tan/BPD BD
丽’
三.解答题
1. (2019?浙江金华？8分)如图，在 O OABC ,以O 为图心，OA 为半径的圆与 C 相切于点B,与OC
相交于点D.
(1)求瓦^的度数。

(2)如图，点E 在OO ±,连结CE 与。

O 交于点Fo 若EF=AB,求/OCE 的度数.
【答案】 (1)如图，连结 OB,设。

O 半径为r,
•.BC 与。

相切于点B, OBXBC,
又•.•四边形OABC 为平行四边形，
. OA//BC, AB = OC,
. &OB=90 ° , 又 OA =OB =r,
AB = r,
. zAOB, AOBC 均为等腰直角三角形, . ZBOC =45 ° , ;弧CD 度数为45。

.
(2)作 OH ±EF,连结 OE, 由(1)知 EF = AB = Ji r , ：/OEF 为等腰直角三角形，
1 J2
OH = " EF
= ，. r
2 2
JDCE =30在 RtzlOHC 中, :sin/OCE = QH =
OC
【考点】切线的性质，解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）连结OB,设。

半径为r,根据切线性质得OBLBC,由平行四边形性质得OA//BC, AB=OC,根据平行线性质得/ AOB=90 ° ,由勾股定理得AB=「r,从而可得AAOB,个BC均为等腰直角三角形，由等腰直角三角形性质得/ BOC=45 ° ,即弧CD度数.（2）作OHLEF,连结OE,由（1）知
EF=AB= 祖r,从而可得^OEF为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质得OH= EF EF =
在RtZOHC中，根据正弦函数定义得sin/OCE= J ,从而可得/ OCE=30 °.
2. （2019?浙江名g兴？8分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm,长度均为20cm 的连杆
BC, CD与AB始终在同一平面上.
（1）转动连杆BC, CD,使/BCD成平角，ZABC= 150 ° ,如图2 ,求连杆端点D离桌面l的高度DE.
（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使/ BCD=165 ° ,如图3,问此时连杆端点D离桌
面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm,参考数据：V2^1.41，V3^1.73）
【分析】（1）如图2中，作BOLDE于O.解直角三角形求出OD即可解决问题.
（2）作DF^l于F, CP，DF于P, BGLDF于G, CHLBG于H .则四边形PCHG是矩形，求出DF, 再求出DF - DE即可解决问题.
【解答】解：（1）如图2中，作BOLDE于O.
zOEA=/BOE=/BAE= 90 ° ,
:四边形ABOE是矩形，
. zOBA = 90o ,
. zDBO = 150 七0 ° =60 ° ,
. OD = BD?sin60 ° =20\/-3 (cm),
. DF=OD+OE= OD +AB =20^+5 -39.6 (cm).
(2)作DF ，l 于F, CPLDF 于P, BG^DF 于G, CH^BG 于H .则四边形 PCHG 是矩形,
D
图3
zCBH = 60° , £HB = 90 ° ,
. .zBCH = 30° ,
. zBCD=165 ° ,
° DCP = 45 ° ,
.CH= BCsin60 ° M 0"\/3 （cm ）, DP=CDsin45。

M o V-2 （cm ）,
：DF=DP +PG +GF=DP +CH + AB= （ 10也+10 行+5 ） （cm ）,
:下降高度：DE DF = 20j^+5 10也 10退 5=10« 10|\用= 3.2 （cm ）.
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
3. （2019安徽）（10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图 1 ,明朝科学家徐光启在《农政 全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图 2,筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心 O 为圆心的圆.已知
连接 CO 并延长，与AB 交于点D, . .AD = BD=-^AB = 3 （米），
在 RtMOD 中，/OAB = 41.3° ,。

AD 3 3
• cos 41.3 =.、鼠, 即 OA = TZ [To =~~q 匚 =4 (米),
【解答】
解: CDXAB,
圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦 AB 长为6米，/OAB =41.3 ° ,若点C 为运行轨道的最高点（C, O 的连线垂直于 AB ）,求点C 到弦AB 所在直线的距离.
（参考数sin 41.3 ° @66 , cos 41.3 ° @75 , tan 41.3 °
0.88 )
【分析】连接CO 并延长，与AB 交于点D,由CD 与AB 垂直，利用垂彳5定理得到 D 为AB 的中点， 在直角三角形 AOD 中，利用锐角三角函数定义求出 OA,进而求出OD,由CO +OD 求出CD 的长即 可.
UA cos41.3 0. 75
tan 41.3 ° =2£l,即 OD = AD ?tan 41.3 ° =3X0.88 =2.64 （米）， AE
贝U CD=CO +OD = 4+2.64 =6.64 （米）.
（2019甘肃省陇南市）（8分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽 略不计），其中灯臂AC=40cm,灯罩CD=30cm,灯臂与底座构成的/ CAB=60° .CD 可以绕点C 上 下调节一定的角度.使用发现：当 CD 与水平线所成的角为30。

时，台灯光线最佳.现测得点 D 到桌面 的距离为49.6cm.请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据： 取1.73）.
—一图① 图②
【分析】如图，作 CE± AB 于E, DHLAB 于H, CF^DH 于F .解直角三角形求出/ DCF 即可判断.
【解答】解：如图，作 CE±AB 于E, DHLAB 于H, CF± DH 于F.
zCEH=/CFH = /FHE= 90 ° ,
:四边形CEHF 是矩形，
. CE= FH,
在 Rt^ACE 中，.AC = 40cm, /A=60 4.
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握各自的性质是解本题 的关键.
：CE= AC ?sin 60° 乌4.6 (cm),
：FH= CE= 34.6 (cm)
.DH = 49.6 cm,
：DF=DH FH= 49.6 34.6 = 15 (cm),
在 Rt^DF 中，sinZDCF=—, CD 30 2
. zDCF = 30o
,
;此时台灯光线为最佳.
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题, 属于中考常考题型. 5(2019甘肃省天水市)某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为 6米，坡面BC 的坡度为1: 1,文 化墙PM 在天桥底部正前方8米处(PB 的长)，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，
使新坡面的坡度为1: 5 (参考数据： 在=1.414，的"=1.732 )
(1)若新坡面坡角为a,求坡角a 度数；
(2)有关部门规定，文化墙距天桥底部小于
3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙 PM 是否需要拆
除？请说明理由. . a=30 ° ;
(2)该文化墙PM 不需要拆除，
理由：作CD LAB 于点D,则CD =6米,
;新坡面的坡度为1 :福,
解得，AD =6q 了米，
•••坡面BC 的坡度为1:1, CD =6米,
22.【答案】
解:
1: 1V L m )
1) ;新坡面坡角为a,新坡面的坡度为
BD=6 米,
AB=AD-BD= %〈于6）米，
又. P&8米，
. PA= PB-AB=8-（6好6） =14-6 4F4-6 X1.732 =3.6 米＞3 米,
:该文化墙PM不需要拆除.
【解析】
(1)根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题；
(2)根据题意和题目中的数据可以求得PA的长度，然后与3比较大小即可解答本题.
本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角文题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值和数形结合的思想解答.
6 (2019 ?广西池河？8分)如图，在河对岸有一棵大树A,在河岸B点测得A在北偏东60 °方向上，向东
前进120m到达C点，测得A在北偏东30°方向上，求河的宽度(精确到0.1 m).参考数据：卜正=1.414 , 71^
1.732 .
【分析】过点A作AD，直线BC,垂足为点D,在RtMBD和RtMCD中，通过解直角三角形可求出
BD, CD的长，结合BC= BD CD=120 ,即可求出AD的长.
【解答】解：过点A作ADL直线BC,垂足为点D,如图所示.
在RtAABD 中，tan/BAD =
..BD=AD?tan60° =/SAD ；
CD 在RtMCD 中，tan /CAD =上上，AD
Vs . .CD=AD?tan30° 上士AD.
3
273 . BC= BD CD = ^^AD = 120 ,
3
. AD= 103.9 .
【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，利用解直角三角形结合找出关于AD的长的一元一次方程是解题的关键.BC = BD CD=120 ,
:河的宽度为103.9米.
7 （2019 ?甘肃武威？ 8分）如图①是图②是其侧面示意图 （台灯底座高度忽略不计） 灯罩CD = 30cm,灯臂与底座构成的/ CAB = 60。

.CD 可以绕点C 上下调节一定的角度.使用发现：
当CD 与水平线所成的角为 30°时，台灯光线最佳.观测得点 D 到桌面的距离为49.6 cm .请通过计算 说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据： 1.73 ）.
【分析】如图，作 CE± AB 于E, DHLAB 于H, CFLDH 于F .解直角三角形求出/ DCF 即可判断.
【解答】解：如图，作 CE±AB 于E, DHLAB 于H, CF± DH 于F.
. zCEH=ZCFH = ZFHE= 90 ° ,
:四边形CEHF 是矩形，
. CE= FH,
在 RtMCE 中，. AC = 40cm , ZA=60° ,
-.CE= AC ?sin 60 =34.6 (cm),
. FH=CE= 34.6 (cm)
.DH = 49.6 cm,
.•.DF=DH FH= 49.6 34.6 = 15 (cm),
Pff 15 i
在 RtzWF 中，sin/DCF=?一=±J±, CD 30 2
. zDCF = 30o ,
;此时台灯光线为最佳.
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题, 属于中考常考题型.
8. （2019?甘肃?6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制.中小学楼梯宽
度的范围是 260 mm ~300 mm 含（300 mm ）,高度的范围是 120 mm ~ 150 mm （含150 mm ）,如图 是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下： AB, CD 分别垂直平分踏步 EF, GH,各踏步互相
平行，AB = CD, AC = 900mm , /ACD=65° ,试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定. （结 果精确到 1mm ,参考数据：sin 65 ° 色906 , cos 65 ° @423 ）
c
,其中灯臂AC=40cm, S3 图②
J
. 廿H
N I~
[BF
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM和DM的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题.
【解答】解：连接BD,作DM ±AB于点M ,
AB = CD, AB, CD分别垂直平分踏步EF, GH,
. AB //CD , AB=CD,
:四边形ABCD是平行四边形，
. zC=/ABD, AC=BD,
••• zC=65° , AC = 900 ,
zABD = 65 ° , BD = 900 ,
：BM= BD?COS65 ° =900 X0.423 =381 , DM = BD?sin65° =900 X0.906 ^815 , . 381 +3= 127 , 120 <127 < 150 ,
:该中学楼梯踏步的高度符合规定，. 815 +3=272 , 260 < 272 <300 ,
:该中学楼梯踏步的宽度符合规定，
由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定.
C
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答.
9.（2019 ?广东深圳？8分）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC, AD=600米，ADXBC,施工队站
在点D处看向B,测得仰角45° ,再由D走到E处测量，DE//AC, DE=500米，测得仰角为53 ° ,求隧道BC长.
（sin53°cos53 ° 金，tan53 ° 遮）.
5 5 3
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E D
【考点】直角三角形的边角关系的应用 .
【答案】
taM. ZUJDftWHn*- AB 4D «00. ft / W t A ih ，* WM />/ :*RV IDO
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10. （2019?南京?8分）如图，山顶有一塔 AB,塔高33m.计划在塔的正下方沿直线 CD 开通穿山隧道 EF.从与E
点相距80 m 的C 处测得A.B 的仰角分别为27。

、22 ° ,从与F 点相距50 m 的D 处测得A 的仰角为45° .求隧道EF 的长度.
【分析】延长 AB 交CD 于H,利用正切的定义用 CH 表示出AH 、BH,根据题意列式求出 CH,计算 即可. 【解答】解：延长 AB 交CD 于H, 贝U AHXCD,
在 RtMHD 中，/D=45 ° , . AH = DH , 在 RtMHC 中，tan/ACH =
. .AH=CH ?tan ZACH -0.51 CH, □rj 在 RtABHC 中，tan ZBCH=—,
LH
BH=CH ?tan ZBCH-0.4CH, 由题意得，0.51 CH 0.4 CH = 33, 解得，CH = 300, . EH=CH CE= 220, BH = 120,
1
（参考数据：tan 22 ° 0.40, tan 27 °
@51 .）
AH=AB+BH=153
DH = AH = 153 ,
. HF=DH DF= 103 ,
. EF= EH+ FH=323 ,
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的
定义是解题的关键.
11.（2019?湖南怀化？10分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得
对岸A处一棵柳树位于北偏东60。

方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处, 此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度.
【分析】如图，作AD，于BC于D.由题意得到BC= 1.5 X40 = 60米，/ABD=30° , ACD = 60° 根据三角形的外角的性质得到/ BAC=/ACD-/ABC = 30° ,求得zABC=/BAC,得到BC = AC=60 米.在Rt^ACD中，根据三角函数的定义即可得到结论.
【解答】解：如图，作AD，于BC于D.
由题意可知：BC= 1.5 X40 = 60 米，/ABD=30° , ACD = 60 ° ,
. zBAC=ZACD ZABC = 30° , zABC=/BAC,
. BC= AC =60 米.
在RtMCD 中，AD=AC?sin60° =60X-^-= 30X^3 （米）.
2
答：这条河的宽度为30d5米.
【点评】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后作出辅助线构造直角三角形解决问题.
12.（2019 ?湖南邵阳？8分）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示. 已知真空集热管DE
与支架CB所在直线相交于点O,且OB=OE；支架BC与水平线AD垂直.AC = 40cm, ZADE=30° DE=190cm,另一支架AB与水平线夹角/ BAD =65 ° ,求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：sin65° @91 , cos65° @42, tan 65 ° a14）
【分析】设OE=OB = 2x,根据含30度角的直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案.
【解答】解：设OE= OB=2x,
OD = DE+OE= 190+2 x,
. zADE=30° ,
- OC = --OD =95+ x,
2
. BC= OC OB = 95+ x 2x= 95 x,
. tan/BAD
=
解得：x=9, OB=2x=18 .
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型.
13.（2019?湖南岳阳？8分）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一.如图，
小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角/ ACG为45 ° ,小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角/ AEH为62.3°.（点D.B.F在同一水平线上，参考数据:sin
62.3 ° 0.89, COS62.3 ° -0.46 , tan 62.3 ° 4.9）
（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）
（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度A B.
【分析】（1）根据正切的定义用a表示出AH,根据等腰直角三角形的性质计算;
（2）根据题意列方程求出a,结合图形计算，得到答案.
【解答】解：（1）由题意得，四边形CDBG、HBFE为矩形，
. GB= CD=1.7, HB = EF= 1.5,
. GH=0.2 ,
在Rt^AHE 中，tan/AEH=>^l,
HE
贝U AH = HE?tan ZAEH-1.9a,
-AG = AH GH = 1.9a 0.2,
在Rt^ACG 中，/ACG = 45 ° ,
CG= AG= 1.9 a 0.2 ,
：BD= 1.9a 0.2 ,
答：小亮与塔底中心的距离BD (1.9a-0.2)米;
（2）由题意得，1.9 a—0.2+a= 52 ,
解得，a=18,
则AG= 1.9a 0.2 =34.4 ,
. AB = AG+GB=36.1 ,
答：慈氏塔的高度AB为36.1米.
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题问题, 函数
的定义是解题的关键.
14. （（2019 ,山西，9分）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该
旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间
的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）
课题测量旗林的高度
成员组长；XXX 组显；KXX> XKX T KKX
洲员工R割量角度的伏踹，皮尺等
测坑示意图
£ B J
说明；我理G”收示学校旗杆.测量角度的仪密的图度金「=8£>=1 5m,测点E与日在同一条水平直线上，出B 之间的即离可以宜接测得，R点G.出/, B, C.心都在同
竖直平面内，点u a占在n」J条直线上，点E在行〃上.
测量数据
测量珈u第一次第二次平均值上仪芭的度地2S6'25.8*25T
上仃。

百的度数J1 2*30W3l D 小白之间的即图 5.4m 5.6m
* * **
任务一：两次测量A, B之间的距离的平均值是m.
任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校学校旗杆GH的高度.
（参考数据：sin 25.7 ° 0.43 , COS25.7 ° 8.90 , tan 25.7 ° @48 , sin31 ° @52 , COS31 ° 0.86 , tan 31
掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角
~0.60 ）
任务三：该“综合与实践”小组在定制方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方 案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
^
【解析】解：任务一：由题意可得：四边形 ACDB,四边形ADEH 都是矩形
EH =AC =1.5 , CD =AB =5.5
任务二：设EC =x m
在 Rt2EG 中：/DEC =90 ° , GDE =31
在 RtXEG 中：/CEG =90 ° , zGCE =25.7 ;
••tan 25.7 = EG , CE = --- x ---
CE tan25.7
x x
. CD= CE- DE, • - ----- -------
tan25.7 tan31
. GH = CE + EH =13.2+1.5=14.7
答：旗杆GH 的高度为14.7 m
任务三：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等
15.（2019 ,四川成都，8分）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了 成都市的
国际影响力.如图，在一场马拉松比赛中， 某人在大楼A 处，测得起点拱门CD 的顶部C 的俯角为 35° ,底部D 的俯角为45° ,如果A 处离地面的高度 AB =20米，求起点拱门 CD 的高度.（结果精确到1 米；参考数据：sin 35 °
@57, cos 35° 682 , tan 35 ° @70）
【解析】本题主要考察直角三角形中三角函数的运用，利用方程思想建立等量关系 解：过A 作CD 垂线，垂足为E,如图所示.
CE =AEtan 35° , ED = AE tan 45 .CD = DE -CE.
设 AE 长度为 x,得 20= xtan 45 -xtan 35 ° 解得：x =6
答：起点拱门的高度约为 6米.
-=，DE DE
x tan31
5.5, . x 13.2
D B
16 （2019 ,四川巴中，8分）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相
垂直.某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC=414m, AB=300m,求出点D到AB的距离.
（参考数据sin65° €91 , cos65° @42, tan 65 ° 214）
【分析】过点D作DE，AB于E,过D作DF^BC于F,则四边形EBFD是矩形，设DE=x,根据BE = DF=CF,列方程可得结论.
【解答】解：如图，过点D作DELAB于E,过D作DFLBC于F,则四边形EBFD是矩形，
B
设DE=x,
在RtMDE 中，/AED=90 °
DE
. tanZDAE=—, AE
.AL I DE x
AE=.
tanZDAE 2.14
- BE= 300
又BF=DE=x, - CF= 414 x,
在Rtz^CDF 中，/DFC = 90 ° , zDCF=45° , DF=CF= 414 x,
又BE= CF,
即：300 ---- - =414 x,
2.14
解得：x= 214 ,
故：点D到AB的距离是214 m .
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确根据三角函数列方程是解题的关键.
17.（2019?湖南株洲？8分）小强的爸爸准备驾车外出.启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，
此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为a,且tan ,若直线AF与地面1I相交于点B,点A
到地面1I的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面1I平行.。