北京市昌平区名校2022年数学七上期末学业水平测试试题含解析

2022-2023学年七上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图，直线m 、n 相交于一点，12180∠+∠=︒，13180∠+∠=︒，则23∠∠=，理由是（ ）
A ．如果两个角的和等于90︒，那么这两个角互余
B ．同角（等角）的余角相等
C ．如果两个角的和等于180︒，那么这两个角互补
D ．同角（等角）的补角相等
2．二元一次方程组324.x y x y +=⎧⎨=⎩
，
的解是（ ）.
A ．3
x y =⎧⎨
=⎩
B ．1
2
x y =⎧⎨
=⎩
C ．5
2
x y =⎧⎨
=-⎩
D ．2
1
x y =⎧⎨
=⎩
3．如图，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°得到△AB ′C ′（点B 的对应点是点B ′，点C 的对应点是点C ′），连接BB ′，若AC ′∥BB ′，则∠C ′AB ′的度数为（ ）
A ．20°
B ．30°
C ．40°
D ．45°
4．在0，-2，5，-0.3，1
4
中，负数的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x 值为3，第一次得到的结果为4，第二次得到的结果为2，…第
2019次得到的结果为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．商家常将单价不同的A B 、两种糖混合成“什锦糖”出售,记“什锦糖”的单价为: A B 、两种糖的总价与A B 、两种糖的总质量的比。

现有A 种糖的单价40元/千克，B 种糖的单价30元/千克；将2千克A 种糖和3千克B 种糖混合,则“什锦糖”的单价为( ) A ．40元/千克
B ．34元/千克
C ．30元/千克
D ．45元/千克
7．延长线段AB 到C ，使1
4
BC AB =，若15AC =，点D 为线段AC 的中点，则线段BD 的长为（ ） A ．4.5
B ．3.5
C ．2.5
D ．1.5
8．校门口一文具店把一个足球按进价提高80%为标价，然后再按7折出售，这样每卖出一个足球可盈利6.5元，求一个足球的进价是多少元？设一个足球进价为x 元，根据题意所列方程正确的是（ ） A ．(180%)70% 6.5x x +-= B ．(180%)70% 6.5x x +•-= C ．80%70% 6.5x x •-=
D ．(180%)(170%) 6.5x x +--=
9．有理数a 、b 在数轴上的表示如图所示，则( )
A ．a-b>0
B ．a+ b<0
C ．ab>0
D ．a b <
10．二次三项式2x 2﹣3x ﹣1的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ） A ．2，﹣3，﹣1
B ．2，3，1
C ．2，3，﹣1
D ．2，﹣3，1
11．下列等式变形正确的是 ( ) A ．若a ＝b ，则a －3＝3－b B ．若x ＝y ，则x y a a
= C ．若a ＝b ，则ac ＝bc
D ．若
b d
a c
=，则b ＝d 12．在墙壁上固定．．一根横放的木条，则至少．．需要钉子的枚数是 ( ) A ．1枚
B ．2枚
C ．3枚
D ．任意枚
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．如图，这是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则
x
y 的值是_________．
14．某市2019年元旦的最低气温为－2℃，最高气温为7℃，则最高气温比最低气温高_____℃．
15．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，将数据4400000000用科学记数法表示为______．
16．一家商店某种裤子按成本价提高50%后标价，又以八折优惠卖出，结果每条裤子获利10元，则这条裤子的成本是_________．
17．A、B两地之间的公路长108千米，小光骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都沿这条公路匀速前进，其中两人的速度都小于27千米/时．若同时出发3小时相遇，则经过__________小时两人相距36千米．三、解答题（本大题共7小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．（5分）如图，数轴上有A，B两点，AB＝18，原点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．
(1)求出A，B两点所表示的数；
(2)若点C是线段AO上一点，且满足AC＝CO+CB，求C点所表示的数；
(3)若点E以3个单位长度/秒的速度从点A沿数轴向点B方向匀速运动，同时点F以1个单位长度/秒的速度从点B沿数轴向右匀速运动，并设运动时间为t秒，问t为多少时，E、F两点重合．并求出此时数轴上所表示的数．
19．（5分）解方程：
（1）3x﹣2（x﹣1）＝2﹣3（5﹣2x）．
（2）
331 36
x x
x
--
=-．
20．（8分）某公园出售的一次性使用门票，每张10元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个人年票”的售票活动（从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分A、B两类：
A类年票每张100元，持票者每次进入公园无需再购买门票；
B类年票每张50元，持票者进入公园时需再购买每次2元的门票．
(1)某游客中一年进入该公园共有n次，
如果不购买年票，则一年的费用为元；
如果购买A类年票，则一年的费用为元；
如果购买B类年票，则一年的费用为元；（用含n的代数式表示）
(2)假如某游客一年中进入该公园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明理由． (3)某游客一年中进入该公园n 次，他选择购买哪一类年票合算？请你帮助他决策，并说明你的理由． 21．（10分）某商场开展春节促销活动出售A 、B 两种商品，活动方案如下两种：
方案一
A B 每件标价
90元
100元
每件商品返利
按标价的30%
按标价的15%
例如买一件A 商品，只需付款90（1﹣30%）元
方案二 所购商品一律按标价的20%返利
（1）某单位购买A 商品30件，B 商品20件，选用何种方案划算？能便宜多少钱？
（2）某单位购买A 商品x 件（x 为正整数），购买B 商品的件数是A 商品件数的2倍少1件，若两方案的实际付款一样，求x 的值．
22．（10分）如图，已知∠AOB 是直角，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ． (1)若∠BOC=60°，求∠EOF 的度数；
(2)若∠AOC=x°(x ＞90)，此时能否求出∠EOF 的大小，若能，请求出它的数值
23．（12分）数学问题：计算
23111
1
n m m m
m
++++
（其中m ，n 都是正整数，且m ≥2，n ≥1）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算
23
11112222n
++++
． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为
12
； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为12+212
； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…； …
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为1
2
+
2
1
2
+
3
1
2
+…+
1
2n
，最后空
白部分的面积是1
2n
．
根据第n次分割图可得等式：1
2
+
2
1
2
+
3
1
2
+…+
1
2n
=1﹣
1
2n
．
探究二：计算1
3
+
2
1
3
+
3
1
3
+…+
1
3n
．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为2
3
；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为2
3
+
2
2
3
；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为2
3
+
2
2
3
+
3
2
3
+…+
2
3n
，最后空白
部分的面积是1
3n
．
根据第n次分割图可得等式：2
3
+
2
2
3
+
3
2
3
+…+
2
3n
=1﹣
1
3n
，
两边同除以2，得1
3
+
2
1
3
+
3
1
3
+…+
1
3n
=
1
2
﹣
1
23n
．
探究三：计算1
4
+
2
1
4
+
3
1
4
+…+
1
4n
．
（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）
解决问题：计算
1m +21
m +31m +…+1n m
． （只需画出第n 次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空） 根据第n 次分割图可得等式：_________， 所以，
1m +21
m +31m +…+1n m
=________． 拓广应用：计算515- +22515-+33515-+…+51
5
n n -． 参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、D
【分析】∠2和∠3都是∠1的补角，同角（等角）的补角相等，可得23∠∠=． 【详解】∵12180∠+∠=︒，13180∠+∠=︒ ∴∠2和∠3都是∠1的补角 ∵同角（等角）的补角相等 ∴23∠∠= 所以答案为：D ． 【点睛】
本题考查了同角（等角）的补角相等的性质以及等量代换的思想，属于较为基础的角的试题． 2、D
【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：324x y x y +=⎧⎨
=⎩①
②
将②两边同时除以2，得x=2y ③ 将③代入①，得2y ＋y=3 解得y=1 将y=1代入③， 解得x=2
∴该二元一次方程组的解为2
1x y =⎧⎨=⎩
故选D ． 【点睛】
此题考查的是解二元一次方程，掌握代入消元法解二元一次方程组是解决此题的关键． 3、C
【分析】先根据旋转的性质可得'
'
100,BAB AB AB ∠=︒=，再根据等腰三角形的性质可得'AB B ∠的度数，然后根据平行线的性质即可得出答案．
【详解】由旋转的性质得：'
'
100,BAB AB AB ∠=︒=
'''1
(180)402
AB B ABB BAB ∴∠=∠=︒-∠=︒
又
''//AC BB
'''40C AB AB B ∴∠=∠=︒
故选：C ． 【点睛】
本题是一道较为简单的综合题，考查了旋转的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）、平行线的性质（两直线平行，内错角相等），熟记各性质是解题关键． 4、B
【分析】根据负数的定义选出所有负数． 【详解】解：负数有；2-、0.3-． 故选：B ． 【点睛】
本题考查负数的定义，解题的关键是掌握负数的定义． 5、A
【分析】将x ＝3代入，然后依据程序进行计算，依据计算结果得到其中的规律，然后依据规律求解即可．
【详解】解：当x ＝3时，第一次输出结果＝3+1=4
第二次输出结果＝4
2=2； 第三次输出结果＝2
2
=1
第四次输出结果＝1+1=2 第五次输出结果＝2
2
=1 …
（2019-1）÷2＝1．
所以第2019次得到的结果和第三次的结果一样，为1 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查的是求代数式的值，解题的关键是根据题意找到规律进行求解. 6、B
【分析】根据“记“什锦糖”的单价为: A B 、两种糖的总价与A B 、两种糖的总质量的比”，得到“什锦糖”的单价计算公式，代入题中数据即可得到答案. 【详解】由题意可得“什锦糖”的单价等于402303170
34235
⨯+⨯==+（元/千克），故答案为B.
【点睛】
本题考查分式，解题的关键是是读懂题意，得到计算“什锦糖”的单价的公式. 7、A
【分析】先根据题意画出图形，再根据线段的和差倍分可得BC 的长，然后根据线段中点的定义可得CD 的长，最后根据线段的和差即可得．
【详解】由题意，画出图形如下所示：
1
,4BC AB AC AB BC =
=+， 1
5BC AC ∴=，
15AC =，
1
1535
BC ∴=⨯=，
又
点D 为线段AC 的中点，
11
157.522
CD AC ∴=
=⨯=， 7.53 4.5BD CD BC ∴=-=-=，
故选：A ． 【点睛】
本题考查了线段中点的定义、线段长度的计算，熟练掌握线段之间的运算是解题关键． 8、B
【分析】根据“售价－成本=利润”列方程即可． 【详解】解：根据题意可知()180%70% 6.5x x +•-= 故选B ． 【点睛】
此题考查的是一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． 9、D
【分析】本题可借助数轴用数形结合的方法求解．从图形中可以判断a ＜0＜b ，并且|a |＜|b |，再对照题设中每个选项，就能判断正确与否．
【详解】观察图形可知a ＜0＜b ，并且|a |＜|b |，∴a -b ＜0，a +b ＞0，ab ＜0，|a |＜|b |． 故A 、B 、C 错误，D 正确． 故选D ． 【点睛】
本题考查了利用数轴比较有理数的大小，根据数形结合的思想比较两个数的大小与绝对值大小是解题的重点． 10、A
【分析】根据单项式的系数定义和多项式项的概念得出即可．
【详解】二次三项式2x 2﹣3x ﹣1的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，﹣3，﹣1， 故选A ． 【点睛】
本题考查了多项式的有关概念，能熟记多项式的项和单项式的次数和系数定义的内容是解此题的关键． 11、C
【分析】根据等式的性质即可得出答案.
【详解】A ：等式两边加上的是不同的数，等式的值发生变化，故A 错误； B ：没有说明a 不为0，故B 错误；
C ：等式两边同时乘以一个相同的数等式的值不变，故C 正确；
D ：没有说明a=c ，故D 错误； 故答案选择：C. 【点睛】
本题考查的是等式的性质，属于基础题型，需要熟练掌握等式的性质. 12、B
【解析】试题分析：根据两点确定一条直线进行解答．
解：在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是2， 故选B ．
考点：直线的性质：两点确定一条直线．
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13、16
【分析】先找出每个面的对应值，再根据“相对两面的数字之和相等”列式计算即可得出答案. 【详解】由图可得：2和6相对应，3x 和x 相对应，(y-1)和5相对应 ∴2+6=3x+x ，2+6=y-1+5 解得：x=2，y=4 ∴2
416x
y == 故答案为16. 【点睛】
本题考查的是几何体展开图的特征，比较简单，根据展开图的形状求出对应面是解决本题的关键. 14、9
【分析】用最高气温减去最低气温，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得：
7(2)7+2=9--=
故答案为：9 【点睛】
本题主要考查的是有理数的减法，掌握减法法则的要点是正解题的关键． 15、4.4×1
【分析】科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
【详解】4400000000的小数点向左移动9位得到4.4，
所以4400000000用科学记数法可表示为：4.4×1，
故答案为4.4×1．
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
16、50元．
【分析】设这条裤子的成本是x元，提高50%后的价钱是（1+50%）x元，又以八折优惠卖出的价钱是（1+50%）x×80%，然后再减去成本价就等于10，所以（1+50%）x×80%减x等于10元，列出方程即可解答．
【详解】设这条裤子的成本是x元，
（1+50%）x×80%-x=10
1.5×0.8x-x=10
0.2x=10
x=50
答：这条裤子的成本是50元．
故答案为：50元．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，关键是分析出数量之间的关系．
17、2或1
【分析】设经过x小时两人相距36千米，分别讨论相遇前后两种情况即可．
【详解】设经过x小时两人相距36千米，
∵同时出发3小时相遇，
∴可得两人的速度和为：108
36
3
=千米/小时，
①两人相遇前相距36千米，
3636108
x+=
解得：2
x=；
②两人相遇后相距36千米，
3636108
x-=
解得：4
x=；
综上，经过2小时或1小时两人相距36千米，故答案为：2或1．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准数量关系是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18、(1)A，B两点所表示的数分别是﹣12，6；(2)C点所表示的数是﹣2；(3)t＝9时，E、F两点重合，数轴上所表示的数为1.
【解析】(1)由OA＝2OB，OA+OB＝18即可求出OA、OB；
(2)设OC＝x，则AC＝12﹣x，BC＝6+x，根据AC＝CO+CB列出方程即可解决；
(3)由点E运动路程＝18+点F运动路程，可列方程，可求t的值．
【详解】解：(1)∵OA+OB＝AB＝18，且OA＝2OB
∴OB＝6，OA＝12，
∴A，B两点所表示的数分别是﹣12，6；
(2)设OC＝x，则AC＝12﹣x，BC＝6+x，
∵AC＝CO+CB，
∴12﹣x＝x+6+x，
∴x＝2，
∴OC＝2，
∴C点所表示的数是﹣2；
(3)根据题意得：3t＝18+t，
∴t＝9
∴当t＝9时，E、F两点重合，
此时数轴上所表示的数为OB+9＝6+9＝1．
【点睛】
考查一元一次方程的应用，实数与数轴以及数轴上两点之间距离公式的运用，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型．
19、（2）得x＝3；（2）得x＝﹣2．
【分析】（2）解一元一次方程，先去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化2；
（2）解一元一次方程，先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，最后系数化2．
【详解】解：（2）3x﹣2（x﹣2）＝2﹣3（5﹣2x）
去括号，得3x﹣2x+2＝2﹣25+6x，
移项，得3x﹣2x﹣6x＝2﹣25﹣2，
合并同类项，得﹣5x＝﹣25，
系数化2，得x＝3；
（2）
331 36 x x
x
--
=-
去分母，得2（x﹣3）＝6x﹣（3x﹣2），
去括号，得2x﹣6＝6x﹣3x+2，
移项，得2x﹣6x+3x＝2+6，
合并同类项，得﹣x＝2，
系数化2，得x＝﹣2．
【点睛】
本题考查解一元一次方程，掌握解方程的步骤，正确计算是解题关键．
20、（1）10n，100，50+2n；
（2）购买B类年票比较优惠；
（3）当n=25时，选择A、B类年票的费用相同；
当n＜25时，购买B类年票比较合算；
当n＞25时，购买A类年票比较合算
【解析】试题分析：（1）根据题意列出代数式，（2）据不同情况计算12次的费用（3）列适当的代数式分三种情况讨论.
试题解析：（1）10n，100，50+2n；
（2）假如某游客一年进入公园共有12次，
则不购买年票的费用为10×12=120（元），
购买A类年票的费用为100元，
购买B类年票的费用为50+2×12=74（元）；
则购买B类年票比较优惠；
（3）50+2n-100=2n-50，
当n=25时，选择A、B类年票的费用相同；
当n＜25时，购买B类年票比较合算；
当n＞25时，购买A类年票比较合算．
考点：列代数式解实际问题，代数式的运算：去括号，合并同类项
21、（1）选用方案一更划算，能便宜170元；
（2）某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的2倍少1件，若两方案的实际付款一样，x的值为1．
【解析】试题分析：（1）分别求出方案一和方案二所付的款数，然后选择省钱的方案，求出所省的钱数；
（2）分别表述出方案一和方案二所需付款，根据两方案的实际付款一样，求出x 的值．
试题解析：
（1）方案一付款：30×90×（1﹣30%）+20×100×（1﹣11%）=3190（元），
方案二付款：（30×90+20×100）×（1﹣20%）=3760（元），
∵3190＜3760，3760﹣3190=170（元），
∴选用方案一更划算，能便宜170元；
（2）设某单位购买A 商品x 件，
则方案一需付款：90（1﹣30%）x+100（1﹣11%）（2x ﹣1）=233x ﹣81，
方案二需付款：[90x+100（2x ﹣1）]（1﹣20%）=232x ﹣80，
当x=a 件时两方案付款一样可得，233x ﹣81=232x ﹣80，
解得：x=1，
答：某单位购买A 商品x 件（x 为正整数），购买B 商品的件数是A 商品件数的2倍少1件，若两方案的实际付款一样，x 的值为1．
22、 (1)∠EOF=45°；(2)∠EOF 总等于45°
. 【分析】（1）观察发现EOF EOC FOC ∠=∠-∠，则找到EOC ∠和FOC ∠的度数即可，而EOC ∠是AOC ∠的一半，FOC ∠是BOC ∠的一半, AOC ∠和BOC ∠已知或可求，则EOF ∠的度数可求.
（2）按照（1）的方法，用字母替换掉具体的度数即可.
【详解】1)因为∠BOC=60°
,∠AOB=90° 所以∠AOC=150°
因为OE 平分∠AOC 所以1752
EOC AOC ∠=∠=︒ 因为OF 平分∠BOC 所以1302FOC BOC ∠=
∠=︒ 所以∠EOF=∠COE-∠COF
=75°-30°
=45°
（2）能具体求出∠EOF 的大小
因为∠AOC=x°
,∠AOB=90° 所以∠BOC=x°
-90° 因为OE 平分∠A0C
所以122x EOC AOC ∠=∠= 因为OF 平分∠BOC 所以19022
x FOC BOC -︒∠=
∠= 所以∠EOF=∠COE-∠COF 9022x x -︒=- 即当x>90时，∠EOF 总等于45°
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质以及角的和与差，读懂图形，分清角的和差关系是解题的关键.
23、【答题空1】2333331144444
n n ++++=- 【答题空2】111(1)n
m m m ---⨯ 【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可； 解决问题：按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以（m-1）即可得解； 拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解．
【详解】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，
其中阴影部分的面积为34
； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
阴影部分的面积之和为2
3344+； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
…，
第n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，
所有阴影部分的面积之和为：2333334444n
++++，
最后的空白部分的面积是14n ， 根据第n 次分割图可得等式：2333334444n ++++=1﹣14n ， 两边同除以3，得2311114444n ++++=11334
n -⨯； 解决问题：231111n m m m m m m m m ----++++=1﹣1n m ， 231111n m m m
m ++++=()1111n m m m ---⨯； 故答案为2333334444
n ++++=1﹣14n ，()1111n m m m ---⨯；
拓广应用：232351515151555
5n n ----++++， =1﹣15+1﹣215+1﹣315+…+1﹣15
n ， =n ﹣（15+215+315+…+15
n ）， =n ﹣（14﹣145n
⨯）， =n ﹣14+145
n ⨯． 【点睛】
本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键．。