江西省抚州市临川第二中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷

江西省抚州市临川第二中学2023-2024学年高二下学期第一
次月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在等差数列{}n a 中，45660a a a ++=，则28a a +的值为（ ） A ．15
B ．20
C ．30
D ．40
2．6
2x x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的展开式中2x 的系数为（ ）
A ．48
B ．30
C ．60
D ．120
3．若双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的实轴长为2F 到
一条渐近线的距离为（ ）
A B ．C ．1
D ．2
4．已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3212,1a a =+是1a 与31a -的等差中项，则3S =（ ） A ．21
B ．21或57
C ．21或75
D ．57
5．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）
A B C D 6．过抛物线24y x =的焦点F 作斜率为k 的直线与抛物线交于A ，B 两点，点M 的坐标
为()1,1-，若0MA MB ⋅=u u u r u u u r
，则k =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（ ）
A ．
144
625
B ．
64125
C ．
964
D ．
364
8．在正三棱锥-P ABC 中，AB ==O 为球心的球面上，设点O 到平面P AB 的距离为m ，到平面ABC 的距离为n ，则n
m =（ ）
A ．3
B
C D
二、多选题
9．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ） A ．0d <
B ．70a >
C ．{}n S 中5S 最大
D ．49a a <
10．下列说法正确的有（ ）
A ．从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率为4
5
B ．若随机变量110,3X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
:，则方差()3220D X +=
C ．若随机变量()2
2,,(0)0.34N P ξδξ~<=，则(24)0.16P ξ<<=
D ．已知随机变量X 的分布列为()()()1,2,31a
P X i i i i ==
=+，则()229
P X == 11．已知长轴长、短轴长和焦距分别为22a b 、和2c 的椭圆Ω，点A 是椭圆Ω与其长轴的一个交点，点B 是椭圆Ω与其短轴的一个交点，点1F 和2F 为其焦点，1AB BF ⊥．点P 在椭圆Ω上，若12PF PF ⊥，则（ ）
A ．,,a b c 成等差数列
B ．,,a b c 成等比数列
C ．椭圆Ω的离心率1e
D ．1ABF V 的面积不小于12PF F △的面积
三、填空题
12．已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =.
13．直线1y kx =+与圆221x y +=相交于,A B 两点，且AB =k 的值等于． 14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-，若1n n S n a λ+-≤对于任意的正整数n 恒成立，则实数λ的取值范围为．
四、解答题
15．等比数列{}n a 的公比为2，且234,2,a a a +成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)若2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，AB
＝2，BC ＝1，PC PD =E 为PB 中点．
(1)求证：PD //平面ACE ； (2)求二面角E AC D --的余弦值；
(3)在棱PD 上是否存在点M ，使得AM ⊥BD ？若存在，求PM
PD
的值；若不存在，说明理由．
17．某大学保卫处随机抽取该校1000名大学生对该校学生进出校园管理制度的态度进行了问卷调查，结果见下表：
(1)根据小概率值0.001α=的独立性检验，分析该校大学生赞成学生进出校园管理制度与学生的性别是否有关；
(2)为答谢参与问卷调查的同学，参与本次问卷调查的同学每人可以抽一次奖，获奖结果及概率如下：
若甲､乙两名同学准备参加抽奖，他们的获奖结果相互独立，记两人获得奖金的总金额为X （单位：元），求X 的数学期望()E X .
附：()
()()()()
2
2
n ad bc a b c d a c b d χ-=
++++，其中n a b c d =+++.
18．设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列．且11
1a b ==，327a b +=，
2322a b -=，*N n ∈
(1)求{}n a ，{}n b 的通项公式；
(2)记n T 为{}n b 的前n 项和，求证：221n n n T T T ++⋅<；
(3)若()213,1122n n
n n n a n b c n b b +⎧+⎪⎪=⎨⎛⎫⎛⎫⎪-- ⎪⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎩为奇数
为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n S ．
19．已知抛物线24y x =，顶点为O ，过焦点的直线交抛物线于A ，B 两点．
(1)如图1所示，已知8AB =|，求线段AB 中点到y 轴的距离；
(2)设点P 是线段AB 上的动点，顶点O 关于点P 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值；
(3)如图2所示，设D 为抛物线上的一点，过D 作直线DM ，DN 交抛物线于M ，N 两点，过D 作直线DP ，DQ 交抛物线于P ，Q 两点，且DM DN ⊥，DP DQ ⊥，设线段MN 与线段PQ 的交点为T ，求直线OT 斜率的取值范围．。