2007-2017昆明数学中考压轴题含答案

昆明市2007-2017年中考压轴题
1．(2007昆明)如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连接OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．
(1)求点B 的坐标；
(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．
(注意：本题中的结果均保留根号)
解：（1）过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，由已知可得： OB=OA=2，∠BOD=60°
在Rt △OBD 中，∠ODB=90°，∠OBD=30° ∴OD=1，DB=
3
∴点B 的坐标是（1，
3） 2分
（2）设所求抛物线的解析式为y=ax 2
+bx+c ，由已知可得：
3420c a b c a b c =⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩
解得：a=
33，b=233
，c=0
∴所求抛物线解析式为y=3
3
x 2
+
23
3
x 4分 （备注：a 、b 的值各得1分）
（3）存在 5分
由y=
33
x 2
+
233x 配方后得：y=3
3
（x+1）2
-
3
3
∴抛物线的对称轴为x=-1 6分 （也可用顶点坐标公式求出）
∵点C 在对称轴x=-1上，△BOC 的周长=OB+BC+CO ， ∵OB=2，要使△BOC 的周长最小，必须BC+CO 最小， ∵点O 与点A 关于直线x=-1对称，有OC=CA △BOC 的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA
∴当A 、C 、B 三点共线，即点C 为直线AB 与抛物线对称轴的交点时，BC+CA 最小，此时△BOC 的周长最小．
设直线AB 的解析式为y=kx+b ，则有：3
20k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩
A B
1 O
-1 x
y 1
解得：k=
3
3
，b=
23
3
∴直线AB的解析式为y=
3
3
x+
23
3
7分
当x=-1时，y=
3 3
∴所求点C的坐标为（-1，
3
3
）
8分
（4）设P（x，y），（-2<x<0，y<0），则y=
3
3
x2+
23
3
x ①
过点P作PQ⊥x轴于点Q，PG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥PQ于点F，过点B作BE⊥PQ•于点E，则PQ=-x，PG=-y，由题意可得：
S△PAB=S梯形AFEB-S△AFP-S△BEP9分
=1
2
（AF+BE）·FE-
1
2
AF·FP-
1
2
PE·BE
=1
2
（-y+3-y）（1+2）-
1
2
（-y）（x+2）-
1
2
（1-x）（3-y）
=-3
2
y+
3
2
x+3②
将①代入②，化简得：S△PAB =-
3
2
x2-
3
2
x+3 10分
=-
3
2
（x+
1
2
）2+
93
8
∴当x=-1
2
时，△PAB的面积有最大值，最大面积为
93
8
． 11分
此时，y=
3
3
·
1
4
+
23
3
·（-
1
2
）=-
3
4
∴点P的坐标为（-1
2
，-
3
4
） 12分
2．（2008昆明）如图，在直角坐标系中，以点(30)
M，为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，过点C的直线交x轴的负半轴于点(90)
D ，．
（1）求A C ，两点的坐标；
（2）求证：直线CD 是M 的切线；
（3）若抛物线2
y x bx c =++经过M A ，两点，求此抛物线的解析式；
（4）连接AC ，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD 交于点E ，与AC 交于点F ，如果点P 是抛物线上的动点，是否存在这样的点P ，使得:PAM CEF S S △
△3=，若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号） 解：（1）连接CM ，由题意得：OM=3，OB=3，OE=9，MC=6 OA=OM+MA=3+6=9
A （9，0）……………………………………1分
OC MC ===∴
C （0，……………………………………2分 （2）证法一： 在Rt △DCO 中，
DC DO ===
在△DCM 中，
22226144CM DC +=+=
2222()(93)12144DM DO OM =+=+==
222CM DC DM ∴+=……………………………………3分
∴△DCM 直角三角形。

……………………………………4分 ∴MC ⊥DC ，而MC 是⊙M 的半径
∴CD 是⊙M 的切线。

……………………………………5分 证法二：
在Rt △COM 中，
31
sin 62
OM MCO OC ∠=
== 30O MCO ∴∠=……………………………………3分
在Rt △DOC
中，
tan DO DCO CO ∠=
== 60O DCO ∴∠=……………………………………4分 90O DCM MCO DCO ∴∠=∠+∠=
MC DC ∴⊥，而MC 中的⊙M 半径。

……………………………………5分
证法三：
在△CMO 和△DMC 中
612
2, 226CM DM DO OM OM MC MC +===== CM DM
OM MC
∴=
……………………………………3分 又CMO DMC ∠=∠ CMO DMC ∴……………………………………4分
90O COM DCM ∴∠=∠=
MC DC ∴⊥，而MC 中的⊙M 半径。

MC DC ∴⊥，而MC 中的⊙M 半径。

……………………………………5分
（3）由抛物线2
y x bx c =++经过点M （3，0）和点A （9，0），可得：
9308190b c b c ++=⎧⎨
++=⎩ 解得：12
27b c =-⎧⎨=⎩
……………………………………6分 ∴抛物线的解析式为： 2
1227y x x =-+..........................................7分 （4）存在。

(8)
分 方法一：
设直线CD 的解析式为11y k x b =+，点
C 和点
D （—9，0）在此直线上，可得：
11190
b k b ⎧
=⎪⎨-+
=⎪⎩ 解得：11
k
b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线CD 的解析式为：3
y x =
+设直线AC 的解析式为22y k x b =
+，点A （9，0
22290
b k b ⎧=⎪⎨
+=⎪⎩解得：22
3k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 的解析式为：3
y x =-+∵抛物线的对称轴为62b
x a
=-= 又∵点E 是对称轴和直线CD 的交点 当x =6时，63
y =
+=点E 的坐标为（6，
双点F 是对称轴和直线AC 交点
∴当x =6时，63
y =-
+=
∴点F 的坐标为（6
∴EF ==过点C 作CG ⊥EF 于点G ，则CG=6
11
622CEF
S
EF CG =
=⨯=① 若点P 在轴的上方，设点P 坐标为（x ，y ）
1
32
PAM
S
AM y y =
= :3PAM
CEF
S
S
=
33y ∴=
解得：y =4
当y =4时，即2
12274x x -+=，解得6x =±
12(6(6p p ∴……………………………………10分
②若点P 在x 轴上，则点P 与点M 或与点A 重合，此时构不成三角形。

③若点P 在x 轴下方，设点P 的坐标为（x ，y ）
1
()32
PAM
S
AM y y =
-=- :3PAM
CEF
S
S
=
33y ∴-=
解得：y =－4
当y =－4时，即2
12274x x -+=-，解得6x =
34(64) ,(64)p p ∴--……………………………………12分
∴这样的点共有4个，12(6(6p p ∴，34(64) ,(64)p p ∴-- 方法二：存在……………………………………8分 设抛物线的对称轴交x 轴于点H
在（2）中已证：60,30O
O
DCO CDO ∴∠=∠= ∵抛物线的对称轴平行于y 轴
60O CEF DCO ∴∠=∠=
∵OD=OA=9
∴CO 垂直平分AD
30O CAO CDO ∴∠=∠=
在Rt △AFH 中，60O
AFH ∠=
60O EFC ∴∠=
∴△CEF 是等边三角形
过点C 作CG ⊥EF 于点G ，则CG=6
可得：EF =
11
622
CEF
S
EF CG =
=⨯=
3．（2009昆明）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，点
B 的坐标为(4，3)，点
C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)． (1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？ (2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？
(3)连接AC ，那么是否存在这样的t ，使MN 与AC 互相垂直？若存在，求出这时的t 值；若不存在，
请说明理由．
解：
（1）过点B 作BD OA ⊥于点D ， ······················ 1分
则四边形CODB 是矩形， 4BD CO ==，3
OD CB ==，3DA =．
在Rt ABD △中，5AB ==． ················ 2分 当MN OC ∥时，MN BD ∥，
AMN ADB ∴△∽△，
AN AM
AB AD =
． ·················· 3分 ∵AN OM t ==，63AM t AD =-=，， ∴653t t -=， ······························································································· 4分 即154
t =（秒）． ··························································································· 5分
（2）过点N 作NE x ⊥轴于点E ，交CB 的延长线于点F ， ∵NE BD ∥，
∴AEN ADB △∽△，EN AN
DB AB
=．
即45EN t =，4
5EN t =． ··································· 6分 4EF CO ==，4
45FN t ∴=-．
COM MNA CBN OABC S S S S S =---△△△梯形， ··········· 7分
∴1111
()2222
S CO OA CB CO OM AM EN CB FN =
+--- 1114144(63)4(6)34222525t t t t ⎛
⎫=⨯⨯+-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- ⎪⎝
⎭． 即2216
1255S t t =-+（05t ≤≤）
． ································································ 8分 由22161255S t t =-+，得2
228(4)55
S t =-+．
∴当4t =时，S 有最小值，且28
5
S =最小． ························································ 9分
4．（2010昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O （0，0）、A （4，0）、B （3，23
3
-
）三点. （1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA 的中点M 为圆心，OM 长为半径作⊙M ，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P ，过点
P 作⊙M 的切线l ，且l 与x 轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号） 解：（1）设抛物线的解析式为：2
(0)y ax bx c a =++≠
由题意得：0164023933⎧
⎪=⎪⎪
++=⎨⎪
⎪++=-⎪⎩
c a b c a b c
……………1分
解得：2383
,,099
a b c =
=-= ………………2分 ∴抛物线的解析式为：22383
99
y x x =
- ………………3分
（2）存在 ………………4分
抛物线299y x x =
-
的顶点坐标是(2,9
-，作抛物线和⊙M （如图）， 设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B ，与⊙M 相切于点C 连接MC ，过C 作CD ⊥ x 轴于D
∵ MC = OM = 2, ∠CBM = 30°, CM ⊥BC
∴∠BCM = 90° ，∠BMC = 60° ，BM = 2CM = 4 , ∴B (-2, 0) 在Rt △CDM 中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30° ∴DM = 1,
CD =
∴
C (1,
设切线 l 的解析式为:(0)y
kx b k ，点B 、C 在 l 上，可得：
20
k b k b ⎧+=⎪
⎨
-+=⎪⎩ 解得：
k b ==∴切线BC
的解析式为：y x =
+ ∵点P 为抛物线与切线的交点
由233
y x x y x ⎧
=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
解得：11
122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
226
x y =⎧⎪⎨=
⎪⎩
∴点P
的坐标为：11(2P -
，
2P ………………8分 ∵
抛物线2y x x =
-的对称轴是直线2=x 此抛物线、⊙M 都与直线2=x 成轴对称图形 于是作切线 l 关于直线2=x 的对称直线 l ′(如图) 得到B 、C 关于直线2=x 的对称点B 1、C 1
l ′满足题中要求，由对称性，得到P 1、P 2关于直线2=x 的对称点：
39(2P
，4(P -即为所求的点.
∴这样的点P共有4个：
1
13 (,)
22
P-，
2
83 (6,)
3
P，
3
93 (,) 22
P，
4
83 (2,)
3
P-………12分
5．（2011昆明）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
（1）求AC、BC的长；
（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；
（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．
解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm；
（2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，
∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，
∴QH QB
AC AB
=，∴QH=错误!未找到引用源。

x，y=错误!未找到引用源。

BP•QH=
1
2
（10﹣x）•错误!未找到
引用源。

x=﹣4
5
x2+8x（0＜x≤3），
②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，
∵AP=x，
∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC，
∴
'
AQ QH
AB BC
=，即：
'
14
106
x QH
-
=错误!未找到引用源。

，解得：QH′=错误!未找到引用源。

（14﹣x），
∴y=1
2
PB•QH′=
1
2
（10﹣x）•
3
5
（14﹣x）=
3
10
x2﹣
36
5
x+42（3＜x＜7）；
∴y 与x 的函数关系式为：y=2
248(03)5
33642(37)10
5x x x x x x ⎧-+<≤⎪⎪⎨⎪-+<<⎪⎩错误!未找到引用源。

；
（3）∵AP=x，AQ=14﹣x ，
∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴
AP AQ PQ AC AB BC ==，即：148106
x x PQ
-==
错误!未找到引用源。

， 解得：x=569，PQ=143，∴PB=10﹣x=349，∴14
21334179
PQ BC
PB AC ==≠
错误!未找到引用源。

， ∴当点Q 在CA 上运动，使PQ⊥AB 时，以点B 、P 、Q 为定点的三角形与△ABC 不相似；
（4）存在．
理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10， ∴PQ 是△ABC 的中位线，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC，
∴PQ 是AC 的垂直平分线，∴PC=AP=5，∴当点M 与P 重合时，△BCM 的周长最小， ∴△BCM 的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16．∴△BCM 的周长最小值为16． 6．（2012昆明）如图，在平面直角坐标系中，直线1
23
y x =-+交x 轴于点P ，交y 轴于点A ，抛物线2
12
y x bx c =-
++的图象过点(1,0)E -，并与直线相交于A 、B 两点. ⑴ 求抛物线的解析式（关系式）；
⑵ 过点A 作AC AB ⊥交x 轴于点C ，求点C 的坐标；
⑶ 除点C 外，在坐标轴上是否存在点M ，使得MAB ∆是直角三角形？若存在，请求出点M 的
坐标，若不存在，请说明理由.
⑴213222y x x =-++；⑵2(,0)3C -； ⑶7
(0,)9、或1165(,0)6-、或1165(,0)6
+、或92(,0)27、或92(0,)9- 解： ⑴如图，因为一次函数123
y x =-
+交y 轴于点A ，所以，0A x =，2A y ∴=， 即(0,2)A . 又，一次函数交x 轴于点P ，所以，
0P y =，6P x ∴=，即(6,0)P .
由(0,2)A 、(1,0)E -是抛物线212
y x bx c =-++的图象上的点， 232102
2C b b C C =⎧⎧=⎪⎪∴⇒⎨⎨--+=⎪⎪=⎩⎩ 所以，抛物线的解析式是：
213222
y x x =-++ ⑵ 如图，AC AB ⊥、OA OP ⊥
∴ 在Rt CAP ∆中，
OA CP ⊥ 2222263AO AO CO OP CO OP ∴=⋅⇒=== ∴点C 的坐标：2(,0)3
C - ⑶设除点C 外，在坐标轴上还存在点M ，使得MAB ∆是直角三角形，
即AMB Rt ∠=∠或ABM Rt ∠=∠
Ⅰ.在Rt MAB ∆中，若AMB Rt ∠=∠，那么M 是以AB 为直径的圆与坐标轴的交点，这时M 会在x
轴的正半轴上和y 轴的正半轴上.
ⅰ.若交点在y 轴的正半轴上（如图），设(0,)M m ，
则有， ()B B m y =点的纵坐标
2121173(,)1339222y x B y x x ⎧=-+⎪⎪⇒⎨⎪=-++⎪⎩ 79m ∴=，此时7(0,)9
M ⅱ.若交点在x 轴的正半轴上（如图），设(,0)M n ，
此时过B 作BD 垂直x 轴于点D ，则有AOM
MDB ∆∆，
于是：
AO OM OM MD AO DB MD DB
=⇒⋅=⋅ 117()239n n ∴-=⨯， 1211651165,66
n n -+⇒==， 此时，1165(,0)6M -或1165(,0)6
M + Ⅱ.在Rt MAB ∆中，若ABM Rt ∠=∠，即过B 作BM AP ⊥，这时M 会在x 轴的正半轴上和y
轴的负半轴上.
ⅰ. M 在x 轴的正半轴上，如图，设(,0)M t ，同样过B
作BD 垂直x 轴于点D ，则在Rt PBM ∆中，有
2BD MD DP =⋅
27111192()()(6)93327
t t ∴=--⇒=， 此时，92(,0)27
M ⅱ. M 在y 轴的负半轴上，如图，设(0,),(0)M q q ->，
过B 作BF 垂直y 轴于点F ，则在Rt ABM ∆中，有
2BF AF FM =⋅，即：2117792()(2)()3999
q q ∴=-+⇒= 此时，92(0,)9
M - 综上所述，除点C 外，在坐标轴上还存在点M ，使得
MAB ∆是直角三角形，满足条件的点M 的坐标是：7(0,)9
、
或1165(,0)6-、或1165(,0)6
+、或92(,0)27，或92(0,)9-共五个点.
7．（2013昆明）如图，矩形OABC 在平面直角坐标系xoy 中，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA =4，OC =3，若抛物线的顶点在边BC 上，且抛物线经过O 、A 两点，直线AC 交抛物线于点D 。

（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D 的坐标；
（3）若点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，是否存在以A 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）由题意知：A(4，0)，C(0，3)，BC=4。

∴BC 的中点坐标为（2，3）
由对称性可知：抛物线的顶点坐标为（2，3）
设抛物线的解析式为y=a （x －h ）2+k ，
由抛物线的顶点坐标为（2，3），则h=2k=3
a=－错误!未找到引用源。

抛物线的解析式为y=－错误!未找到引用源。

x 2+3x
(2)解：设直线AC 的解析式为y=kx+b ，将A(4,0),C(0，3)代入解析式可得：
⎩⎨⎧==+304b b k 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=3
43b k
∴直线AC 的解析式为343+-
=x y 由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+-=x x y x y 3433432 解得11194x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或2240x y =⎧⎨=⎩ ∴抛物线与直线AC 的交点的坐标为（1，错误!未找到引用源。

）和（4，0）
∴点D 的坐标为（1，错误!未找到引用源。

）
（3）存在。

①若点M 在x 轴的上方
如图（1），过点D 作DM ∥x 轴交抛物线于点M
O x
y
A B
C
D
AN=2，
AD
x 2+3x 上
解得：x 1=2+错误!未找到引用源。

，x 2=2－错误!未找到引用源。

，
此时M 3(2+错误!未找到引用源。

，－错误!未找到引用源。

)，M 4(2－错误!未找到引用源。

，－错误!未找到引用源。

)
Ⅰ.当M 3(2+错误!未找到引用源。

，－错误!未找到引用源。

)，∵M 3N 3∥AD
设直线M 3N 3 的解析式为y=－错误!未找到引用源。

x+b,把M 3(2+错误!未找到引用源。

，－错误!未找到引用源。

)代入解得：b=34
直线M 3N 3 的解析式为y=错误!未找到引用源。

令y=0,解得:x=错误!未找到引用源。

－1，∴N 3(错误!未找到引用源。

－1，0)
Ⅱ.当M 4(2－错误!未找到引用源。

，－错误!未找到引用源。

), ∵M 4N 4∥AD
同理可得直线M 4N 4的解析式为y=－错误!未找到引用源。

x+错误!未找到引用源。

令y=0，解得：x=错误!未找到引用源。

－1，∴N 4(错误!未找到引用源。

－1,0)
综上所述,满足条件的点N 有四个：N 1(2，0)，N 2(6，0)，N 3(错误!未找到引用源。

－1，0)，N 4(错误!未找到引用源。

－1，0)
8．（2014昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0(32
≠-+=a bx ax y 与x 轴交于点A （2-，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C 。

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度向C 点运动。

其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动。

当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最多面积是多少？
（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使2:5S PBQ CBK =△△：S ，求K 点坐标。

9．（2015昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x=．（1）求抛物线的解析式；
（2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH 时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）∵x=﹣=，b=，
∴a=﹣，
把A（4，0），a=﹣代入y=ax2+x+c，
可得（）×42+×4+c=0，
解得c=2，
则抛物线解析式为y=﹣x2+x+2．
（2）如图1，连接CM，过C点作CE⊥MH于点E，
，
∵y=﹣x2+x+2，
∴当x=0时，y=2，
∴C点的坐标是（0，2），
设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），
把A（4，0）、C（0，2）代入y=kx+b，
可得，
解得：，
∴直线AC解析式为y=﹣x+2，
∵点M在抛物线上，点H在AC上，MG⊥x轴，
∴设点M的坐标为（m，﹣m2+m+2），H（m，﹣m+2），∴MH=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，
∵CM=CH，OC=GE=2，
∴MH=2EH=2×[2﹣（﹣m+2）]=m，
又∵MH=﹣m2+2m，
∴﹣m2+2m=m，
即m（m﹣2）=0，
解得m=2或m=0（不符合题意，舍去），
∴m=2，
当m=2时，
y=﹣×22+×2+2=3，
∴点M的坐标为（2，3）．
（3）存在点P，使以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似，理由为：
∵抛物线与x轴交于A、B两点，A（4，0），A、B两点关于直线x=成轴对称，∴B（﹣1，0），
∵AC==2，BC==，AB=5，
∴AC2+BC2=+=25，AB2=52=25，
∵AC2+BC2=AB2=25，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠ACB=90°，
线段MG绕G点旋转过程中，与抛物线交于点N，当NP⊥x轴时，∠NPG=90°，设P点坐标为（n，0），
则N点坐标为（n，﹣n2+n+2），
①如图2，
当=时，
∵∠N1P1G=∠ACB=90°，
∴△N1P1G∽△ACB，
∴=，
解得：n1=3，n2=﹣4（不符合题意，舍去），
当n1=3时，
y=﹣×32+×3+2=2，
∴P的坐标为（3，2）．
②当=时，
∵∠N2P2G=∠BCA=90°，
∴△N2P2G∽△BCA，
∴，
解得：n1=1，n2=1﹣（不符合题意，舍去），
当n1=1时，
y=﹣×（1+）2+×（1）+2=，
∴P的坐标为（1，）．
又∵点P在线段GA上，
∴点P的纵坐标是0，
∴不存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似．
10．(2016昆明中考）
如图1，对称轴为直线x=的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由对称轴的对称性得出点A 的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）作辅助线把四边形COBP 分成梯形和直角三角形，表示出面积S ，化简后是一个关于S 的二次函数，求最值即可；
（3）画出符合条件的Q 点，只有一种，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；②在直角△OCQ 和直角△CQM 利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍．
11．（2017昆明中考）已知二次函数22y x bx c =-++图像的顶点坐标为（3，8），该二次函数图像的对称轴与x 轴的交点为A ，M 是这个二次函数图像上的点，O 是原点
（1） 不等式280b c ++≥是否成立？请说明理由；
（2） 设S 是△AMO 的面积，求满足9S =的所有点M 的坐标。

【考点】二次函数性质
【解析】（1）2,3,b 122b a a =-==而-解得 22
3,821210
21210y x x c c y x x =-++=-∴=-+-把（）代入中,解析式为 280,b 2c 80b c ++=++≥而所以成立（直接用顶点公式展开也可求出b 、c 值）
（2）设2
M 1210)m +-（m,-2m 219,62212106
M M S OA y y m m ∴=⋅==-+-=
① 21212212106
2,4(2,6),(4,6)
m m m m M M -+-===∴解得 ②2123421210637,37(37,6),(37,6)
m m m M M -+-=-=+=-∴+---解得m。