新课标全国Ⅰ卷理科数学高考分析及高考预测更新

新课标全国Ⅰ卷理科数学高考分析 及高考预测
话说天下大势，合久必分，分久必合，中国高考也是如此．2000年，教育部决定实施分省命题．十多年后，由分到合．
除了保留北京、天津、上海、江苏、浙江实行自主命题外（山东省语文、数学卷最后一年使用），大陆其他省区全部使用全国卷．
研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂．基于此，笔者潜心研究近7年全国高考理科数学Ⅰ卷和高考数学考试说明，精心分类汇总了全国卷近7年所有题型．为了便于读者使用，所有题目分类（共21类）列于表格之中，按年份排序．高考题的小题（填空和选择）的答案都列在表格的第三列，便于同学们及时解答对照答案，所有解答题的答案直接列在题目之后，方便查看．
一、集合与简易逻辑
1.集合：
7年5考，都是交并补子运算为主，多与解不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能，但）设集合{0}A x =<，230}B x =->=
A ）3
(3,2--33,)2 （C ）3)2 （D ）
，则A B =
｝，则
2.简易逻辑：
7年 1考（2017年在复数题中涉及真命题这个概念），只有2015年考了一个全称与特称命题的转化．这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，热点就是“充要条件”；难点：否定与否命题；冷点：全称与特称（2015考的冷点），思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真假判断，比较复杂．
二、复数：
7年7考，每年1题，考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同时，主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标等．
三、平面向量：
7年7考，每年1题，向量题考的比较基本，突出向量的几何运算或代数运算，不侧重于与其它知识交汇，难度不大（与全国其它省份比较）．我认为这样有利于考查向量的基本运算，符合考试说明． 41
AD AB AC =-
已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1
()AO AB AC =+，则的夹角为 .
60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，2 13、已知向量1,210a b ==；b =20,πθ⎡⇔∈ :1,P a b πθπ⎛⎤
+>⇔∈
⎥
四、线性规划：
7年7考，每年1题，全国卷线性规划题考的比较基本，一般不与其它知识结合，不象部分省区的高考向量题侧重于与其它知识交汇，如和平面向量、基本不等式、解析几何等交汇．我觉得这种组合式交汇意义不大，不利于考查基本功．由于线性规划的运算量相对较大，我觉得难度不宜太大，不过为了避免很多同学解出交点代入的情况估计会加大“形’的考察力度，有可能通过目标函数的最值作为条件反求可行域内的参数问题，或者利用一些含有几何意义的目标函数（斜率、距离等），如2015年新课标15题．(还有近年线性规划应用题较少考查，是否再考？这是我写5年高考分析时的预测，果然2016年考了线性规划应用题，2017年不会再考了
五、三角函数：
7年13考，每年至少1题，当考3个小题时，当年就不再考三角大题了．题目难度较小，主要考察公式熟练运用、平移、图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用题），基本属于“送分题”．小心平移（重点+难点+几乎年年考）．2013年15题对化简要求较高，难度较大．2016年的考法也是比较难的，所以当了压轴题．
（B）3
（C）
1
-（
2015年
（8）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为
（A ）13
(,),44k k k Z ππ-+∈
（B ） 13
(2,2),44k k k Z ππ-+∈
（C ）13
(,),44k k k Z -+∈
（D ）13
(2,2),44
k k k Z -+∈
D
2015年
（16）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取
值范围是 .
(62-，
62)+
2014年
6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线
OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，
则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为
B
2014年
8.设(0,)2πα∈，(0,)2
π
β∈，且1sin tan cos β
αβ+=，则
A .32
π
αβ-=
B .22
π
αβ-=
C .32
π
αβ+=
D .
22
π
αβ+=
B
2014年
16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且
(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值
为 .
3
2013年 15、设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=______
25
5
-
2012年
（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2
ππ上单调递减．则ω
的取值范围是（ ）
()A 15[,]24 ()B 13
[,]24
()C 1(0,]2 ()D (0,2]
A
2011年
（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=
（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）4
5
B 2011年
1. 设函数()sin()cos()(0,)2
f x x x π
ωϕωϕωϕ=+++><
的最小正
周期为π，且()()f x f x -=，则
（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,
44ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增
（D ）()f x 在3,
44
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增 A
2011年
（16）在ABC ∆中，60,3B AC ==，则2AB BC +的最大值为 ． 27
六、立体几何:
7年13考，一般考三视图和球，主要计算体积和表面积．其中，我认为“点线面”也有可能出现在小题，但是难度不大，立体几何是否会与其它知识交汇？如：几何概型？有可能．但是，根据全国卷的命题习惯，交汇可能性不大．但是异面直线所成的角是否可以考（对2016年预测）年年考三视图，是否也太稳定了吧？球体是基本的几何体，是发展空间想象能力的很好载体，是新课标的热点．（果然2016年11题考了线线角，虽然没有提到异面直线，但是在发展年份 题目 答案
2017年
（7）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A ．10 B ．12 C ．14
D ．16
B
2017年
（16）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中
心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△
FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿
虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3
）的最大值为_______．
415
2016年
（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是
283
π
，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π
A
2016年
(11)平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，
α//平面CB 1D 1，α平面ABCD =m ，α
平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为
(A)
32 (B )22 (C)3
3 (D)13
A
2015年
（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛 B
2015年
（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=
(A ) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8
B
2014年
12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为
A .62
B .42
C .6
D .4
C
2013年
6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )
A 、
5003
π
cm 3 B 、
8663
π
cm 3
C 、
13723πcm 3 D 、20483
π
cm 3
A
2013年
8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A .168π+
B .88π+
C .1616π+
D .816π+
A
2012年
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
()A 6 ()B 9
()C 12 ()D 18
B
2012年
（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ） ()
A 26 ()
B 36 ()
C 23 ()
D 2
2
A
2011年（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图
所示，则相应的侧视图可以为
D
2011年（15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且
6,23
AB BC
==,则棱锥O ABCD
-的体积为 .
83
7年1考，实在是个冷点，而且这1考也不是常规的数学考法，倒是很像一道公务员考试的逻辑推理题，但这是个信号，虽然这个信号在2015年并没有连续出现．2003年全国高考曾经出过一道把直角三角形的勾股定理类比到四面体的小题，这个题已经是教材的一个例题；上海市是最喜欢考类比推理的，上海市2000年的那道经典的等差数列与等比数列性质的类比题也早已进入教材习题．这类题目不会考察“理论概念”问题，估计是交汇其他题目命题，难度应该不大．适当出一道“类比推理”的小题是值得期待的．
年份题目答案
2017全国2
理科
（7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你
们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙
的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根
据以上信息，则（）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
D
2014年（13）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为________．
A
7年6考，2013年没考小题，但是在大题中考了．主要考古典概型和相互独立事件的概率．条件概率、几何概型没有考过．是不是该考了？（当时写5年分析时的预测）果然在2016年考了
年份题目答案
2017年
（2）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．
B ．
C ．
D ．
B
2016年
（4）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐 班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
（A ）
13 （B ）12 （C ） 23 （D ）3
4
B
2015年
（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
（A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312
A
2014年
(5).4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率
A .18
B .38
C .58
D .78
D 2012年
（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：
小时）均服从正态分布2(1000,50)N ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为
3
8
2011年
（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34
A 九、统计：
7年1考，只在2013年考了一个抽样方法小题．这个考点内容实在太多：频率分布表、直方图、抽样方法、样本平均数、方差、标准差、散点图、线性回归、回归分析、独立性检验、正态分布（文科不学）等．统计知识理科考的不多，文科较多．
2013年 3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样 C 、按学段分层抽样 D 、系统抽样
C
14
π
812
π
4
十、数列：
全国Ⅰ理数的数列解答题和三角函数解答题每年只考一个，考解答题时一般不再考小题，不考解答题时，就考两个小题，下表中列出了2013年和2012年的数列小题，其它三年没有考小题，而是考的大题．交错考法不一定分奇数年或偶数年．难度上看，一般会有一个比较难的的小题，如2013年的12题，2012年16题，2017年12题，它们都是压轴题．
2012年
（16）数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为
1830
十一、框图：7年7考,每年1题!考含有循环体的较多，都比较简单，一般与数列求和联系较多，难度不大.
2017年 （8）右面程序框图是为了求出满足321000n n
->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填
入
A ．1000A >和1n n =+
B ．1000A >和2n n =+
C ．1000A ≤和1n n =+
D ．1000A ≤和2n n =+
D
2016年
C
2015
年（9）执行右面的程序框图，如果输入的0.01
t=，
则输出的n=
（A）5 （B）6
（C）7 （D）8
C
2014年7.执行下图的程序框图，若输入的,,
a b k分别为1,2,3，则输出的M=
A.
20
3
B.
16
5
C.
7
2
D.
15
8
D
2013年5、运行如下程序框图，如果输入的[1,3]
t∈-，则输出s属于
A.[-3,4]
B.[-5,2]
C.[-4,3]
D.[-2,5]
A
2012年
（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数
和实数，输出,A B ，则
（ ）
()A A B +为的和 ()
B 为的算术平均数 ()
C A 和B 分别是中最大的数和最
小的数
()D A 和B 分别是中最小的数和最
大的数
C
2011年
（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 （A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040
B
十二、圆锥曲线：
7年14考，每年2题！太稳定了！太重要了！！全国卷注重考查基础知识和基本概念，综合一点的小题侧重考查圆锥曲线与直线位置关系，多数题目比较单一． 年份 题目 答案
2017年 （10）已知F 为抛物线2
:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
A
(2)N N ≥12,,...,n a a a 12,,...,n a a a 2
A B
+12,,...,n a a a 12,,...,n a a a 12,,...,n a a a
（,) 66
十三、函数：
6年15考，可见其重要性！主要考查：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、导数、切线、定积分、零点等，分段函数是重要载体！绝对值函数也是重要载体！函数已经不是值得学生“恐惧”的了吧？
（8）若1a b >>，01c <<，则
最大值是______.
（10）已知函数
1
()
ln(1)
f x
x x
=
+-
；则()
y f x
=的图象大致为1
十四、排列组合二项式定理：
6年6考，二项式定理出现较多，这一点很合理，因为排列组合可以在概率统计和分布列中考查．排列组合考题的难度不大，无需投入过多时间（无底洞），而且排列组合难题无数，只要处理好分配问题及掌握好分类讨论思想即可！二项式定理“通项问题”出现较多.
十五、三角函数大题和数列大题：
在全国Ⅰ卷中每年只考一个，不考的那一个一般用两道或三道小题代替．三角函数大题侧重于考解三角形，重点考查正、余弦定理，小题中侧重于考查三角函数的图象和性质．数列一
2014年
17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，
11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.
(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；
（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由. 解：(Ⅰ)由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减
()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-= ……6分 （Ⅱ）由题设1a =1，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由(Ⅰ)知31a λ=+ 假设{n a }为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=； 证明4λ=时，{n a }为等差数列：由24n n a a +-=知
数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为4的等差数列2143m a m -=- 令21,n m =-则1
2
n m +=
，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =-
令2,n m =则2
n
m =
，∴21n a n =-(2)n m = ∴21n a n =-（*n N ∈），12n n a a +-=
因此，存在存在4λ=，使得{n a }为等差数列. ………12分
2013年
17、（本小题满分12分）
如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点， ∠BPC ＝90°
(1)若PB=1
2，求PA ；
(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠P BA
解：（Ⅰ）由已知得，∠PBC=o 60，∴∠PBA=30o ，在△PBA 中，由余弦定理
得2PA =o 11323cos3042+-⨯⨯=74
，∴PA=72；
（Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得，PB=sin α，在△PBA 中，由正弦定理得，
o o 3sin sin150sin(30)α
α=
-，化简得，3cos 4sin αα=， ∴tan α=
34，∴tan PBA ∠=34
. 2012年
（17）（本小题满分12分）
已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，
cos 3sin 0a C a C b c +--=
（1）求A （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c ． 解：（1）由正弦定理得：
cos 3sin 0
sin cos 3sin sin sin sin a C a C b c A C A C B C
+--=⇔-=+
十六、立体几何大题：
7年7考，每年1题．第1问多为证明垂直问题，第2问多为求三种角的某种三角函数值.
18.（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且.
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ，，求二面角A -PB -C 的余弦值. （1）证明：
,
又,PA 、PD 都在平面PAD 内， 故而可得．
又AB 在平面PAB 内，故而平面PAB ⊥平面PAD ． （2）解：
不妨设，
以AD 中点O 为原点，OA 为x 轴，OP 为z 轴建立平面直角坐标系． 故而可得各点坐标：，
因此可得，
假设平面的法向量，平面的法向量，
故而可得，即，
同理可得，即． 因此法向量的夹角余弦值：． 所以所求二面角的余弦值为33
-
． 90BAP CDP ∠=∠=90APD ∠=//,AB CD CD PD AB PD ⊥∴⊥,AB PA PA PD P ∴⊥⋂=AB PAD ⊥2PA PD AB CD a ====()()(
)()
0,0,2,2,0,0,2,2,0,2,2,0P a A a B
a a C a a -(
)
(
)(
)
2,0,2,2,2,2,2,2,2PA a a PB a a a PC a a a =
-=
-=--PAB ()1,,1n x y =PBC ()2,,1n m n =112201
22200n PA ax a x n PB ax ay a y ⎧⋅=-=⇒=⎪⎨⋅=--=⇒=⎪⎩()11,0,1n =2222200
222202
n PC am an a m n PB am an a n ⎧⋅=-+-=⇒=⎪⎨⋅=+-=⇒=⎪⎩220,,12n ⎛⎫
= ⎪ ⎪
⎝⎭1213cos ,3
3
22
n n <>=
=
⋅
（18）（本题满分为12分）
如图，在已A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中， 面ABEF 为正方形，
AF =2FD ，90AFD ∠=，
且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60． （I ）证明平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值.
(I)证明:∵ABEF 为正方形，
∴AF EF ⊥.…………1分 ∵90AFD ∠=︒，
∴AF DF ⊥.…………2分 又∵=DF
EF F ，
∴AF ⊥面EFDC .…………3分 又AF ⊂面ABEF ，
∴平面ABEF ⊥平面EFDC .…………4分
（II ） 由⑴知
60DFE CEF ∠=∠=︒…………5分
∵AB EF ∥
AB ⊄平面EFDC
EF ⊂平面EFDC
∴AB ∥平面ABCD AB ⊂平面ABCD
∵面ABCD 面EFDC CD =
∴AB CD ∥
F
E
D
C
B
A
∴CD EF ∥
∴四边形EFDC 为等腰梯形…………6分 以E 为原点，如图建立坐标系，设FD a =
()
()000020E B a ，，，， ()3022022a C a A a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，，，，…………7分
()020EB a =，，，3222a BC a a ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，()200AB a =-，，…………8分 设面BEC 法向量为()m x y z =，，. 00
m EB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111203
2022
a y a x ay a z ⋅=⎧⎪
⎨⋅-+⋅=⎪⎩ 111301x y z ===-，， (
)
301m =
-，，…………9分
设面ABC 法向量为()222n x y z =，， =00
n BC n AB ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩.即2222
32022
20a x ay az ax ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩ 222034x y z ===，， ()
034n =，，…………10分
设二面角E BC A --的大小为θ.
4219
cos 19
31316
m n m n
θ⋅-=
=
=-
+⋅+⋅…………11分 ∴二面角E BC A --的余弦值为219
19
-
…………12分
2015年 （18）如图，，四边形ABCD 为菱形，∠
ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC ．
（1）证明：平面AEC ⊥平面AFC ；
（2）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．
2014年
19. (本小题满分12分)如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥. (Ⅰ) 证明：1AC AB =；
（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB=BC 求二面角111A A B C --的余弦值.
解：(Ⅰ)连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C 1BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，
所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO ⊥又 1B O CO =，故
1AC AB = ………6分
（Ⅱ）因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以AO=CO 又因为AB=BC ，所以
BOA BOC ∆≅∆，故O A ⊥OB
，从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直． 以O 为坐标原
点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz ． 因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形．又AB=BC ，则
30,0,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭，()1,0,0B ，130,,03B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,,03C ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭ 1330,,33AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1131,0,,3A B AB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭1131,,03B C BC ⎛⎫
==-- ⎪ ⎪⎝⎭
设(),,n x y z =是平面的法向量，则11100n
AB n
A B ⎧=⎪⎨
=⎪⎩，即33
03330
3y z x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，
所以可取()
1,3,3n =设m 是平面的法向量，则11110
m A B n B C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，同理可取
()
1,3,3m =-，则1
cos ,7n m n m n m
=
=
，所以二面角111A A B C --的余弦值为17
. 18、（本小题满分分）
如图，三棱柱中，CA=CB ，AB=A A
又∵面ABC ⊥面11ABB A ，面ABC ∩面
11ABB A =AB ，∴EC ⊥面11ABB A ，∴EC ⊥1EA ，∴EA ，EC ，1EA 两两相互垂直，以E
为坐标原点，EA 的方向为x 轴正方向，|EA |为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，
有题设知A(1,0,0),1A (0,3,0),C(0,0,3),B(－1,0,0),则BC =（1,0，3）,
1BB =1AA =(－1,0,3),1AC =(0,－
3,3), ……9分 设n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向量，
则100BC BB ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩n n ，即3030
x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，可取n =（3，1，-1）， ∴1
cos ,AC n =1
1|
AC AC •n |n ||105， ∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为
10
5
. ……12分 2012年
（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，
11
2
AC BC AA ==
， D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1
（1）证明：BC DC ⊥1
（2）求二面角11C BD A --的大小．
解:（1）在Rt DAC ∆中，AD AC = 得：
45ADC ︒∠= 同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=
得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥
取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H 1111111AC B C C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥ 得：点H 与点D 重合 且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角 设AC a =，则122
a
C O =
，1112230C D a C O C DO ︒==⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒.
2011年
(18)(本小题满分12分)
如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四
边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；
(Ⅱ)若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值．
解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=, 由余弦定理得3BD AD =
从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故PA ⊥BD
（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则
()1,0,0A ,()03,0B ，,()
1,3,0C -,()0,0,1P ．
(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-
设平面PAB 的法向量为n=（x,y,z ），则
由00n AB n PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩得 3030
x y y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩,因
此可取(3,1,3)n =
设平面PBC 的法向量为m ，
n=
27
7年7考，每年1题．第1问多为统计问题，第2问多为分布列、期望计算问题；特点：实际生活背景在加强．冷点：回归分析，独立性检验．但2015年课标全国Ⅰ已经非常灵活地考了回归分析，独立性检验在2010年课标卷考过，估计近年不会再考回归分析，可能会在求分布列上设计应用情景．有人说，理科的概率分布列应该属于创新行列．我不这么认为，概率与分布列不是追求创新，而是追求与实际的完美结合．概率不是新颖，而是力求联系实际，与实际问题相吻合．但苦于找不到合适的案例，所以有时会事与愿违，但命题人员的初衷却是如此，概率的初衷不是创新，而是应用，目标是贴近生活、背景公平、控制难度．
剔除数据之后
（19）（本小题满分12分）
某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
（19）（本小题满分12分）
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）
对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费1x 和年销售量1y （i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
x y ω
8
2
1
()
i
i x x =-∑
8
2
1
()i
i ω
ω=-∑
81
()()i
i
i x x y y =--∑
8
1
()()i
i i y y ω
ω=--∑
46.6 563
6.8 289.8
1.6
1469
108.8
表中i i x ω=，8
1
18
i i ωω==∑.
（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与,x y 的关系为0.2z y x =-．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i ） 年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）
年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，…，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
2014年18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s（同一组数据用该区间
的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布
2
Nμδ，其中μ近似为样本平均数x，2δ近似为样本方差2s.
(,)
一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取
18.（本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，
如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n N ∈）的函数解析式．
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；
（ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
解：（1）当16n ≥时，16(105)80y =⨯-=， 当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-，
得：1080(15)()80(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩
（2）（i ）X 可取60，70，80
(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ====== X 的分布列为
X 60 70 80 P
0.1
0.2
0.7
（19）（本小题满分12分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
解：（Ⅰ）由实验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为228
=0.3
100
+
，所以用
A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．
十八、函数与导数大题：
函数与导数大题6年6考，每年1题．第1问一般考查导数的几何意义，第2问考查利用导数讨论函数性质．函数载体上：无论文科理科，基本放弃纯3次函数，对数函数很受“器重”！指数函数也较多出现！两种函数也会同时出现！（2014年全国Ⅰ卷）．全国Ⅰ卷第2问：2015年讨论函数零点，2014年证明不等式，2013年、2012年、2011年都是不等式恒成立问题．但是，无论怎么考，讨论单调性永远是考查的重点，而且紧紧围绕分类整合思想的考查．在考查分离参数还是考查不分离参数上，命题者会大做文章！分离（分参）还是不分离（部参），的确是一个问题！！一般说来，主要考查不分离问题（部参）．另外，函数与方程的转化也不容忽视，如函数零点的讨论．函数题设问灵活，多数考生做到此题，时间紧，若能分类整合，抢一点分就很好了．还有，灵活性问题：有些情况下函数性质是不用导数就可以“看出”的，如增函数+增函数=增函数，复合函数单调性，显然成立的不等式，放缩法等等，总之，导数是很重要，但是有些解题环节，不要“吊死”在导数上，不要过于按部就班！还有，数形结合有时也是可以较快得到答案的，虽然应为表达不严谨不得满分，但是在时间紧的情况下可以适当使用．导数题强调用，用就是导数的应用，即用导数来研究函数的单调性与极值．主要包括：导数的几何意义、导数与函数的单调性、极值、用导数解决不等式问题、恒成立问题、分离参数以及式子的变形与调整、构造函数等等．在命题的载体上，即使用何种函数上，命题者的函数是如何构造出来的？首先确定是多项式函数、还是指对函数、分式函数、根式函数，指对函数是单独的指。