2019届高考数学二轮复习专题三不等式第1讲三个“二次”的问题学案

第1讲 三个“二次”的问题

1.“三个二次”在历年高考中都有考查，体现出二次函数、二次方程和二次不等式之间有密不可分的联系，即函数的研究离不开方程和不等式；方程和不等式的解的讨论同样要结合函数的图象和性质．

2.主要涉及的题型有：一是求二次函数的解析式；二是求二次函数的值域或最值，考查二次函数和一元二次方程、一元二次不等式的综合应用；三是考查一元二次不等式的解法及“三个二次”间的关系问题；四是从实际情景中抽象出一元二次不等式模型；五是以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题．

1.不等式(1＋x)(1－x)>0的解集是________． 答案：{x|－1<x<1}

解析：原式可化为(x ＋1)(x －1)<0，所以不等式的解集为－1<x<1.

2. (2018·海安第一次学业质量测试)关于x 的不等式x ＋a

x

＋b ≤0(a ，b ∈R )的解集为{x |3≤x ≤4}，

则a ＋b 的值为________．

答案：5

解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3＋a

3＋b ＝0，4＋a 4

＋b ＝0，解得⎩

⎪⎨⎪

⎧a ＝12，b ＝－7，所以a ＋b ＝5.

3. (2018·镇江期末)已知函数f(x)＝x 2

－kx ＋4，对任意的x ∈[1，3]，不等式f(x)≥0恒成立，则

实数k 的最大值为________．

答案：4

解析：由题意知x 2

－kx ＋4≥0，x ∈[1，3]，所以k ≤x ＋4x 对任意的x ∈[1，3]恒成立．因为x ＋4x

≥

4(当且仅当x ＝2时取等号)，所以k ≤4，故实数k 的最大值为4.

4. (2018·昆山中学月考)不等式x 2－2x ＋5≥a 2

－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．

答案：[－1，4]

解析：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2

－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.

,一)一元二次不等式的求解

,1)已知f(x)＝－3x 2

＋a(6－a)x ＋b. (1)解关于a 的不等式f(1)＞0；

(2)当不等式f(x)＞0的解集为(－1，3)时，求实数a ，b 的值．

解：(1) f(1)＝－3＋a(6－a)＋b ＝－a 2

＋6a ＋b －3.

因为f(1)＞0，所以a 2

－6a ＋3－b ＜0.

Δ＝24＋4b ，当Δ≤0，即b ≤－6时，f(1)＞0的解集为∅； 当Δ＞0，即b ＞－6时，3－b ＋6＜a ＜3＋b ＋6，

所以b ＞－6时，f(1)＞0的解集为{a|3－b ＋6＜a ＜3＋b ＋6}．

(2)因为不等式－3x 2

＋a(6－a)x ＋b ＞0的解集为(－1，3)，

所以⎩

⎪⎨⎪⎧2＝a （6－a ）3，

－3＝b －3

，

解得⎩⎨

⎧a ＝3±3，

b ＝9.

(2018·苏北四市一模)已知函数f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧2－|x ＋1|，x≤1，

（x －1）2，x ＞1.若函数g(x)＝f(x)＋f(－x)，则不等式

g(x)≤2的解集为________.

答案：[－2，2]

解析：f(x)＝⎩⎪⎨⎪

⎧3＋x ，x ＜－1，

－x ＋1，－1≤x≤1，

（x －1）2，x>1，

所以f(－x)＝⎩⎪⎨⎪

⎧（x ＋1）2，x<－1，x ＋1，－1≤x≤1，

－x ＋3，x ＞1，

所以g(x)＝f(x)＋f(－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋3x ＋4，x<－1 ①，2，－1≤x≤1 ②，x2－3x ＋4，x>1 ③.

由不等式g(x)≤2，解得①⎩⎪⎨⎪

⎧x<－1，x2＋3x ＋4≤2⇒－

2≤x<－1；②⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤1，2≤2⇒－1≤x ≤1；③⎩

⎪⎨⎪

⎧x>1，x2－3x ＋4≤2⇒1<x ≤2.

综上所述，不等式g(x)≤2的解集为[－2，2]．

,二)二次函数与二次不等式

,2)(2018·北京朝阳统考)已知函数f(x)＝x 2

－2ax －1＋a ，a ∈R .

(1)若a ＝2，试求函数y ＝f （x ）

x

(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0，2]，不等式f (x )≤a 恒成立，试求a 的取值范围．

解：(1)依题意得y ＝f （x ）x ＝x2－4x ＋1x ＝x ＋1

x －4.

因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1

x

，即x ＝1时，等号成立．

所以y ≥－2.

所以当x ＝1时，y ＝f （x ）

x 的最小值为－2.

(2)因为f (x )－a ＝x 2

－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0，2]，不等式f (x )≤a 恒成立”，

只要“x 2

－2ax －1≤0在[0，2]上恒成立”．

不妨设g (x )＝x 2

－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0，2]上恒成立即可．

所以⎩⎪⎨

⎪⎧g （0）≤0，g （2）≤0，

即⎩⎪⎨

⎪⎧0－0－1≤0，

4－4a －1≤0，

解得a ≥34

，则a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭

⎪⎫34

，＋∞.

已知函数g (x )＝ax 2

－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f (x )＝g (|x |)． (1)求实数a ，b 的值；

(2)若不等式f (log 2k )>f (2)成立，求实数k 的取值范围；

(3)定义在[p ，q ]上的一个函数m (x )，用分法T ：p ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝q 将区间[p ，q ]任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数M >0，使得和式 错误!f(x i )＝f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x n ))

解：(1) g(x)＝a(x －1)2

＋1＋b －a ，

因为a>0，所以g(x)在区间[2，3]上是增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧g （2）＝1，g （3）＝4，解得⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. (2)由已知可得f(x)＝g(|x|)＝x 2

－2|x|＋1为偶函数， 所以不等式f(log 2k )>f (2)可化为|log 2k |>2，

解得k >4或0<k <14

，