高考数学《古典概型》基础知识与练习题(含答案解析)

高考数学《古典概型》基础知识与练习题（含答案解析）

一、基础知识：

1、基本事件：一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件。例如：在扔骰子的试验中，向上的点数1点，2点，……，6点分别构成一个基本事件

2、基本事件空间：一次试验，将所有基本事件组成一个集合，称这个集合为该试验的基本事件空间，用Ω表示。

3、基本事件特点：设一次试验中的基本事件为12,,,n A A A

（1）基本事件两两互斥

（2）此项试验所产生的事件必由基本事件构成，例如在扔骰子的试验中，设i A 为“出现i 点”，事件A 为“点数大于3”，则事件456A A A A =

（3）所有基本事件的并事件为必然事件 由加法公式可得：()()()()()1

2

12n n P P A A A P A P A P A Ω==+++

因为()1P Ω=，所以()()()121n P A P A P A ++

+=

4、等可能事件：如果一项试验由n 个基本事件组成，而且每个基本事件出现的可能性都是相等的，那么每一个基本事件互为等可能事件。

5、等可能事件的概率：如果一项试验由n 个基本事件组成，且基本事件为等可能事件，则基本

证明：设基本事件为12,,

,n A A A ，可知()()()12n P A P A P A ==

=

()()()121n P A P A P A +++= 6、古典概型的适用条件：

（1）试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个 （2）每个基本事件出现的可能性相等

当满足这两个条件时，事件A 发生的概率就可以用事件A 所包含的基本事件个数()n A 占基

7、运用古典概型解题的步骤：

① 确定基本事件，一般要选择试验中不可再分的结果作为基本事件，一般来说，试验中的具体

结果可作为基本事件，例如扔骰子，就以每个具体点数作为基本事件；在排队时就以每种排队情况作为基本事件等，以保证基本事件为等可能事件 ② ()(),n A n Ω可通过计数原理（排列，组合）进行计算

③ 要保证A 中所含的基本事件，均在Ω之中，即A 事件应在Ω所包含的基本事件中选择符合条件的

二、典型例题：

例1：从16−这6个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另外两个数的和的概率为________ 思路：事件Ω为“6个自然数中取三个”，所以()3

620n C Ω==，事件A 为“一个数是另外两

个数的和”，不妨设a b c =+，则可根据a 的取值进行分类讨论，列举出可能的情况：

{}{}{}{}{}{}3,2,1,4,3,1,5,4,1,5,3,2,6,5,1,6,4,2，所以()6n A =。进而计算出

()()()

3

10

n A P A n =

=

Ω 答案：

310

例2：从集合{}1,1,2A =−中随机选取一个数记为k ，从集合{}2,1,2B =−中随机选取一个数记为b ，则直线y kx b =+不经过第三象限的概率为（ ） A.

29 B. 13 C. 49 D. 59

思路：设Ω为“,k b 的所有组合”，则()339n Ω=⨯=，设事件A 为“直线y kx b =+不经过第三象限”，则要求0,0k b <>，所以()122n A =⨯=，从而()()()

2

9

n A P A n ==

Ω 答案：A

例3：袋中共有7个大小相同的球，其中3个红球，2个白球，2个黑球。若从袋中任取三个球，则所取3个球中至少有两个红球的概率是（ ） A.

435 B. 1335 C. 18

35

D. 2235

思路：设Ω为“袋中任取三球”，则()3

735n C Ω==，设事件A 为“至少两个红球”，所以

()2

133

4

3

13n A C C C =+=，从而()()()

1335

n A P A n =

=

Ω 答案：B

例4：设函数()()11

x

f x ax x x =+

>−，若a 是从0,1,2三个数中任取一个，b 是从1,2,3,4,5五个数中任取一个，那么()f x b >恒成立的概率是（ ） A.

35 B. 715 C. 25 D. 12

思路：设事件Ω为“,a b 从所给数中任取一个”，则()3412n Ω=⨯=，所求事件为事件A ，要计算A 所包含的基本事件个数，则需要确定,a b 的关系，从恒成立的不等式入手，()f x b >恒成立，只需()min f x b >，而()()1

1111

x f x ax a x a x x =+

=−+++−−，当0a ≠时，

()1

11111a x a a a x −+

++≥++=+−，所以当

()1

111a x x x −=⇒=+−时，())

2

min 11f x a =+=

，所以

)

2

1b +>，

得到关系后即可选出符合条件的(),a b ：()()()()()1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,

()()()2,3,2,4,2,5共8个，当0a =时， ()1

111

f x x =+

>−，所以()0,1符合条件，综上可得()9n A =，所以()()

()35

n A P A n ==Ω 答案：A

例5：某人射击10次击中目标3次，则其中恰有两次连续命中目标的概率为（ ） A.

715 B. 12 C. 38 D. 310

思路：考虑设Ω为“10次射击任意击中三次”，则()3

10120n C Ω==，设事件A 为“恰有两次连续命中”，则将命中分为两次连续和一次单独的，因为连续与单独的命中不相邻，联想到插空

法，所以()22

8256n A C A ==（剩下七个位置出现八个空，插入连续与单独的，共有2

8C 种，然

后要区分连续与单独的顺序，所以为2

2

82C A ），从而()()()

7

15

n A P A n =

=

Ω 答案：A

例6：已知甲袋装有6个球，1个球标0,2个球标1，3个球标2；乙袋装有7个球，4个球标0,1个球标1,2个球标2，现从甲袋中取一个球，乙袋中取两个球，则取出的三个球上标有的数