分组分解法
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§分组分解法
例1 把多项式 6ax 3ay 2bx by分解因式． 【分析】这是一个四项式，它的各项没有公
因式，而且也没有供四项式作分解的公式可
用，所以用这些基本方法都无法直接达到分 解的目的．但是，如果分组后在局部分别分 解，就可以创造整体分解的机会．
例1 把多项式 因式．
【解法一】 ＝ ＝ ＝ 【解法二】 ＝ ＝ ＝
＝ ( x 2 y)[m ( x 2 y)]
( x 2 y)(m x 2 y)
例3把多项式 分解因式．
2-2ab+b2-c2 a
【分析】观察多项式，前 三项符合完全平方公式．
练习: 把下列各式因式分解: 2-b2+6a-3b (1)4a 2-6m+2n-n2 (2)9m (3)x2-y2-z2+2yz 2-4xy+4y2+2x-4y (4)x
【注意】 (1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新 的公因式，这是正确分组的关键，因此，设计分组 方案是否有效要有预见性. (2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会 使分解过程简单. (3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有“－ ”号的括号时，括号内每项的符号都要改变. (4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有 直接达到分解的目的．
6ax 3ay 2bx by 分解
6ax 3ay 2bx by (6ax 3ay) (2bx by) 3a(2 x y) b(2 x y) (2 x y)(3a 2b)
6ax 3ay 2bx by (6ax 2bx) (3ay by) 2 x(3a b) y(3a b) (3a 2b)( 2 x y)
＝(1＋x)(mx－n)
分解因式：
(1)ac+bc+2a+2b (2)3a-ax-3b+bx (3)2ax-10ay+5by-bx (4)5ax+6by+5ay+6bx
分解因式a3－a2b－ab2＋b3．
【解法一】a3－a2b－ab2＋b3 ＝(a3－a2b)－(ab2－b3) ＝a2(a－b)－b2(a－b) ＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b) 【解法二】a3－a2b－ab2＋b3 ＝(a3－ab2)－(a2b－b3) ＝a(a2－b2)－b(a2－b2) ＝(a2－b2)(a－b) ＝(a－b)2(a＋b)
小 结
常见题型有：
1．分组后可以直接提公因式． 2．分组后能利用公式． (1)能利用平方差公式
(2)能利用完全平方公式
(1) x 7 x 10
2
(2)a 2a 8
2
(3)a b 7ab 12
2Βιβλιοθήκη Baidu2
(a＋2b)2－10(a＋2b)＋21
(x2＋2x)2－2(x2＋2x)－3．
分解因式：
2x＋a2y＋b2x＋b2y (1)a 2－n－nx (2)mx＋mx
【解】a2x＋a2y＋b2x＋b2y
＝(a2x＋a2y)＋(b2x＋b2y) ＝a2(x＋y)＋b2(x＋y) ＝(x＋y)(a2＋b2) 【解】 mx＋mx2－n－nx ＝(mx＋mx2)－(n＋nx) ＝mx(1＋x)－n(1＋x)
例2 把多项式 mx 2my x 4 xy 4 y 分解因
2 2
【分析】观察多项式，前两项有公因式，后三 项符合完全平方公式． 【解】 ＝
mx 2my x 2 4 xy 4 y 2
(mx 2my) ( x 2 4 xy 4 y 2 )
＝
＝
m( x 2 y) ( x 2 y) 2
2 2
把下列各式分解因式：
x a 2ab b
2 2
2
a a b ab b
3 2 2
3
4x 4x 1 y
2
2
4n m 6m 9 2-y2+ax+ay x
2 2
pq p q 1
练
习
把下列各式分解因式：
2-x2-y2)2-4x2y2 10.(z
方法
分类
分组方法
特点 ①按字母分组②按系 数分组③符合公式的 两项分组 先完全平方公式后平 方差公式 各组之间有公因式 各组之间有公因式 可化为二次三项式
二项、二项
四项 分 组 分 解 法 三项、一项 五项 三项、二项 三项、三项 二项、二项、二项 三项、二项、一项
六项
范例 例3.已知 x y 4 x 8 y 20 0 ， y 求 x 的值。
注意，分解的 结果中，如果有相 同的因式，要写成 乘方的形式．本题 的结果不要写成 (a－b)(a－b)(a＋b)．
试一试，将下列多项式分解因式 （1）p-q+k(p-q)
（2）5m(a+b)-a-b （3）ac-bc+2a-2b （4）3a-ax-3b+bx （5）m2-5n-mn+5m （6）4x2+3z-3xz-4x （7）ax-bx-ay+by+az-bz （8）2x2+4xy-6ax+3a-x-2y
例1 把多项式 6ax 3ay 2bx by分解因式． 【分析】这是一个四项式，它的各项没有公
因式，而且也没有供四项式作分解的公式可
用，所以用这些基本方法都无法直接达到分 解的目的．但是，如果分组后在局部分别分 解，就可以创造整体分解的机会．
例1 把多项式 因式．
【解法一】 ＝ ＝ ＝ 【解法二】 ＝ ＝ ＝
＝ ( x 2 y)[m ( x 2 y)]
( x 2 y)(m x 2 y)
例3把多项式 分解因式．
2-2ab+b2-c2 a
【分析】观察多项式，前 三项符合完全平方公式．
练习: 把下列各式因式分解: 2-b2+6a-3b (1)4a 2-6m+2n-n2 (2)9m (3)x2-y2-z2+2yz 2-4xy+4y2+2x-4y (4)x
【注意】 (1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新 的公因式，这是正确分组的关键，因此，设计分组 方案是否有效要有预见性. (2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会 使分解过程简单. (3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有“－ ”号的括号时，括号内每项的符号都要改变. (4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有 直接达到分解的目的．
6ax 3ay 2bx by 分解
6ax 3ay 2bx by (6ax 3ay) (2bx by) 3a(2 x y) b(2 x y) (2 x y)(3a 2b)
6ax 3ay 2bx by (6ax 2bx) (3ay by) 2 x(3a b) y(3a b) (3a 2b)( 2 x y)
＝(1＋x)(mx－n)
分解因式：
(1)ac+bc+2a+2b (2)3a-ax-3b+bx (3)2ax-10ay+5by-bx (4)5ax+6by+5ay+6bx
分解因式a3－a2b－ab2＋b3．
【解法一】a3－a2b－ab2＋b3 ＝(a3－a2b)－(ab2－b3) ＝a2(a－b)－b2(a－b) ＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b) 【解法二】a3－a2b－ab2＋b3 ＝(a3－ab2)－(a2b－b3) ＝a(a2－b2)－b(a2－b2) ＝(a2－b2)(a－b) ＝(a－b)2(a＋b)
小 结
常见题型有：
1．分组后可以直接提公因式． 2．分组后能利用公式． (1)能利用平方差公式
(2)能利用完全平方公式
(1) x 7 x 10
2
(2)a 2a 8
2
(3)a b 7ab 12
2Βιβλιοθήκη Baidu2
(a＋2b)2－10(a＋2b)＋21
(x2＋2x)2－2(x2＋2x)－3．
分解因式：
2x＋a2y＋b2x＋b2y (1)a 2－n－nx (2)mx＋mx
【解】a2x＋a2y＋b2x＋b2y
＝(a2x＋a2y)＋(b2x＋b2y) ＝a2(x＋y)＋b2(x＋y) ＝(x＋y)(a2＋b2) 【解】 mx＋mx2－n－nx ＝(mx＋mx2)－(n＋nx) ＝mx(1＋x)－n(1＋x)
例2 把多项式 mx 2my x 4 xy 4 y 分解因
2 2
【分析】观察多项式，前两项有公因式，后三 项符合完全平方公式． 【解】 ＝
mx 2my x 2 4 xy 4 y 2
(mx 2my) ( x 2 4 xy 4 y 2 )
＝
＝
m( x 2 y) ( x 2 y) 2
2 2
把下列各式分解因式：
x a 2ab b
2 2
2
a a b ab b
3 2 2
3
4x 4x 1 y
2
2
4n m 6m 9 2-y2+ax+ay x
2 2
pq p q 1
练
习
把下列各式分解因式：
2-x2-y2)2-4x2y2 10.(z
方法
分类
分组方法
特点 ①按字母分组②按系 数分组③符合公式的 两项分组 先完全平方公式后平 方差公式 各组之间有公因式 各组之间有公因式 可化为二次三项式
二项、二项
四项 分 组 分 解 法 三项、一项 五项 三项、二项 三项、三项 二项、二项、二项 三项、二项、一项
六项
范例 例3.已知 x y 4 x 8 y 20 0 ， y 求 x 的值。
注意，分解的 结果中，如果有相 同的因式，要写成 乘方的形式．本题 的结果不要写成 (a－b)(a－b)(a＋b)．
试一试，将下列多项式分解因式 （1）p-q+k(p-q)
（2）5m(a+b)-a-b （3）ac-bc+2a-2b （4）3a-ax-3b+bx （5）m2-5n-mn+5m （6）4x2+3z-3xz-4x （7）ax-bx-ay+by+az-bz （8）2x2+4xy-6ax+3a-x-2y