2020年高考数学一轮总复习第六章不等式、推理与证明6_2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件文

跟踪训练 某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车
辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求
租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为( )
A．31 200元
B.36 000元
C．36 800元
D.38 400元
∴kAD＝152－ －21＝－23. ∴直线AD的方程为y－2＝－23(x－1)， 即2x＋3y－8＝0.
考点二|线性目标函数的最值问题 (方法突破) 方法1 平移目标函数线求目标函数的最值
x－y＋1≥0， 【例2】 (2016·高考全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件 x＋y－3≥0，
x－3≤0， 的最小值为________．
组．
用，加强转化与化归和数形结合思想
3．会从实际情境中抽象出一些简单的 的应用意识．本节内容在高考中以选
二元一次线性规划问题，并能加以解 择、填空题的形式进行考查，难度中
决.
低档.
[基础梳理] 1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
2.线性规划中的有关概念
名称
意义
约束条件 由变量x，y组成的 不等式(组)
[解析] 由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2 100x＋900y，线性
1.5x＋0.5y≤150， x＋0.3y≤90， 约束条件为 5x＋3y≤600， x≥0，x∈N*， y≥0，y∈N*，
作出不等式组表示的平面区域(图略)，可知取
得最大值时的最优解为(60,100)，所以zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． [答案] 216 000
所表示的平面区域的面积等于
________．
答案：43
考点一|平面区域及面积问题 (思维突破)
【例 1】 (1)不等式组2x＋x＋y－y－36≥≤00，， 表示的平面区域的面积为(
)
y≤2
A．4 C．5
B.1 D.无穷大
(2)若不等式组xx＋ ＋y2－y－2≤ 2≥0， 0， x－y＋2m≥0
表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则 m
的值为( )
A．－3
B.1
4
C.3
D.3
[解析]
2x＋y－6≤0， (1)不等式组x＋y－3≥0，
y≤2
表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△
ABC 的面积即为所求．求出点 A，B，C 的坐标分别为(1,2)，(2,2)，(3,0)，则△ABC
跟踪训练 在本例(1)中条件不变，若过点A(1,2)的直线将不等式组所表示的平面 区域分成面积相等的两部分，求该直线方程． 解析：由题意可知，A(1,2)，B(2,2)，|AB|＝1， 过点A的直线与BC交于D点， ∴S△ABD＝12，∴D到AB的距离为1， ∴D为BC的中点，∴D52，1，
解得xy＝ ＝2323－＋4323mm，， 即B23－43m，23＋23m. 因为S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝12(2＋2m)·1＋m－23＋23m＝13(m＋1)2＝43，所以m＝1 或m＝－3(舍去)，故选B. [答案] (1)B (2)B
3y的最小值为2，则常数k＝________.
且z＝x＋
x－y＋4≥0， [解析] 作出不等式组 x≤2，
x＋y＋k≥0
所表示的平面区域，如图中阴影部分所
示，由z＝x＋3y，得y＝－
1 3
x＋
z 3
，结合图形可知，当直线y＝－
1 3
x＋
z 3
过点A时，z
最小，联立方程，得
x＝2， x＋y＋k＝0，
3．线性规划应用问题的一般步骤 (1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助 表格或图形理清变量之间的关系． (2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不 等式组和目标函数． (3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)． (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)． (5)检验：根据结果，检验反馈．
(1)z＝
ay＋b cx＋d
其几何意义，z＝
a c
·
y－－ba x－－dc
表示的是可行域内的点(x，y)与点
－dc，－ba组成直线的斜率的ac倍． (2)目标函数形式为z＝(x－a)2＋(y－b)2时，其表示的是可行域内的点(x，y)与点
(a，b)之间的距离的平方；其最值并不一定都是端点与(a，b)之间的距离，也可以 是点(a，b)到边界线的距离．
的面积为 S＝12×(2－1)×2＝1.故选 B.
(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图可知，要使不等式 组表示的平面区域为三角形，则 m>－1.
由xx－＋yy＋－22m＝＝0，0， 解得xy＝ ＝11－ ＋mm， ， 即A(1－m,1＋m)． 由xx－＋y2＋y－2m2＝＝00，，
第二节 二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题
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教材回顾 考点突破
最新考纲
考情考向分析
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等 以画二元一次不等式(组)表示的平面区
式组．
域、目标函数最值的求法为主，兼顾
2．了解二元一次不等式的几何意义， 由最优解(可行域)情况确定参数的范
能用平面区域表示二元一次不等式 围，以及简单线性规划问题的实际应
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解得A(2，－2－k)，此时zmin＝2＋3(－2－k)
＝2，解得k＝－2.
[答案] －2
方法3 转化法求生活中的最优解问题 【例4】 (2016·高考全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种 新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件 产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 ________元．
线性约束条件 由x，y的一次不等式组成的 不等式(组)
目标函数 关于x，y的函数 解析式
线性目标函数 关于x，y的 一次 解析式
可行解 可行域
满足线性约束条件的解(x，y) 所有 可行解 组成的集合
最优解 使目标函数取得 最大值或最小值的可行解
在线性约束条件下求线性目标函数的 线性规划问题 最大值 或 最小值 问题
[三基自测]
1．(必修 5·3.3 练习改编)不等式组xx－－y3＋y＋2≥6<00， 表示的平面区域是(
)
答案：C
4x＋5y≥8， 2．(必修 5·习题 3.3A 组改编)若变量 x，y 满足约束条件1≤x≤3，
0≤y≤2，
则 z＝3x＋
2y 的最小值为( )
A.351
B.6
23
C. 5
D.4
答案：C
－x＋y－2≥0， 3．(必修 5·习题 3.3A 组改编)已知 x，y 满足x＋y－4≤0，
x－3y＋3≤0，
则 z＝－3x＋y 的最
小值为________．
答案：0
4．(必修 5·3.3 练习改编)不等式组xx≥ ＋03， y≥4， 3x＋y≤4
则z＝x－2y
[解析] 作出可行域，如图中阴影部分所示，由z＝x－2y，得y＝12x－12z，作直线y ＝12x并平移，观察可知，当直线经过点A(3,4)时，zmin＝3－2×4＝－5.
[答案] －5
方法2 逆向思维求目标函数的参数值
【例3】 (2018·湖北八校联考)已知x，y满足约束条件 xx－≤y2＋，4≥0， x＋y＋k≥0，
(2)画出不等式组表示的平面区域如图所示，x2＋y2表示平面区域内的点到坐标原 点的距离的平方．由题意知，当以原点为圆心的圆与直线3x＋4y－4＝0相切时， x2＋y2取得最小值，即 x2＋y2＝|－54|＝45，所以(x2＋y2)min＝1265.
[答案]
(1)B
16 (2)25
名师点拨 数形结合法求目标函数的最值
3.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法 确定二元一次不等式(组)表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定 域”的方法． (1)直线定界，不等式含等号，直线在区域内，不含等号，直线不在区域内． (2)特殊点定域，在直线上方(下方)取一点，代入不等式成立，则区域就为上方(下 方)，否则就是下方(上方)．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0 时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．
名师点拨 1.利用一般方法求解： (1)画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，则先利用题目中的已知条件 转化为不等式组问题，再作出平面区域； (2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行 四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三 角形分别求解再求和即可． 2．利用几何意义求解： 利用几何意义求解的平面区域问题，应作出平面图形，利用数形结合的方法求 解．
名师点拨 1.利用线性规划求目标函数最值的步骤 (1)作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任 意一条直线l. (2)平移：将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要进行目标函 数l和可行域边界的斜率的大小比较． (3)求值：解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最 值．
2．线性规划中的参数问题及其求解策略 (1)线性规划中的参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条 件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题． (2)求解策略：解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的 可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优 解，从而确定参数的值．
【例5】
x－y＋5≥0， (1)已知x，y满足条件x＋y≥0，
x≤3，
则z＝yx－ ＋13的最大值为(
)
A．2
B.3
C．－23
D.－53
(2)已知x，y满足约束条件x3≥x＋0， 4y≥4， y≥0，
则x2＋y2的最小值是________．
[解析] (1)作出可行域(图略)，问题转化为区域上哪一点与点M(－3,1)连线斜率最 大，观察知点A－52，52，使kMA最大，zmax＝kMA＝－52－ 52＋13＝3.故选B.
解析：设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1 600x＋2 400y，则约束条件 36x＋60y≥900， x＋y≤21，
为y－x≤7， x，y∈N，
作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值zmin＝ 36 800(元)．故选C. 答案：C
考点三|数形结合法求目标函数的最值 (方法突破)