高中数学第1讲坐标系第3节柱坐标系与球坐标系省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件

θ， θ，
z＝z.
22/48[变式训练Fra bibliotek 1.根据下列点的柱坐标，分别求其直角坐
标：
(1)(2,0，－2)；(2)(π，π，π)；(3)3，32π，1 解析： 设点的直角坐标为(x，y，z)．
(1)∵(ρ，θ，z)＝(2,0，－2)，
x＝2cos0＝2 ∴y＝2sin0＝0，
z＝－2
∴(2,0，－2)为所求．
[思绪点拨] ①建立极坐标系 ②依据题意求出A极坐标 [解题过程] 点A的柱坐标为203，1176π，2.8.
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[规律方法] 找空间中一点柱坐标，与找平面极坐标是类 似，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即 点在空间中高度．
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[变式训练] 4.经过若干个固定和流动地面遥感观察站监 测，并经过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为 75°.试建立适当坐标系，确定出此时航天器坐标．
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2．柱坐标系 如图所表示，建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意 一点．它在Oxy平面上射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点 Q在平面Oxy上极坐标，这时点P位置可用有序数组(ρ，θ， z)(z∈R)表示．
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这么，建立了空间点与____有__序__数__组__(ρ_，__θ_，__z_)_之间一个对 应 关 系 ． 把 建 立 上 述 对 应 关 系 坐 标 系 叫 做 _ _ _柱_ _坐_标_ _系_ _ ， 有__序__数__组__(_ρ_，__θ_，__z_)___叫做点P柱坐标，记作___P_(_ρ_，__θ_，__z_)，其 中ρ≥0,0≤θ<2π，－∞<z<＋∞.
解析： 在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O为端 点且与零子午线相交射线Ox为极轴，建立球坐标系．由已知航 天器位于经度80°处，可知θ＝80°.由航天器位于纬度75°处可知 φ＝90°－75°＝15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米可知r＝2 384＋6 371＝8 755千米．
C．2，54π，π4
D．2，34π，π4
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解析：
利用公式xy＝＝rrssiinn
φcos φsin
θ， θ，
z＝rcos φ，
进行转化：r＝ x2＋y2＋z2＝2.cos φ＝ r2＝ 22，∴φ＝π4. tan θ＝yx＝1，∴θ＝54π.
答案： B
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3．设点M的柱坐标为 2，π6，7 ，则它的直角坐标为
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[规律方法] 化点M的直角坐标(x，y，z)为柱坐标(ρ，θ，z)
或球坐标(r，φ，θ)，需要对公式
xy＝ ＝ρρcsions
θ θ
z＝z
以及
x＝rsin φcos θ y＝rsin φsin θ z＝rcos φ
ρ＝ x2＋y2
进行逆向变换，得到
tan
θ＝xyx
z＝z
以及
r＝ x2＋y2＋z2
B．2，23π，3 D．2，53π，3
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解析：
由直角坐标与柱坐标变换公式xy＝ ＝ρρcsions
θ， θ，
z＝z，
ρ＝2，
得θ＝43π， z＝3，
即柱坐标为2，43π，3.
答案： C
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2．设点M的直角坐标为(－1，－1， 2 )，则它的球坐标
为( )
A．2，π4，π4
B．2，π4，54π
y＝2sin
3π 4 sin
34π＝1，
z＝2cos 34π＝－ 2.
∴直角坐标为(－1,1，－ 2)．
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课堂讲义
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由点柱坐标求直角坐标
根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标： (1)2，56π，3；(2) 2，π4，5. [思路点拨] 知点的柱坐标，欲求其直角坐标，利用互换 公式即可． 柱坐标 y＝xρ＝―sinρ―cθo→，s θz＝z 直角坐标
∴y＝ρsin θ＝ 2sin π4＝1，
z＝5，
∴(1,1,5)为所求．
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[规律方法] 点(ρ，θ，z)是三维空间坐标中的点的柱坐 标，在平面xOy中实际为极坐标系，且ρ≥0,0≤θ<2π，在竖直方 向上z为任意实数．化点的柱坐标(ρ，θ，z)为直角坐标(x，y，
z)，需要运用xy＝＝ρρcsions
∴346，34 2， 26为所求．
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[规律方法] 首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角φ，θ的 边与数轴Oz，Ox的关系及其限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ<2π，化 点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式
xy＝＝rrssiinn
φcos φsin
θ， θ，
z＝rcos φ.
[思路点拨] 直角坐标
球坐标 x＝rsin φcozs＝θ―，―rcyo→＝sφrsin φsinθ，
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[解题过程] 设点的直角坐标为(x，y，z)， (1)∵(r，φ，θ)＝2，34π，54π，
x＝rsin φcos θ＝2sin
3π 4 cos
54π＝－1，
∴y＝rsin φsin θ＝2sin
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[变式训练] 2.根据下列点的球坐标，分别求直角坐标．
(1)2，π6，π3；(2)2，π4，74π. 解析： 设点的直角坐标为(x，y，z)． (1)∵(r，φ，θ)＝2，π6，π3，
x＝rsin φcos θ＝2sin
π 6cos
π3＝12，
∴y＝rsin φsin θ＝2sin
π 6sin
π3＝
23，
z＝rcos φ＝2cos π6＝ 3，
∴12， 23， 3为所求．
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(2)∵(r，φ，θ)＝2，π4，74π，
x＝rsin φcos θ＝2sin
π 4cos
74π＝1，
∴y＝rsin φsin θ＝2sin
π 4sin
74π＝－1，
z＝rcos φ＝2cos π4＝ 2，
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[解题过程] 点C1的直角坐标为(1,1,1)，设点C1的柱坐标 为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，其中ρ≥0，r≥0,0≤φ≤π， 0≤θ<2π，
由公式xy＝ ＝ρρcsions θθ，， z＝z，
且xy＝＝rrssiinn
φcos φsin
θ， θ，
z＝rcos φ，
ρ＝ x2＋y2，
柱 坐 标 系 又 称 半 极 坐 标 系 ， 它 是 由 _ _ _平_ _面_ 极_ _坐_ _标_ _系_ _ 及 _空__间__直__角__坐__标__系_____中一部分建立起来．
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3．球坐标系 建立如图所表示空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一 点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹角为φ.设P在Oxy 平面上射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过 _ _ _最_小_ _正_角_ _ _ 为 θ . 这 么 点 P 位 置 就 能 够 用 有 序 数 组 _(_γ_，__φ_，__θ_)_____ 表示．
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[解题过程] 设点的直角坐标为(x，y，z)．
(1)∵(ρ，θ，z)＝2，56π，3，
x＝ρcos θ＝2cos
56π＝－
3，
∴y＝ρsin θ＝2sin 56π＝1，
z＝3，
∴(－ 3，1,3)为所求．
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(2)∵(ρ，θ，z)＝
2，π4，5，
x＝ρcos θ＝
2cos
π4＝1，
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这么，空间点与____有__序__数__组__(_γ，__φ_，__θ_)___之间建立了一个 对应关系．把建立上述对应关系坐标系叫做球坐标系(或 _空__间__极__坐__标__系___)，_有__序__数__组__(γ_，__φ_，__θ_)____叫做点P球坐标，记 做____P_(_γ，__φ_，__θ_)__，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
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解析： 结合图形知点C的直角坐标为(1,1,0)，柱坐标为
2，π4，0，球坐标为
2，π2，π4.
同样点D的直角坐标为(0,1,0)，柱坐标为 1，π2，0 ，球坐
标为1，π2，π2.
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柱坐标系、球坐标系应用
一个圆形体育馆，自正东方向 起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二 区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育中心距离为 200 m，每相邻两排间距为1 m，每层看台高度为0.7 m，现在 需要确定第九区第四排正中位置A，请建立适当坐标系，把点A 坐标求出来．
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预习学案
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一个环形体育场，自正东方向起，按逆 时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为 一区，二区，…十六区，我们设环形体育场 第一排与体育中心的距离为500 m，每相邻 两排的间距为1 m，每层看台的高度为0.7 m.
现在需要确定第十区第五排正中的位置A，如何描述这个 位置？
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∴(1，－1， 2)为所求．
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将点直角坐标化为柱坐标或球坐标
已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱 长为1，如图建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1直 角坐标、柱坐标以及球坐标．
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[思绪点拨] 由题目可获取以下主要信息： ①已知空间直角坐标系，求点直角坐标(x，y，z)； ②化为点柱坐标(ρ，θ，z)和球坐标(r，φ，θ)． 解答本题依据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系意 义和联络计算即可．
第三节 柱坐标系与球坐标系
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[学习目标]
1．了解柱坐标系、球坐标系意义． 2．掌握柱坐标、球坐标与空间直角坐标互化关系与公 式． 3．能够依据空间坐标转化处理一些问题.
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[学法指要]
1．柱坐标系和球坐标系结构和概念．(重点) 2．常与空间直角坐标系和三角函数结合命题． 3．空间点坐标互化公式易混同，掌握空间点坐标转换并 用于解题．(难点)
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(2)∵(ρ，θ，z)＝(π，π，π)，
∴xy＝＝ππcsions
π＝－π π＝0
，
z＝π
∴(－π，0，π)为所求．
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(3)∵(ρ，θ，z)＝3，32π，1
x＝3cos
32π＝0
∴y＝3sin 32π＝－3
z＝1
∴(0，－3,1)为所求．
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由点球坐标求直角坐标
根据下列点的球坐标，分别求直角坐标： (1)2，34π，54π；(2) 6，π3，π6.
________.
解析：
x＝2cos
π6＝
3，
用坐标变换公式得y＝2sin π6＝1，
z＝7.
∴直角坐标为( 3，1,7)．
答案： ( 3，1,7)
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4．设某点的球坐标为(r，φ，θ)＝ 2，34π，34π ，求它的直 角坐标．
解析： 由坐标变换公式得
x＝2sin
34πcos
34π＝－1，
r＝ x2＋y2＋z2，
得 tan
θ＝yxx≠0，
且 cos
φ＝zr，
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得ρta＝n θ＝2，1，
r＝ 3，
且 cos
φ＝
33，
结合图形，得θ＝π4，由cos φ＝ 33得tan φ＝ 2.
所以点C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为
2，π4，1，
球坐标为
3，φ，π4，其中tan φ＝
2，0≤φ≤π.
球坐标系在地理学、天文学中有着广泛应用．在测量实践 中， 球 坐 标 中 角 _ _ _θ____ 称为被测点 P( γ， φ ， θ) 方位角 ， ______9_0_°__－称φ为高低角．
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1．设点M的直角坐标是(－1，－ 3 ，3)，则它的柱坐标
是( )
A．2，π3，3 C．2，43π，3
34πsin
54π＝－1，
z＝rcos φ＝2cos 34π＝－ 2，
∴(－1，－1，－ 2)为所求．
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(2)∵(r，φ，θ)＝
6，π3，23π，
x＝rsin φcos θ＝
6sin
π 3cos
π6＝3 4 6，
∴y＝rsin φsin θ＝
6sin
π 3sin
π6＝3 4 2，
z＝rcos φ＝ 6cos π3＝ 26，
cos
φ＝zr
，
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在由三角函数值求角时，要结合图形确定角范围再求值， 若不是特殊角，能够设定角，然后明确其余弦值或正切值，并 标注角范围即可．
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[变式训练] 3.已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，如 图所表示建立空间直角坐标系Axyz，以Ax为极轴．求点C，D 柱坐标与球坐标．
1．空间直角坐标系 在空间任选一点O，作两两垂直三条直线 Ox、Oy、Oz，普通地，使∠xOy＝ __________135°，∠yOz＝__________90°， 建立空间直角坐标系Oxyz.
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1．空间直角坐标系 在空间任选一点O，作两两垂直三条 直线Ox、Oy、Oz，普通地，使∠xOy＝ __1_3_5_°__，∠yOz＝__9_0_°____，建立空间直 角坐标系Oxyz. 建立空间直角坐标系后，空间任意一点P在平面xOy上射 影为Q(x，y)，点P在Oz轴上射影坐标为z，则有序实数组(x， y，z)即为点P_________直_．角坐标