数值分析期末总结

双点弦截法
x n 1
y
x n 1 f ( x n ) x n f ( x n 1 ) f ( x n ) f ( x n 1 )
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0
xn+1 xn
xn-1 x
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第二章 方程求根的迭代解法
收敛的充分条件 定理2.5 设f(x)在[a,b]上二阶导数存在，且满足： – 1) f(a) f(b)<0 2) f ’(x)≠0, – 3) f ’’(x)不变号 4) 初值x0满足f (x0) f ’’(x0)>0 则牛顿迭代法收敛。 定理2.6 设 f(x) 在[a,b]上二阶导数存在,且满足 – (1) f(a) f(b)<0 (2) f’(x)≠0 (3) f’’(x)不变号 – (4)不动点x0满足f(x0)f’’(x0)>0,x1与x0的函数值相异 则单点弦截法收敛 定理2.7 当f(x)在区间[a,b]上有直至二阶的连续导数， 且满足 f(a) f(b)<0且f ’(x)≠0时,双点弦截法对任意 x0 2013-7-25 ,x1∈[a,b] 都收敛。

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3.迭代公式的改进

(1)埃特肯法
yn1 xn
z n 1 y n 1
x n z n 1 y n 1 x n 1 xn x n 2 y n 1 z n 1
2
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(2) 牛顿迭代法

牛顿迭代法计算步骤：

x n 1 3 1 3 x n
x0=2
3
解：（1）迭代法 因为x3 = 3x+1 x 3 1 3 x 2 2 1 |‘(x)|=| (1 3 x ) 3 3 |= | (1 3 x ) 3 |x 2 =0.27 <1 3
x1 3 1 3 * 2 =1.91293

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2.迭代解法
迭代法的计算步骤归纳如下： – (1)选取初值x0， (画图法、扫描法、对分法) – (2)确定方程f(x)=0的等价形式x=φ(x) ,判断收敛性 |φ’(x)| q <1 – (3)按公式xn+1=φ(xn)计算xn+1的值 – (4)迭代终止判断.如果| xn+1-xn|<则停止计算，否则 继续迭代 收敛条件 – 定理2.2： |φ’(x)| q <1 是迭代序列收敛的充分条件 – 在实际应用时，可用| φ’(x0)| q <1 收敛速度 |φ’(x)| 误差估计及迭代过程终止的条件 2013-7-25
| dc || xdy ydx || x | y | y | x
相对误差限为 dc xdy ydx dx dy dx dy | c || || || || || | c xy x y x y
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3 误差的来源与分类
模型误差 观测误差 截断误差 – 求解数学模型所用的数值计算方法如果是一种近 似的方法，那么得到的是数学模型的近似解，由 此产生的误差称为截断误差。
–对于算术运算中的结果误差可按微分公式近似估算
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2.算术运算中的误差

加减的绝对误差限等于各数的绝对误差限之和 – C=xy dC|dxdy| |dx|+|dy| x+ y, 乘积运算的相对误差为各乘数的相对误差之和，其相 对误差限等于各乘数相对误差限之和

c xy
| = -2
1
1.53
| x0=1.5 =0.59 <1(收敛)
2 3
1 x2
2 2 3
| x 0 1.5 (1 x ) 1 =0.4557 <1(收敛) x 1 3 ( x 1) 2 | x 0 1.5 =1.4142 >1(不确定收敛)
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2 2 2x | = | x (1 x ) 3
z1 3 1 1.481252 =1.47271
x1=
x0 z1 y1
x0 2 y1 z1
3 2
=1.46557
y2 3 1 1.465572 =1.46557
z2 1 1.46557 =1.46557
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x=1.4656
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习题二
方 法( 2) xk 1
x0=1.5
1 1 2 xk
x 1=
1 y1 1 =1.44444 2 1.5 1 z1 1 2 =1.479585 1.44444 2 1.5 * 1.479585 1.44444
1.5 2 * 1.44444 1.479585 1 =1.46532 y2 1 2 1.46597 1 z2 1 2 =1.46573 1.46532
《数 值 分 析》
期末总结
考试题型
一、填空题 – 其目的是考核同学们对数值分析中基本概念 、基本定理的理解； – 主要考核内容为基本概念、基本定理、定理 或算法应用条件等内容 – 例如：误差配置原则中的内容；收敛条件等 二、计算题 – 需要掌握算法的内容、应用条件、误差分析 等内容。 计算过程可以使用计算器，但是要求同学要具 备计算熟练性
– (4) 弦截法
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1. 根的初值确定方法
迭代法求解非线性方程或非线性方程组较为有效的方法 ，它是递归的应用某一计算公式来决定未知量，并使之 逐步逼近真解的一种方法 求方程根的问题，就几何上讲,是求曲线y=f (x)与x轴交点 的横坐标。 定理2.1设f (x)为区间[a,b]上的单值连续函数，如果f (a)· f (b)<0，则[a,b]中至少有一个实根。如果f (x)在[a,b]上还 是单调地递增或递减，则仅有一个实根 确定根所在区间的方法： – (1) 画图法： f(x) = 0分解为1(x)= 2(x)的形式，1(x) 与2(x) 两曲线交点的横坐标所在的子区间为含根区间 – (2) 扫描法 – (3) 对分法
= R+ R
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第二章 方程(组)的迭代解法

1. 根的初值确定方法 2.迭代解法 – (1) 迭代法的计算步骤 – (2) 迭代解法的几何意义
– (3) 迭代法的收敛性（φ’(x)|q<1 ）

3.迭代公式的改进（减小q的值）： – (1) 埃特肯法 – (2) 牛顿迭代法 – (3) 牛顿下山法
并用尝试法修改λ值大小(即改变原切线的斜率)，使达到 |f(x0)|> |f(x1)|>…单调下降的目的。

称|f(xn+1)|< |f(xn)|为下山条件, 这种算法为下山法.
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(3)牛顿下山法
取λ=1
•λ为下山因子 •在[1 ,1]内选值.可依次取 1, 1/2, 1/4, 1/2r> 1
– (1)选取初值x0 – (2)对于n=0,1,2,3…计算f(xn)和f ’(xn)，以及
x n 1
f ( xn ) xn f '( xn )
–(3)判断如果| xn+1-xn |<，则迭代终止，否则n增加1 ，转(2)
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(3)牛顿下山法

引进参数λ，
x n 1 f ( xn ) xn f ' ( xn )

舍入误差 – 由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及运 算结果在计算机上存放会产生误差。这种误差称 舍入误差或者计算误差。
1 0.333333 3
1 3 1 5 1 7 sin x 1 x x x 3! 5! 7!
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4 误差的分配原则与处理方法
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1.2 有效数字

如果近似数a的绝对误差是某一位的半个单位，且该位 直到a的第一位非零数字一共有n位，则称近似数a有n 位有效数字，a为具有n位有效数字的有效数。 n个有效数字
x*= … …
例如：
1 5 x 0.003400 10 2

最左边不 为零的数 表示：近似值0.003400准确到 小数点后第5位，有3位有效数 字。

误差配置原则 – 计算模型的近似解相对于参数模型精确解的总误差= 截断误差+舍入误差,即 = R+ – R

误差的处理方法 – 1. 给定运算误差 ，确定参与运算的数值字长 – 2. 近似式的项数已定而字长待定 – 3. 总误差给定，要求确定项数和数值字长. – 4. 数值字长已定，待定近似式项数
习题二
3.用埃特肯法求方程x3-x2-1=0在1.5附近的根, =10-4 2 3 方 法(1) x k 1 1 x k 2 x n z n 1 y n 1 x0=1.5

x n 1
y1 1 1.5
3
2
=1.48125
2
x n 2 y n 1 z n 1

=a-A为
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1.2 有效数字

舍入方法
– 将无限位字长的精确数处理成有限位字长近似数的 处理方法称为舍入方法
– 截断法
– 四舍五入法
- 四舍五入法的|Δ|≤0.5x10-n，在a的最末一位上有半 个单位误差 - 实际应用中按四舍五入的原则取近似值是使用最 广的取近似值的方法。 用四舍五入获得的近似值，可用有效数字来刻画

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第一章

数值计算中的误差
1 误差 – (1) 绝对误差(限)、相对误差(限) – (2) 有效数字

2 算术运算中的误差
– 加法(减法)、 乘法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

3 误差的来源与分类(舍入误差和截断误差) 4 误差分配原则与处理方法
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1.1 绝对误差与相对误差
绝对误差 – 设A是精确值，a是近似值，则定义两者之差 近似数a的绝对误差 绝对误差限 –||=|a-A|<(上界)，称为绝对误差限 相对误差 –绝对误差与精确值之比A= /A为相对误差 相对误差限 –|A|=|/A|<η (上界)，称为相对误差限 绝对误差和相对误差有关系：=a A
x5=1.87960 x8=1.87939
x2 1 1.91293* 2 =1.88883
x4=1.88014 x7=1.87940
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x3 3 1 1.88883* 2 =1.88203 x6=1.87945 x9=1.87939
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习题二
（2）牛顿法 2 3 3 xn 3( xn 1) xn 3 xn 1 xn 3 xn 1 xn1 xn 2 2 2 3( xn 1) 3( xn 1) 3( xn 1) 3 3 3 3 xn 3 xn xn 3 xn 1 2 x n 1 2 2 3( xn 1) 3( xn 1) 第一步：形成迭代函数 f(x0)= 23-3*2-1 =1 ff’’| x0=2>0 f’’(x0)= (f’(x0))’ =(3(x2 -1))’ =6x =6*2 =12 第二步：确定初值
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误差不超过该位 数的半个单位
绝对误差限、相对误差限和有效数字的关系
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2.算术运算中的误差

要求
– 明确数据误差在算术运算中的传播规律并对结果误 差进行估计 估计方法 – 设x为x*的近似值，y为y*的近似值，则Δx=x-x*, Δy=y-y*。 – 实际中常取误差的主部,采用微分方式表达，即 dx≈Δx, dy≈Δy，
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习题二

2. 求方程x3-x2-1=0在x0=1.5附近的根，设建立下列相应 的迭代公式，分析收敛性，并求近似根
1 解： 1) x 1 x2
(x)
|‘(x)|=| -2
2) x 3 1 |‘(x)|=| 3 3) x 1 |‘(x)|=| 2
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1
x3
在xn基础上用切线法计算xn+1
是否满足精度要求 否 是 检查下山条件 是否满足 否 修改λ值,算出新的近似值xn+1
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是
停止迭代
牛顿下山法
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(4) 弦截法
单点弦截法：x n1 x0 f ( x n ) x n f ( x0 ) f ( x n ) f ( x0 )
=1.46597
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习题二
x 2=
2 1.46597* 1.46573 1.46532
1.46597 2 * 1.46532 1.46573 1 y3 1 =1.46557 2 1.46557
=1.46557
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习题二

5.分别用迭代法、牛顿法、双点弦截法（x0=2, x1=1.9） 求方程x3-3x-1=0在x=2附近的根