数学椭圆的定义 例题解析人教版选修1-1(A文)

椭圆的定义例题解析
例1
过椭圆4x2＋y2=1的一个焦点F
1
的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆
的另一个焦点F
2构成△ABF
2
的周长是
[ ]
略解：
∵|AF
1|＋|AF
2
|=2，
|BF
1|＋|BF
2
|=2，
∴|AF
1|＋|BF
1
|＋|AF
2
|＋|BF
2
|=4，
即|AB|＋|AF
2|＋|BF
2
|=4．
∴选B．
评注：
此题明是求周长，实际上是用椭圆的定义．题中提现了转化的思想．例2
M点为椭圆上一点，椭圆两焦点为F
1，F
2
．且2a=10,2c=6,点I为△MF
1
F
2
解：
如图，I为△MF
1F
2
的内心，
∴∠1=∠2，
比较①、②，并应用等比定理，得
评注：
此题三步用到了椭圆的定义，内角平分线定理，等比定理．等比定理是桥梁把内角平分线分线段比与椭圆的第一定义联系起来．
例3
已知椭圆两焦点为F
1，F
2
，M点为椭圆上一点(不在直线F
1
F
2
上)，∠F
1
MF
2
=θ，
|F
1F
2
|=2c，|MF
1
|＋|MF
2
|=2a．求△MF
1
F
2
的面积．
解：
由余弦定理，得
(2c)2=|F
1
F
2
|2
=|MF
1
|2＋|MF
2
|2－2|MF
1
|·|MF
2
|cos∠F
1
MF
2
=(|MF
1
|＋|MF
2
|)2－2|MF
1
|·|MF
2
|(1＋cosθ)
=(2a)2－2|MF
1
|·|MF
2
|(1＋cosθ)
评注：
例4
已知方程2(k2－2)x2＋k2y2＋k2－k－6=0表示椭圆，求实数k的取值范围．解：
按题意，得
评注：
解这种类型的题目，要注意椭圆的两种类型，同时要注意椭圆与圆的区别．例5
解：
设所求椭圆方程为Ax2＋By2=k，
①
评注：
此题不知道椭圆的类型，因此采取这种“模糊”的设法，简化了计算．例6
分析：
解：
设|PF
1|=m，|PF
2
|=n，m＋n=20，
即m2＋n2－mn=144．
(1) ∴(m＋n)2－3mn=144．
评注：
在上述方法中运用了椭圆的定义和余弦定理，这是解决椭圆中三角形问题时常
求|PF
1|·|PF
2
|的最大值．
解：
∵a=10，
∴|PF
1|＋|PF
2
|=20．
当且仅当|PF
1|=|PF
2
|时“=”号成立，
∴|PF
1|·|PF
2
|的最大值为100．
例7
证
在椭圆外，(1)∵P
在椭圆内，(2)∵P
评注：
1．本题涉及的知识点是椭圆方程与坐标概念．
2．这是常用的知识点，了解坐标概念和曲线方程概念即不难证明．
例8
时，求|AM|＋2|MF|的最小值，并求此时点M的坐标．
解析：
本题按常规思路，设M(x，y)，则
又M在椭圆上，y可用x表示，这样|AM|＋2|MF|可表示为x的一元函数，再求此函数的最小值．虽说此法看上去可行，但实际操作起来十分困难，但我们可以由椭圆的第二定义，转化到点到直线的距离来求，如图．
∴|AM|＋2|MF|=|AM|＋d
由于点A在椭圆内，过A作AK⊥l，K为垂足，易证|AK|即为|AM|＋d的最小值，其值为8－(－2)=10
例9
[ ]
A．椭圆 B．双曲线
C．线段 D．抛物线
略解：
即点P(x，y)到定点F(1，1)的距离与到定直线l：x＋y＋2=0的距离的比值
∴点P的轨迹是椭圆，故选A．
评注：
此题很妙：妙在利用椭圆的第二定义，定义不能直接运用，必须进行变形后，才知答案．若利用两边平方解会很麻烦的．
例10
离为
[ ] A．8
略解：如图
|PF
1|＋|PF
2
|=2a=10，
∴|PF
1
|=2．
∴|PF
2|=10－|PF
1
|=10－2=8．
选A．
评注：
此题是椭圆第一定义与第二定义的综合运用．
例11
如图椭圆中心为O，F是焦点，A为顶点，准线l交OA延长线于B，P、Q在椭圆上，且PD⊥l于D，QF⊥OA于F，则椭圆离心率为
[ ] A．0 B．2
C．2 D．5
答案：
D．
评注：
此题灵活利用离心率、深化对椭圆第二定义的理解．
例12
则有|PF
1|=a＋ex
，|PF
2
|=a－ex
．
证明：
由椭圆第二定义，得
评注：
有的书中把上述结论叫做焦半径公式．按照人民教育出版社出版的教材要求这样做是不科学的，容易陷入单纯记忆公式，忽视椭圆第二定义的理解和应用．由于叙述的方便，后面我们还是采用焦半径的提法．但是要注重理解．
实际上，上述结论是椭圆第二定义的延伸，抓住椭圆第二定义，及点与直线位置关系极易推导和记住，使用时，前面冠以“根据椭圆第二定义，得”即可应用．
|PF
1|=a＋ex
，|PF
2
|=a－ex
，
例13
分析：
只要解方程组即可．
此种方法，思路自然，但计算量较大，需要换一个角度，寻求新的解法．解：
由椭圆第二定义，得
评注：
充分理解椭圆第二定义，可记忆有关结论．。