专题17.2 一元二次方程的解法(第3课时)八年级数学下册同步备课系列(沪科版)

适用的方程类型
(x+m)2＝n（n ≥ 0） x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m)（x + n）＝0
要点归纳
解法选择基本思路 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0）， 应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一 般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因 式分解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法 也较简单.
x b b2 4ac 10 10，
2a
2 4.9
49 49
x1
100 ， 49
x2
0.
x1
100 ， 49
x2 0.
10x-4.9x2 =0 ①
因式分解
x(10-4.9x) =0 ②
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
x =0 或 10-4.9x=0
解： x2 100 x 0， 49
解： 10x-4.9x2=0.
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
，
∵ a=4.9,b=-10,c=0.
x
50 49
2
50 49
2
，
∴ b2－4ac= (－10)2－4×4.9×0 =100.
x 50 50，
49 49 x 50 50，
ax2 bx c 0（a≠0）
主要方法: (1)配方法
(2)公式法
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导入新课
情境引入
我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程 (x+1)(x－1)=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0 或x-1=0来解，你能求 (x+3)(x－5)=0的解吗？
讲授新课
一 因式分解法解一元二次方程
合作探究
活动：探究用因式分解法解一元二次方程 什么是因式分解？
因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式.
在学习因式分解时，我们已经知道，可以利 用因式分解求出某些一元二次方程的解.
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解下列方程： （1）x2－3x＝0;
(2) 25x2=16
解：（1）将原方程的左边分解因式， 得x（x-3）＝0;
因式分解法解一元二次方程的基本步骤 （1）将方程变形，使方程的右边为零； （2）将方程的左边因式分解； （3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次 方程转化为解两个一元一次方程；
注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个 一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.
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概念 因式分解法 原 理
则x=0,或x-3=0,解得x1=0，x2=3. (2)同上可得x1=0.8，x2=-0.8. 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方 法叫做因式分解法.
因式分解法的基本步骤是：
• 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边 为零；
• 将方程的左边分解因式； • 根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转
将方程左边 因式分解， 右边=0.
因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b).
如果a ·b=0，那么a=0或b=0.
步骤
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
沪科版八年级下学期 课件
第17章 一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
第3课时 因式分解法
学习目标
1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. （重点） 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方 程.（难点）
复习引入
一元二次方程的一般式是怎样的？常用的求一 元二次方程的解的方法有哪些？
解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0.或 x + 5 = 0.
5x + 1 = ±1. 解得, x 1= 0 , x2=
（3）x2 - 12x = 4 ;
分析：二次项的系数为1，可用配 方法来解题较快.
解：配方,得 x2 -12x + 62 = 4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 开平方,得
三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x-2)=0； (2) (y+2)(y-3)=0； (3) (3x+6)(2x-4)=0； (4) x2=x.
(1) x1=0,x2=2； (2) y1=-2,y2=3 ； (3) x1=-2,x2=2； (4) x1=0,x2=1.
化为解两个一元一次方程.
交流讨论：
这样解是否正确呢？
填空： （1）方程x2+x=0的根是 ___x_1_=_0_, _x_2_=_-_1_____； （2）x2－25=0的根是___x_1=_5_,___x_2=__-5____.
解方程：x2-5x+6=0 解: 把方程左边分解因式，得
（x-2）（x-3）=0 因此x-2 =0或x-3=0.
(2) (3x－4)2=(4x－3)2.
(2)移项，得 （3x－4)2－(4x－3)2=0. 将方程的左边分解因式，得 〔 (3x－4)+(4x－3)〕〔 (3x－4) －(4x－3)〕=0, 即 (7x－7) (-x－1)=0. ∴7x－7=0,或 -x－1=0. ∴x1=1, x2=-1
课堂小结
因此x-2 =0或x+5=0. ∴x1=2，x2=-5
解下列一元二次方程： （1）（x－5) (3x－2)=10; (2) (3x－4)2=(4x－3)2.
解： (1) 化简方程，得 3x2－17x=0. 将方程的左边分解因式，得 x(3x－17)=0, ∴x=0 ,或3x－17=0 解得 x1=0, x2=17／3
典例精析
例1 解下列方程：
1 x x 2 x 2 0; 25x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：(1)因式分解，得 (2)移项、合并同类项，得
(x-2)(x＋1)=0.
于是得 x-2＝0或x＋1=0, x1=2，x2=-1.
因式分解，得
( 2x＋1)( 2x-1 )=0.
∴x1=2，x2=3
用因式分解法解下列方程： (1) 4x2=12x; (2) (x -2)(2x -3)=6; (3) x2+9=-6x ; (4) 9x2=(x-1)2
解方程：（x+4）（x-1）=6 解 把原方程化为标准形式，得
x2+3x-10=0 把方程左边分解因式，得 （x-2）（x+5）=0
（4）3x2 = 4x + 1；
分析：二次项的系数不为1，且不能直 接开平方，也不能直接因式分解，所 以适合公式法.
解：化为一般形式 3x2 - 4x-1 = 0.
∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,
x1=
, x2=
拓展提升
填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.
一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解
降次，化为两个一次方程
x1 0,
x2
100 2.04 49
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
要点归纳 因式分解法的概念
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化 为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
因式分解法的基本步骤 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解;
2x＋1=0或2x-1=0,
于是得
x1
1 2
,
x2
1 2
.
二 灵活选用方法解方程
例2 用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)； (2)(5x + 1)2= 1；
分析：该式左右两边可以提取公因式， 分析：方程一边以平方形式出现，
所以用因式分解法解答较快.
另一边是常数，可直接开平方法.
引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高 度(单位：m)为10-4.9x2.你能根据上述规律求出物体 经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?
分析：设物体经过 x s落回地面， 这时它离地面的高度为0，即
10x-4.9x2 =0 ①
配方法解方程10x-4.9x2=0. 公式法解方程10x-4.9x2=0.